1、专题突破(五)几何最值问题类型一建立函数模型求最值求解此类问题的一般思路是:设出点的坐标或一条线段的长,用其表示出要求最值的量,进而利用函数求出最值.图Z5-1答案B图Z5-2答案B3.已知:如图Z5-3,在平面直角坐标系xOy中,点A在抛物线y=x2-4x+6上运动,过点A作ACx轴于点C,以AC为对角线作正方形ABCD,则正方形的边长AB的最小值是.图Z5-3答案4.如图Z5-4,线段AB的长为4,C为AB上一动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,那么DE长的最小值是.图Z5-4答案2图Z5-5答案46.如图Z5-6,正方形ABCD的边长为1
2、 cm,M,N分别是BC,CD上两个动点,且始终保持AMMN,当BM=cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为cm2.图Z5-6答案7.如图Z5-7,在直角三角形ABC中,C=90,D是AC边上一点,以BD为边,在BD上方作等腰直角三角形BDE,使得BDE=90,连接AE.若BC=4,AC=5,则AE的最小值是.图Z5-7答案8.如图Z5-8,在平面直角坐标系中,已知A(0,6),B(2,0),C(6,0),D为线段BC上的动点,以AD为边向右侧作正方形ADEF,连接CF交DE于点P,则CP的最大值为.图Z5-8答案图Z5-9答案D类型二垂线段最短此类问题通常为一条线段的最值问题,即动点的
3、轨迹是一条直线,利用垂线段最短得到结果.1.2020湘潭如图Z5-10,点P是AOC的平分线上一点,PDOA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点,则PM的最小值为.图Z5-10答案 3解析根据垂线段最短可知:当PMOC时,PM最小,当PMOC时,又OP平分AOC,PDOA,PD=3,PM=PD=3,故答案为:3.图Z5-11答案B图Z5-12答案B图Z5-13答案B5.2020铁岭如图Z5-14,已知 ABCD的顶点A的坐标为(0,4),顶点B,D分别在x轴和直线y=-3上,则对角线AC的最小值是.图Z5-14答案116.2019太原模拟如图Z5-15,在RtABC中,ABC=90
4、,BAC=30,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF,连接AF,EF.在点E的运动过程中,线段AF的最小值为.图Z5-15答案7.如图Z5-16,RtABC中,ACB=90,ABC=30,AC=6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在ABC外作等边三角形BDE.若F是DE的中点,则CF的最小值为()A.6B.8C.9D.10图Z5-16答案C图Z5-17答案9.如图Z5-18,菱形ABCD的边长为4,BAD=60,点E是AD上一动点(不与A,D重合),点F是CD上一动点,AE+CF=4,则BEF面积的最小值为.图Z5-18答案类型三将军
5、饮马型最值问题将军饮马问题是线段和差最值问题中最基本的解题模式,同学们在学完轴对称的有关知识后就可以进行处理.一般命题人会在对称图形中进行出题,如利用角、特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线、双曲线为载体.主要思想都是将相关线段通过构造对称由“折”变“直”来解决问题.基本图形点A,B是直线l外同侧两点,则P点在如图位置时使AP+BP最小P是AOB内一点,Q,R分别在边OB,OA上,则点Q,R在如图位置时,使得PQ+PR+QR(PQR的周长)最小P,Q是AOB内两定点,M,N分别在边OB,OA上,则点M,N在如图位置时,使得PQ+MQ+MN+PN(四边形PQMN的周长)最小基本图形 造桥选址问题:
6、mn,直线m,n上的点M,N,当MNm,MN=AA,MNAA且A,N,B三点共线时,使得AM+MN+BN的值最小A,B两点在直线l的同侧,点P是直线l上任意一点,则P点在如图位置时,使|PA-PB|的值最大A,B两点在直线l的异侧,P在直线l上,则P点在如图位置时,使|PA-PB|的值最大总结以上六图是常见的轴对称类最短(长)路径,其最终均需转化为两点之间,线段最短解决（续表）巩固训练1.如图Z5-19,BAC=30,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQAC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.图Z5-19答案2.2020毕节如图Z5-20,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边
7、AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.图Z5-20答案3.如图Z5-21,菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.图Z5-21答案4.如图Z5-22,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图Z5-22答案5.如图Z5-23,等腰三角形ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是底边BC上的高,点E,F分别为AD,AC边上的动点,则CE+EF的最小值为.图Z5-23答案6.如图Z5-24,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=4,以点
8、O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为.图Z5-24答案图Z5-25答案8.2020内江如图Z5-26,在矩形ABCD中,BC=10,ABD=30,若点M,N分别是线段DB,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为.图Z5-26答案159.如图Z5-27,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且SPAB=SPCD,则PC+PD的最小值为.图Z5-27答案10.如图Z5-28,点P是AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若PMN周长的最小值是5 cm
9、,则AOB的度数是.图Z5-28答案3011.如图Z5-29,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E,F分别是BC,DC上的动点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为.图Z5-29答案 80解析如图,分别作A关于BC和CD的对称点A,A,连接AA,交BC于E,交CD于F,则AA的长即为AEF周长的最小值.作DA的延长线AH,易知DAB=130,HAA=50.又EAA=EAA,FAD=A,且EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE,所以AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2(AAE+A)=2HAA=100,所以EAF=180-100=80.12.2018遵义如图Z5-30,抛物线
10、y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.图Z5-30答案13.如图Z5-31,在边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,E是AC边上的动点,则BE+DE的最小值为.图Z5-31答案图Z5-32答案4图Z5-33答案15.如图Z5-33,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E为边CD上一点,DE=2,点P,Q分别是AD,AC上的动点,则PE+PQ的最小值为.16.如图Z5-34,A,B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AM=4,点B到直线l的距离BN=1
11、,且MN=4,P为直线l上的动点,则|PA-PB|的最大值为.图Z5-34答案 5解析作点B关于直线l的对称点B,连接AB并延长交直线l于P.BN=BN=1,作BDAM于D,利用勾股定理求出AB=5,|PA-PB|的最大值为5.17.如图Z5-35,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,连接AC,O是AC的中点,M是AD上一点,且MD=1,P是BC上一动点,则PM-PO的最大值为.图Z5-35答案图Z5-36答案2 19.如图Z5-37,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,3),B,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D,E是直线x=1上的两个动点,且
12、DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.图Z5-37解:(1)OB=OC,点B(3,0),则抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,解得:a=-1,故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;其对称轴为直线x=1.19.如图Z5-37,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,3),B,且OB=OC.(2)点D,E是直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.图Z5-37类型四与(隐)圆有关的最值问题“隐圆”一般有如下呈现方式:定点定长:当遇到同一个端点出发
13、的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;定弦定角:当遇到动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆,当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆,“隐圆”常与线段最值结合考查.1.2019德州如图Z5-38,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC=40,则ADC的度数是()A.130B.140C.150D.160图Z5-38答案 B解析由题意得A,B,C,D四点在以O为圆心,OC为半径的圆上,作出圆O,如图所示,四边形ABCD为圆O的内接四边形,ABC+ADC=180.ABC=40,ADC=140,故选B.图Z5-39答案B图Z5-4
14、0答案A 4.如图Z5-41,矩形ABCD中,AB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点,EF=2.Q是EF的中点,P为BC上的动点,连接AP,PQ,则AP+PQ的最小值等于()A.2B.3C.4D.5图Z5-41答案C 5.2020西藏如图Z5-42,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把PBE沿PE折叠,得到PFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为.图Z5-42答案8 6.2020绵阳如图Z5-43,四边形ABCD中,ABCD,ABC=60,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足AMD=90,则点M到直线BC的距离的最
15、小值为.图Z5-43答案 7.如图Z5-44,在菱形ABCD中,点E是BC边的中点,动点M在CD边上运动,以EM为折痕将CEM折叠得到PEM,连接PA,若AB=2,BAD=60,则PA的最小值是.图Z5-44答案 8.2020广东有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图Z5-45,ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2,在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为.图Z5-45答案 9.2020宜兴一模如图Z5-46,已知O的半径是2,点A,B在O上,且AOB=90,动点C在O上运动(不与A,B重合),点D为线段BC的中点,连接AD,则线段AD的长的最大值是.图Z5-46答案 10.2020徐州在ABC中,若AB=6,ACB=45,则ABC面积的最大值为.答案
