1、第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系； 3.掌握两点间距离公式并会应用掌握两点间距离公式并会应用. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系 思考1 直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？ 答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐 标是其方程的解.反之
2、直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标. 思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ 答案 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解. 答案 答案 思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有 何对应关系？ 答案 (1)若方程组无解，则l1l2； (2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交； (3)若方程组有无数解，则l1与l2重合. 答案 1.两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l1 l1：A1xB1yC10 点A在直线l1上 直线l1与l2的交点是A A1aB1bC10， A2aB2bC20 A1aB1bC10
3、 答案 2.两直线的位置关系 方程组 的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 A1xB1yC10， A2xB2yC20 无解 无数个 相交 平行 知识点二 两点间的距离 已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 思考1 当x1x2，y1y2时，|P1P2|？ 答案 |P1P2|x2x1|. 思考2 当x1x2，y1y2时，|P1P2|？ 答案 |P1P2|y2y1|. 答案 返回 思考3 当x1x2，y1y2时，|P1P2|？请简单说明理由. 答案 如图， 在Rt P1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2， 答案
4、所以|P1P2| x2x12y2y12. 即两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2| x2x12y2y12. 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 两条直线的交点问题 例1 (1)直线l1：2x6y0与直线l2： 交点的个数为_. y1 3x 1 2 解析 解方程组 2x6y0， y1 3x 1 2， 6，得30矛盾， 故方程组无解， 两直线无交点. 0 解析答案 (2)若两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，则 k_. 解析 在2x3yk0中，令x0， 得 yk 3， 将(0，k 3)代入 xky120， 解得k6. 6 解析答案 (3)直线l过原点，
5、且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点， 则直线l的方程为_. 反思与感悟 解析 由方程组 2x3y80， xy10， 得 x1， y2， 两直线交点为(1，2)， 则直线 l 的方程为 y020 10(x0)， 即 2xy0. 2xy0 解析答案 跟踪训练1 (1)直线l1：2x6y30与l2： 的位置关系是_. 解析答案 y1 3x 1 2 解析 解方程组 2x6y30， y1 3x 1 2， 6，整理得2x6y30， 所以、可以化成同一方程， 即和表示同一条直线， l1与l2重合. 重合 (2)求经过两条直线2x3y30，xy20的交点，且与x3y10 平行的直线l的方程. 解 解
6、方程组 2x3y30， xy20， 得 x3 5， y7 5， 两直线 2x3y30，xy20 的交点坐标为(3 5， 7 5)， 设所求的直线方程为x3yc0， 将交点坐标代入得3 53( 7 5)c0， c24 5 ， 直线 l 的方程为 x3y24 5 0， 即5x15y240. 解析答案 类型二 两点间的距离公式及其应用 例2 如图，已知ABC的三顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)， (1)判断ABC的形状； 解析答案 解析答案 反思与感悟 (2)求ABC的面积. 解 SABC1 2|AC| |AB| 1 2( 52) 226， ABC的面积为26. 跟踪训练2 已知点A(1
7、,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|PB|， 并求|PA|的值. 解析答案 7 解 设 P(x,0)，|PA|x1222， |PA|PB|， x124 x227， 得x1，P(1,0)， |PA|11242 2. |PB|x22 72， 类型三 运用坐标法解决平面几何问题 例3 在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|2 2(|AD|2|DC|2). 解析答案 反思与感悟 证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系， 如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0). |AB|2(ab)2c2， |AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|
8、2a2， |AB|2|AC|22(a2b2c2)， |AD|2|DC|2a2b2c2， |AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2). 跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|BD|. 证明 如图所示，建立直角坐标系， 设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(ab，c) 解析答案 |AC|b02c02b2c2， |BD|aba2c02 b2c2. 故|AC|BD|. 解析答案 类型四 直线恒过定点问题 例4 不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐 标是_. 返回 解析答案 跟踪训练4 求证：不论m取什么实数
9、，直线(2m1)x(m3)y (m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标. 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点 是( ) A.(1，1 3) B.( 1 3，1) C.(1，1 3) D.(1，1 3) 解析 由 3x4y50， 3x5y60， 得 x1 3， y1. B 1 2 3 4 解析答案 2.经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0 的直线方程是( ) A.2xy80 B.2xy80 C.2xy80 D.2xy80 解析 首先解得交点坐标为(1,6)， 再根据垂直关系得斜率为2， 可得方程y62(
10、x1)， 即2xy80. A 1 2 3 4 3.已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则 的值为( ) |AC| |CB| A.1 3 B.1 2 C.3 D.2 解析 由两点间的距离公式， 得|AC| 3124024 2， |CB|3524622 2， 故|AC| |CB| 4 2 2 22. D 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这 个定点的坐标为_. 解析 直线方程可写成a(xy3)2xy0， 则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即 (1，2). (1，2) 规律与方法 1.方程组 有惟一解的等价条件是A1B2A2B10，亦即两 条直线相交的等价条件是A1B2A2B10，直线A1xB1yC1(A2xB2y C2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直 线(不含l2). 2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方 程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法. 3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| 与两 点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想. A1xB1yC10， A2xB2yC20 x1x22y1y22 返回
