1、专题二分类讨论题专题二分类讨论题第三板块第三板块内容索引解题策略指导解题策略指导题型分类突破题型分类突破素养训练提高素养训练提高解题策略指导解题策略指导 T题型概述题型概述因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2021年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.F方法指导方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及
2、讨论对象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并得出结论.2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.(1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.(2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同的结果,就
3、需要分类讨论.(4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考虑,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.(5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分类讨论.(6)字母系数的参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,从而引起分类讨论.(7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等,需要对不同情况合理分类,正确讨论.题型分类突破题型分类突破类型一
4、图形形状不同引起的分类讨论例1(2017安徽,14)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为_ cm.类型二图形不确定引起的分类讨论例2(2018安徽,14)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为_.例3(2012安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边
5、上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是()答案 C 类型三运算引起的分类讨论例4(2015安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:若a-b=c,则abc=0;若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是_.(把所有正确结论的序号都选上)求得a=c且b=0,所以abc=0,正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=bc,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+
6、c=8;(2)a=cb,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=ca,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8,正确.答案 素养训练提高素养训练提高1.(2020贵州毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为()A.13B.17C.13或17D.13或10答案 B 2.(2020黑龙江大庆)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为()答案 A 3.(2020黑龙江牡丹江)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2
7、 ),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为()答案 D 4.(2020黑龙江大庆)如图,在边长为2的正方形EFGH中,M,N分别为EF与GH的中点,ABC沿竖直方向向上平移,在运动的过程中,点A恒在直线MN上,当点A运动到线段MN的中点时,点E,F恰与AB,AC两边的中点重合,设点A到EF的距离为x,ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y,则当y=时,x的值为()答案 A 5.(2020辽宁盘锦)如图,AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3,6),以点O为位似中心,相似比为 ,将AOB缩小,则点B的对应点B的坐标是_.答案(2,4)或(-2,-4
8、)6.(2020辽宁葫芦岛)一张菱形纸片ABCD的边长为6 cm,高AE等于边长的一半,将菱形纸片沿直线MN折叠,使点A与点B重合,直线MN交直线CD于点F,则DF的长为_ cm.7.(2020云南)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2 ,则DE的长是_.8.(2020辽宁沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,点P为边AD上一动点,连接OP,以OP为折痕,将AOP折叠,点A的对应点为E,线段PE与OD相交于点F.若PDF为直角三角形,则DP的长为_.9.(2020云南昆明)如图1,在矩形ABCD中,A
9、B=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由;(3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当AMD是等腰三角形时,求AP的长.图1 图2图3(1)证明 四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD,A=90,AE=EB,DF=FC,AE=DF,AEDF,四边形AEFD是平行四边形,A=90,四边形AEFD是矩形.(2)证明 如图1中,连接PM,BM.四边形AEFD是矩形,EFAD,BE=AE,BO=OP,点A与点M关于BP对称,PMB=A=90,OM=OB=OP.图1图2 图3 如图4中,当DA=DM时,此时点P与D重合,AP=8.图4 图5
