1、近世代数模拟试卷近世代数模拟试卷一、(16分)叙述概念或命题1 正规子群;2 唯一分解环;3 代数数;4 鲁非尼-阿贝尔定理二、(12分)填空题1设有限域的阶为81,则的特征 。2已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于 。3一个有单位元的无零因子 称为整环。4如果710002601是一个国际标准书号,那么 。三、(10分)设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。四、(10分)证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、(15分)设是四元数体,对H中任意元,定义其共轭。1证明:是一个非负实数;2对,求,和。六、(15分)设,是整数环的理想,试求下列各理想,并简述理由。
2、1;2;3七、(10分)设有置换,。1求和;2确定置换和的奇偶性。八、(12分)求剩余类加群Z12中每个元素的阶。近世代数试卷答案一、1若H是群G的子群,且对每个,有,那么H称为是G的正规子群。2设R是个整环,若对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解,则称R为唯一分解环。3有理数域上的代数元称为代数数。4如果(特征为0),那么次的一般方程没有根式解。二、132253交换环46三、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。四、设A是任意方阵,令,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:,所以,表示法唯一。五、12,六、1;2;3七、1,;2两个都是偶置换。八、元素01234567891011阶11264312212346122 / 2