1、 天津市和平区天津市和平区 2019 届高三第三次质量调查试卷届高三第三次质量调查试卷 理数理数 一、单选题（共一、单选题（共 8 题；共题；共 16 分）分） 1.设集合 ， 且 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 ， ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.在如图所示的计算 程序框图中，判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D. 5.已知菱形 的边长为 2， ，点 ， 分别在边 ， 上， ， ，若 ，则 的值为（ ） A.
2、3 B. 2 C. D. 6.若函数 的图象关于 对称，则函数 在 上的最小值是（ ） A. B. C. D. 7.设 ， 分别为具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且 满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不确定 8.已知函数 ， ，若方程 有两个不同的实数根， 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 6 题；共题；共 7 分）分） 9.若 ，其中 ， 是虚数单位，则 _ 10.由曲线 ， 以及 轴围成的封闭图形面积为_ 11.已知两条不重合的直线 ， ，两个不重合的平面 ， ，有下列四个命题： 若 ，
3、，则 ； 若 ， ，且 ，则 ； 若 ， ， ， ，则 ； 若 ， ，且 ， ，则 其中所有正确命题的序号为_ 12.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ， 是曲线 的焦点， 点 的极坐标为 ， 曲线 上有某点 ，使得 取得最小值，则点 的坐标为_ 13.已知 ， ，且 ，则 最小值为_ 14.用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 不相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答)。 三、解答题（共三、解答题（共 5 题；共题；共 30 分）分） 15.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， 且 （1）求 A
4、 的值； （2）若 B=30，BC 边上的中线 AM= ，求 ABC 的面积 16.某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 30 站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 3 6 9 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 30 站，甲、乙乘坐不超过 10 站的概率分别为 ， ；甲、乙乘坐超过 20 站的概率分别为 ， （）求甲、乙两人付费相同的概率； （）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 17.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， （）求证：直线 平面 ； （）求直线
5、与平面 所成角的正切值； （）设点 在线段 上，且二面角 的余弦值为 ，求点 到底面 的距离 18.设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， ， 分别是椭 圆 的左、右焦点，离心率 ，过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点 （）求椭圆 的方程； （）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由； （）设点 是一个动点，若直线 的斜率存在，且 为 中点， ，求实数 的 取值范围 19.已知函数 ， （）设 若函数 在 处的切线过点 ，求 的值； 当 时，若函数 在 上没有零点，求 的取值范围； （）设函数 ，且 求证：当 时， 答案解析部分答案解析部分 一、单选题
6、 1.【答案】 D 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】由于： ， 故由题意可知： ，结合交集的定义可知： . 故选 D. 【分析】由题意首先求得集合 B ， 然后进行交集运算即可. 2.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】求解绝对值不等式 可得： ， 求解指数不等式 可得 ， 据此可知 是 成立的充分不必要条件. 故选 A. 【分析】首先求解不等式确定 p,q 所表示的范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 3.【答案】 B 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 表示可
7、行域内的点与点 之间连线的斜率， 数形结合可知目标函数在点 处取得最大值： ， 目标函数在点 处取得最小值： ， 故目标函数的取值范围是 . 故选 B. 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可. 4.【答案】 A 【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用 【解析】【解答】由题意结合流程图可知当 时，程序应执行 ， ， 再次进入判断框时应该跳出循环，输出 的值； 结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是 . 故选 A. 【分析】由题意结合流程图所要实现的功能确定判断框内应填入的条件即可. 5.【答案】 B 【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物
8、理意义 【解析】【解答】由题意可得： ， 且： ， 故 ，解得： . 故选 B. 【分析】由题意利用向量数量积的定义和平面向量基本定理整理计算即可确定 的值. 6.【答案】 C 【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】由辅助角公式可得： ，函数图像关于 对称， 则当 时， ，即 ， 由于 ，故令 可得 ， 函数的解析式为 ， ，则 ，故函数在定义域内单调递减， 函数的最小值为： . 故选 C. 【分析】首先整理函数的解析式，结合函数的一个对称中心确定 的值，最后由函数的解析式可得函数 的最小值. 7.【答案】 C 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，椭圆
9、的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】设椭圆、双曲线的长轴长分别为 ，焦距为 ， 则： ，解得： ， 由勾股定理可得： ， 即： ，整理可得： . 故选 C. 【分析】由题意首先求得 的长度，然后结合勾股定理整理计算即可求得最终结果. 8.【答案】 A 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】依题意画出 的图象如图所示： 函数 ， 当直线 与 相切时，即联立 ，得 当 时， 函数 的图象与 的图象无交点， 不满足题意； 当 时， 函数 的图象与 的图象交于 点，不满足题意；当 时，当 经过函 数 图象上的点 时，恰好经过点函数 图象上的点
10、，则要使方程 恰有 2 个不同的实数根，只需 ，即 ，故 ；当 时，函数 的图象 与 的图象有 3 个交点，不满足题意；当 时，函数 的图象与 的图象有 2 个交点，满足题意 综上： 或 ， 故选 A 【分析】g（x）=x24x+3=（x2）21，画出其图象，可得 y=|g（x）|的图象f（x）=|xa|+a= ， ， 对 a 分类讨论，数形结合，利用直线与抛物线相切相交的位置与判别式的关系即可判 断出结论 二、填空题 9.【答案】 【考点】复数相等的充要条件，复数求模 【解析】【解答】由题意可得： ，则： ，即 ， . 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件即可确定 a,b
11、 的值，然后求解其模即可. 10.【答案】 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】【解答】联立直线方程： 可得： ，故交点坐标为 ， 故封闭图形的面积： . 【分析】首先求得交点坐标，然后求解封闭图形的面积即可. 11.【答案】 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】逐一考查所给的命题：若 ， ，有可能 ，不一定有 ，题 中的命题错误；若 ， ，且 ，由线面垂直的性质定理可得 ，题中的命题正 确；若 ， ， ， ，若 ，有可能 与 相交，题中的命题错误； 若 ， ，且 ， ，由线面垂直的性质定理可得 ，题中的命题正 确 综上可得：正确命题的
12、序号为. 【分析】由题意，利用线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理逐一考查所给的 命题是否成立即可. 12.【答案】 【考点】三点共线，抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】曲线的参数方程化为直角坐标方程即： ，表示开口向右的抛物线， 点 A 的极坐标方程化为直角坐标方程为： ， 如图所示，设抛物线的准线为 ，过点 作 于点 ， 由抛物线的定义可知 ，则 ， 故点 三点共线时有最小值，此时 ， 由抛物线方程 可得 ， 故点 的坐标为 . 【分析】首先求得参数的普通方程，然后结合抛物线的定义和几何性质即可确定点 P 的坐标. 13.【答案】 【考点】基本不等式在最
13、值问题中的应用 【解析】【解答】 ， 结合 可知原式 ， 且 ， 当且仅当 时等号成立. 即 最小值为 . 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 14.【答案】 32 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】假设偶数在奇数位. 先讨论 2 假如 2 在个位 则 1 不在十位 排列就是 假如 2 在百位 则 1 不可以在十位 也不可以在千位， 则排列是 假如 2 在万位和个位一样 是 所以有 8+4+4=16 种 偶数在偶数位和在奇数为一样 所以总共是 162=32 种. 【分析】根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，求出相应的六位数个数即可. 三、
14、解答题 15.【答案】 （1）解： ， 因为 ， ，即 又 （ ， ）， （2）解： ， ， 设 则 ，在 中，由余弦定理得： ，解得 【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1） 利用条件结合正弦定理可得 ， 化简整理可得 ， 求出 即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出 ，再利用面积公式即 可求解 16.【答案】 解：（）由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ， 乙乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ， 设“甲、乙两人付费相同”为事件 ， 则 ， 所以甲、乙两人付费相同的概率是 . （）由题意可知 的所有可能取值为： ， ， ， ， . ， ， ， ，
15、 . 因此 的分布列如下： 所以 的数学期望 . 【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机 变量的期望与方差 【解析】【分析】(1) 由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，乙乘坐超过 站且不 超过 站的概率为 ，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率；(2) 由题意可知 的所有可能取值为： ， ， ， ， .求得相应的概率值，即可得到 的分布列和数学 期望. 17.【答案】 解：()由菱形的性质可知 ， 由线面垂直的定义可知： ，且 ， 由线面垂直的判定定理可得：直线 平面 ； ()以点 A 为坐标原点，AD,AP 方
16、向为 y 轴,z 轴正方向，如图所示，在平面 ABCD 内与 AD 垂直的方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则： ， 则直线 PB 的方向向量 ，很明显平面 的法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， . ()设 ，且 ， 由于 ， 故： ，据此可得： ， 即点 M 的坐标为 ， 设平面 CMB 的法向量为： ，则： ， 据此可得平面 CMB 的一个法向量为： ， 设平面 MBA 的法向量为： ，则： ， 据此可得平面 MBA 的一个法向量为： ， 二面角 的余弦值为 ，故： ， 整理得 ， 解得： 或 . 由点 M 的坐标易知点 到底面 的距离为 或者 . 【考
17、点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向 量求平面间的夹角 【解析】【分析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，分 别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；()设 ，由题意结合 空间直角坐标系求得 的值即可确定点 到底面 的距离 18.【答案】 解：()抛物线 的焦点坐标为 ，故 ， 结合 可得： ，故椭圆方程为： . ()很明显直线的斜率存在，设 ， 假设存在满足题意的直线方程： ， 与椭圆方程 联立可得： ， 则 ， 则： ， 结合题意和韦达定理有： ， 解得： ，即存在满足题意
18、的直线方程： . ()设 ，设直线 AB 的方程为 ， 由于： ， 两式作差整理变形可得： ， 即： . 又 可得： 代入可得： 代入整理可得： ， ，据此可得： ， 从而 . 【考点】直线的斜率，直线的点斜式方程，椭圆的标准方程 【解析】【分析】()由题意求得 a,b,c 的值即可确定椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程，结合韦达 定理和向量的坐标运算法则求得直线的斜率即可确定直线方程；()由题意结合点差法得到 的表达式， 结合其表达式求解取值范围即可. 19.【答案】 （）解： 由题意，得 h(x)(f(x)g(x)(exmxn)exm， 所以函数 h(x)在 x0 处的切线斜率 k1m.
19、 又 h(0)1n，所以函数 h(x)在 x0 处的切线方程 y(1n)(1m)x， 将点(1，0)代入，得 mn2. 当 n0，可得 h(x)(exmx)exm， 因为 x1，所以 ex ， 当 m 时，h(x)e xm0，函数 h(x)在(1，)上单调递增，而 h(0)1， 所以只需 h(1) m0，解得 m ， 从而 m . 当 m 时，由 h(x)e xm0，解得 xlnm(1，)， 当 x(1，lnm)时，h(x)0，h(x)单调递增 所以函数 h(x)在(1，)上有最小值为 h(lnm)mmlnm， 令 mmlnm0，解得 me，所以 m0， 所以导数 F(x)在0，)上单调递增，于是 F(x)F(0)0， 从而函数 F(x)在0，)上单调递增，即 F(x)F(0)0. 从而，当 x0 时，r(x)1. 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】 （） 设 ，利用求导的方法求出函数 在 处的 切线斜率，把切点的横坐标代入函数 h(x)解析式中，求出切点纵坐标，利用点斜式求出切线方程，再利用 切线过点 ，即可求出 的值； 利用分类讨论的方法，结合求导的方法判断函数的单调性，利用零点存在性定理，即可求出实数 m 的取值范围； （） 由题意得到 r(x) ， 利用求导的方法判断函数的单调性，即可证明当 时， .
