1、第四章 4.3 空间直线坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系的建系方式了解空间直角坐标系的建系方式； 2.掌握空间中任意一点的表示方法掌握空间中任意一点的表示方法； 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点 空间直角坐标系 思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标 系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意 一点的位置，需要几个实数？ 答案 三个. 思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？ 答案 空间直角坐标
2、系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直. 答案 1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴： ，这样就建立了一个 . (2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正 方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 答案 x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz x轴、y轴、z轴 两个坐标轴 每 点O xOy yOz zOx x轴 y轴 z轴 3.空间一点的坐标 空间一点M的坐标
3、可以用 来表示，_ 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M的 横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标. 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) (x，y，z) x y z 返回 答案 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 求空间点的坐标 例1 (1)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AD|BC|3，|AB|5， |AA1|4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标. 解析答案 (2)在棱长为a的正四棱锥PABCD中，建立适当的空间直角坐标系. 写出四棱锥PABCD各个顶点的坐标； 解析答案 写出棱PA的中点M的坐标. 反思与感悟 跟踪训
4、练1 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、 BD的中点，G在棱CD上，且|CG| |CD|，H为C1G的中点，试建立适 当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标. 解析答案 1 4 类型二 已知点的坐标确定点的位置 例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6). 解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位， 第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位， 第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P. 解析答案 方法二 以O为顶点构造长方体， 使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上， 且棱长分别为5,4,6，则
5、长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P. 反思与感悟 跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2,0,3)位于( ) A.xOz平面内 B.yOz平面内 C.y轴上 D.z轴上 解析 因为点P的纵坐标y0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内. 解析答案 A 类型三 空间中点的对称问题 例3 求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标. 解析答案 反思与感悟 解 过A作AM平面xOy于M，并延长到C，使|AM|CM|， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1). 过A作ANx轴交x轴于N，并延长到点B， 使|AN|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，2,1)，
6、 A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)， 关于x轴对称的点为B(1，2,1). 跟踪训练3 已知点P(2,3，1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； 解 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P， 则点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同， 而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数. 所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3,1). 同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为 (2,3，1)，(2，3，1). 解析答案 返回 (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； 解 设点P关于x轴的对称点为Q， 则点Q在x轴
7、上的坐标与点P的坐标相同， 而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的 坐标互为相反数. 所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，3,1). 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为 (2,3,1)，(2，3，1). 解析答案 (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标. 解 点P(2,3，1)关于坐标原点对称的点的坐标为(2，3,1). 1 2 3 达标检测 4 5 解析答案 1.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( ) A. B.|a| C.|b| D.|c| 解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P(a，b,0)，所以|PP|c|. a2b2 D 1 2
8、3 4 5 解析答案 2.点P(1,4，3)与点Q(3，2,5)的中点坐标是( ) A.(4,2,2) B.(2，1,2) C.(2,1,1) D.(4，1,2) 解析 设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)， C 则 x13 2 2，y42 2 1，z35 2 1. 1 2 3 4 5 3.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2，3)，则点A在yOz平面内射 影的点的坐标是_. (0,2，3) 解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知， 点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，3). 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_；点P
9、1关于 z轴的对称点P2的坐标为_. 解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，1)， 点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1，1). (1,1，1) (1，1，1) 1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|2|AB|4，点E在CC1上且|C1E|3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1
10、(2,0,4). 规律与方法 1.空间中确定点M坐标的三种方法： (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标， 再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标. (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的 位置，可以确定点M的坐标. (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或 坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标. 2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论. 返回
