1、第三章 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 直线的点斜式方程 思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线 l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ 答案 答案 由斜率公式得k ， 则x，y应
2、满足yy0k(xx0). yy0 xx0 思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点 斜式方程来表示？ 答案 答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示， 过点P0斜率不存在的直线为xx0. 答案 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和 图示 方程形式 yy0 适用条件 斜率存在 斜率k k(xx0) 知识点二 直线的斜截式方程 思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的 方程是什么？ 答案 答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：ykxb. 思考2 方程ykxb，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可 以为负数和零？ 答案 y轴上的截距b不
3、是距离，可以是负数和零. 思考3 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. l1l2_， l1l2_. k1k2且b1b2 k1k21 斜截式 已知条件 斜率k和直线y轴上的截距b 图示 方程式 适用条件 斜率存在 答案 ykxb 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 直线的点斜式方程 例1 (1)经过点(3,1)且平行于y轴的直线方程是_. 解析 直线与y轴平行， 该直线斜率不存在， 直线方程为x3. (2)直线y2x1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90后 得直线l，则直线l的点斜式方程是_. 解析 由题意知，直线l与直线y2x1垂直， 则直线l的斜率为 . 由点斜式方程可
4、得l的方程为y3 (x1). 1 2 1 2 x3 y3 (x1) 1 2 解析答案 (3)一直线l1过点A(1，2)，其倾斜角等于直线l2： y x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为_. 解析 直线l2的方程为y x， 设其倾斜角为， 则tan 得30， 那么直线l1的倾斜角为23060， 则l1的点斜式方程为 y2tan 60(x1)，即y2 (x1). 3 3 3 3 3 y2 (x1) 3 解析答案 3 3 跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； 解析答案 解 y54(x2)； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45； 解 直线的斜率ktan 4
5、51， 直线方程为y3x2； (3)经过点C(1，1)，与x轴平行. 解 y1. 类型二 直线的斜截式方程 例2 (1)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜 截式方程是_. 解析答案 解析 直线的倾斜角是60， 其斜率ktan 60 ， 直线与y轴的交点到原点的距离是3， 直线在y轴上的截距是3或3， 所求直线方程是y x3或y x3. 3 3 3 y x3或y x3 3 3 (2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 解 由斜截式方程知直线l1的斜率k12， 又因为ll1. 由题意知l2在y轴上
6、的截距为2， 所以l在y轴上的截距b2， 由斜截式可得直线l的方程为y2x2. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 (1)已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成面积为3的三角 形，求l的斜截式方程； 解 设直线方程为y xb， 则x0时，yb；y0时，x6b. 由已知可得 |b| |6b|3， 即6|b|26， b1. 故所求直线方程为y x1或y x1. 解析答案 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 (2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1垂直 且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程. 解 l1l， 直线l1：y2x3， l的斜率为 ， l与l2在y
7、轴上的截距互为相反数， 直线l2：y4x2， l在y轴上的截距为2， 直线l的方程为y x2. 解析答案 1 2 1 2 类型三 平行与垂直的应用 例3 (1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？ 解析答案 解 由题意可知， l1l2， 12 2 12 ll kka ， ， a221， 2a2， 解得a1. 故当a1时， 直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行. (2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？ 解析答案 反思与感悟 解 由题意可知， 12 214 ll kak ， ， l1l2， 4(2a1)1， 解得a .
8、故当a 时， 直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直. 3 8 3 8 跟踪训练3 已知在ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3). (1)求AB边上的高所在直线的方程； 解 直线AB的斜率k1 ， AB边上的高所在直线斜率为3且过点C， 所以AB边上的高所在直线的方程为y33(x1). 解析答案 10 30 1 3 (2)求BC边上的高所在直线的方程； 解 直线BC的斜率k2 1， BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A， 所以BC边上的高所在直线的方程为yx. 31 13 返回 (3)求过A与BC平行的直线方程. 解 由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为1， 其
9、方程为yx. 解析答案 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.方程yk(x2)表示( ) A.通过点(2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析 易验证直线通过点(2,0)， 又直线斜率存在， 故直线不垂直于x轴. C 1 2 3 4 解析答案 2.倾斜角是30，且过(2,1)点的直线方程是_. 解析 斜率为tan 30 ， 直线的方程为y1 (x2). 3 3 3 3 y1 (x2) 3 3 1 2 3 4 3.(1)已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_； 解析 由题意可知a(
10、a2)1， 解得a1. (2)若直线l1y 与直线l2y3x1互相平行，则a_. 2 a3， 1 a1， 解析 由题意可知 解得a . 2 3 1 2 3 解析答案 2 a x 1 a 1 2 3 4 解析答案 4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程； 解 与直线y2x7平行， 该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y12(x1)， 即y2x1 所求直线的方程为y2x1. 1 2 3 4 解析答案 (2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程. 解 所求直线与直线y3x5垂直， 该直线的斜率为 ，由点斜式方程得： y2 (x2)， 即y x . 故所求的直线方
11、程为y x . 1 3 1 3 1 3 8 3 1 3 8 3 规律与方法 1.求直线的点斜式方程的方法步骤 2.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别 注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的 斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一 目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式 方程，利用k，b的几何意义进行判断. 3.判断两条直线位置关系的方法 直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2. (1)若k1k2，则两直线相交. (2)若k1k2，则两直线平行或重合， 当b1b2时，两直线平行； 当b1b2时，两直线重合. (3)特别地，当k1 k21时，两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑. 返回
