1、高等数学A、B、C教学大纲高等数学A、B、C教学大纲一、课程的任务与目的本课程是高等工科院校理工科各专业必修的一门重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生系统地获得微积分、空间解析几何与向量代数、无穷级数、常微分方程等方面的基本知识、基础理论和方法，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象等方面的能力。初步培养学生解决实际问题的能力，培养学生的自学与创造能力，为学习后继课程和进一步学习其它数学知识奠定必要的数学基础。本课程的教学目标如下：1.培养学生具有比较熟练的基本运算能力、空间想象能力；2.培养学生具有一定的自学能力；3.使学生具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力；4.使学生具
2、有初步的抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。课程教学目标对专业培养要求的支撑专业培养要求指标点课程教学目标1234掌握专业所需的数学、物理学方面的基本理论和基本知识，具有良好的数理知识运用能力二、理论教学要求（一）函数、极限、连续1理解函数的定义并掌握其表示法；了解函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性；了解反函数，理解复合函数的概念；了解基本初等函数和初等函数；知道双曲函数。2了解数列极限的“”定义，函数极限的“”和“”定义，理解函数的左右极限，了解极限的性质；了解无穷小与无穷大的定义，了解无穷小的性质，无穷小与函数极限的关系；掌握极限的四则运算法则、了解极限存在的两个准则， 掌握两个重
3、要极限；了解无穷小的比较及等价无穷小。3理解函数连续的定义，了解函数间断点及其分类，会判断其类型；掌握连续函数的四则运算性质；了解连续函数的反函数的连续性及复合函数的连续性；了解初等函数的连续性；了解闭区间上的连续函数的性质。（二）一元函数微分学1理解导数的定义和导数的几何意义；了解函数的可导性与连续性的关系；掌握函数的求导法则（包括函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则）；掌握基本初等函数的导数公式；了解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法；会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶和简单的二阶导数；理解函数微分的概念，会求函数的微分，了解微分的应用；会求相关变
4、化率。2理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解有限增量公式，了解柯西中值定理，了解泰勒公式；掌握洛比达法则、函数单调性的判定法及函数的极限，会求简单函数的最大值最小值；会判断曲线的凹凸性、拐点及其求法；会函数图形的描绘。了解弧微分和曲率的定义及其计算公式，会求曲率半径。（三）一元函数积分学1理解原函数的概念，理解不定积分的定义及其性质；掌握基本积分公式，掌握换元积分法和分部积分法；会求简单的有理函数的积分和简单的无理函数的积分。2理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质，掌握积分上限的函数及其导数，掌握牛顿莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷限的反常积分和无界函数的反常
5、积分；了解函数的概念；会用定积分的元素法，掌握定积分在几何学上的简单应用（面积，体积，弧长），会定积分在物理中的应用（变力作功，侧压力，引力）。（四）空间解析几何与向量代数1理解向量的概念及其坐标表示，掌握向量的线性运算；理解空间直角坐标系；了解向量的数量积与向量积；了解两向量平行、垂直的条件。2了解常用二次曲面的标准方程及其图形；了解以坐标为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。3掌握平面方程（点法式与一般式）和直线方程（对称式，参数式与一般式）的求法；了解平面与平面，直线与直线，平面与直线的位置关系。4知道椭球面，抛物面，双曲面及其方程。（五）多元函数微分学1了解平面点集的基本知识
6、（邻域，区域）；理解多元函数（主要是二元函数）的定义，了解二元函数的几何意义；了解多元函数的极限与连续性以及有界闭区域上连续函数的性质。2理解偏导数的定义，掌握其计算方法，了解二元函数偏导数的几何意义；了解高阶偏导数的概念，会求简单的高阶偏导数（重点二阶偏导数）；理解全微分的定义，了解全微分存在的必要条件和充分条件；掌握多元复合函数的求导法则和全导数，会求隐函数的一阶偏导数；了解全微分形式的不变性；了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度。3了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程；理解二元函数极值与条件极值的概念，了解二元函数取得极值的必要条件与充分条件，会求二元
7、函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。（六）多元函数积分学1理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标）；会用重积分解决简单的几何和物理应用问题。2理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质以及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分；掌握格林公式，了解平面曲线积分与路径无关的条件，了解二元函数全微分求积。3了解两类曲面积分的概念、相互关系，会计算简单的曲面积分；了解高斯公式、斯托克斯公式；了解场的概念，了解散度、旋度的概念。（七）无穷级数1理解无
8、穷级数及其收敛与发散的定义，了解级数的性质及级数收敛的必要条件；了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，了解正项级数的根值审敛法；了解交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念及其收敛的关系。2了解函数项级数的概念，了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对求幂级数的和函数只要求作简单训练）；会将简单函数展开成幂级数，会幂级数在近似计算中的应用。3了解三角级数的概念，三角函数系及正交性；了解函数的傅里叶级数；会将简单函数在指定的区间上展开成傅里叶级数及正弦级数或余弦级
9、数，知道任意区间上的傅里叶级数。（八）常微分方程1理解微分方程的基本概念（包括微分方程的定义，阶，解，通解，初始条件，特解等）。2掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的解法，会解齐次方程。3会用降阶法求下列三种类型的高阶微分方程：。4了解线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求自由项形如与的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中为实系数次多项式，为实数；会通过建立微分方程模型，解决较简单的实际问题。三、实践教学要求（无）四、学时分配本课程是许多后续课程的基础，因此本课程应安排在大学一年级上、下两学期修完。教学安排为两个教学单元，分别称为高等数学A1（课程编号为1
10、50014），82学时；高等数学A2（课程编号为150015），80学时。具体的学时分配如下：表一：高等数学A1的学时分配序号课程内容学 时 分 配讲课实验上机课外小计1函数与极限16000162导数与微分12000123微分中值定理与导数应用14000144不定积分10000105定积分及其应用18000186常微分方程1200012小计8200082表二：高等数学A2的学时分配序号课程内容学 时 分 配讲课实验上机课外小计7向量代数与空间解析几何12000128多元函数微分学18000189多元函数积分学及其应用320003210无穷级数1800018小计8000080五、课程有关说明1.
11、本课程的大纲是按国家教委工科数学指导委员会的工科类本科数学基础课程教学基本要求制定的，因此要达到基本要求；高等数学A、B、C的教学大纲是一致的,在教学中A班是理论与计算技巧并重，B班重视计算技巧，C班重视一般的计算方法；2.本课程的重要教学方式是讲课与习题课相结合，有条件的可开展多媒体教学，并积极采用现代教学技术与网络优势，使传统教学手段与现代教学手段互相结合，取长补短；3.适当注意数学自身的系统性和逻辑性，课程内容应具有较大的覆盖面，不同专业在保证必修内容的基础上，可以根据需要有所侧重和选择；4.对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强；5.考核方式为统一闭卷考试。六、建议使用教材及参考书目1同济大学数学系高等数学同济大学出版社，2009年2同济大学数学系高等数学复习指南（第六版）高等教育出版社，2002年4 / 4
