1、重难突破专题(六)特殊四边形存在性问题题型解读存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年各地中考的“热点”.解这类题目的一般思路是:假设存在推理论证得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出“不存在”的判断.类型一平行四边形存在性问题角度1已知三定点,探究第四个点,使之构成平行四边形例1 如图Z6-1,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),若以点A,B,C为顶点作一个平行四边形,试写出第四个顶点D的坐标
2、,你的答案唯一吗?【分层分析】(1)符合条件的点D有几个?(2)如何进行分类?图Z6-1解:答案不唯一,有三种情况:若AB为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(-15,4);若BC为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(3,-8);若AC为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(9,4).【方法点析】已知三定点,探求第四个点,使之构成平行四边形,可以按对角线进行分类,求出点的坐标,再验证是否符合限制条件.构图方法:作平行线.根据平行四边形的性质,分别过三个定点A,B,C作各自对边的平行线,三条平行线的交点即为点D的位置.图Z6-2例2 如图Z6-3,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与
3、y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(1)直接写出点A,C,N的坐标.(2)在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(1)根据抛物线和直线CM的函数表达式即可求得A,C,N的坐标.图Z6-3解:(1)A(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).例2 如图Z6-3,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(2)在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的
4、坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-3【分层分析】(2)根据例1的方法,先求出以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标,然后逐一代入抛物线的函数表达式验证可得符合条件的点P.(2)存在.若AC为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(2,-3);若AN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-4,3);若CN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-2,-3).把这三个点的坐标分别代入y=x2-2x-3验证,得点P(2,-3)在该抛物线上,因此存在符合条件的点P,点P的坐标为(2,-3).角度2已知两个定点,探索限定条件下的另两个动点,使之构成平行四边形例32019甘肃节选如图Z6-4
5、,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.图Z6-4例32019甘肃节选如图Z6-4,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;【分层分析】(1)直接根据题意设出二次函数的交点式求解,也可以将A,B两点坐标代入列方程组求解;图Z6-4解:(1)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且x2的系数为1
6、,二次函数的解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,即y=x2-4x+3.例32019甘肃节选如图Z6-4,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.【分层分析】(2)分两种情况:AB为平行四边形的一条边;AB为平行四边形的一条对角线,分别求解即可.图Z6-4(2)当AB为平行四边形一条边时,如图,则AB=PF=2,则点P的坐标为(4,3),根据对称性,当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,以点A,B,P,F为顶点的四边形为
7、平行四边形,点P(4,3)或(0,3);【方法点析】对于两个定点、两个动点的问题,一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标,然后把这三点看成定点,用该未知数表示另一个动点的坐标,最后再根据动点应满足的条件,求出相应点的坐标.类型二菱形存在性问题例42019齐齐哈尔节选如图Z6-5,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连结AC和BC.(1)求抛物线的解析式.(2)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-5例42019齐齐哈尔节选如图Z
8、6-5,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连结AC和BC.(1)求抛物线的解析式.【分层分析】(1)由OA=2,OC=6得到A(-2,0),C(0,-6),用待定系数法即可求得抛物线的解析式;图Z6-5例42019齐齐哈尔节选如图Z6-5,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连结AC和BC.(2)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(2)分别以AC为菱形的边和对角线分类讨论即可.图Z6-5
9、【方法点析】菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直.类型三矩形存在性问题图Z6-6图Z6-6【分层分析】(1)分别令y=0,x=0,即可得到B的横坐标和A的纵坐标;图Z6-6【分层分析】(2)由于哪个角是直角不确定,分三种情况考虑:APQ=90;PAQ=90;AQP=90,分别求出t的值,进而求出点N的坐标.【方法点析】矩形存在性问题,抓住内角90 与对角线相等.题型精练1.如图Z6-7,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这
10、个二次函数的表达式.(2)连结PO,PC,并把POC沿y轴翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-71.如图Z6-7,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.图Z6-7 题型精练1.如图Z6-7,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点
11、P是直线BC下方的抛物线上一动点.(2)连结PO,PC,并把POC沿y轴翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-72.2019宜宾节选如图Z6-8,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z
12、6-82.2019宜宾节选如图Z6-8,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式.图Z6-82.2019宜宾节选如图Z6-8,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-8(2)y=x
13、2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),CEy轴,当x=1时,y=1-3=-2,E(1,-2),CE=2.如图,若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN,设M(x,x-3),则N(x,x2-2x-3),MN=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x,-x2+3x=2,解得:x=2或x=1(舍去),M(2,-1).3.2019广安如图Z6-9,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点
14、为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式.(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-93.2019广安如图Z6-9,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛
15、物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式.图Z6-93.2019广安如图Z6-9,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.图Z6-9(2)直线l的表达式为y=-x-1,C(0,-1),则直线l与x轴的夹角为45,即
16、OAC=45,PEx轴,PEF=OAC=45.又PFy轴,EPF=90,EFP=45.则PE=PF.设点P坐标为(x,-x2+3x+4),则点F(x,-x-1),PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,-20,当x=2时,PE+PF有最大值,其最大值为18.3.2019广安如图Z6-9,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(3)设M
17、为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-94.如图Z6-10,二次函数y=x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点,顶点M关于x轴的对称点是M.(1)若A(-4,0),求二次函数的关系式.(2)在(1)的条件下,求四边形AMBM的面积.(3)是否存在抛物线y=x2-x+c,使得四边形AMBM为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.图Z6-10解:(1)A(-4,0)在二次函数y=x2-x+c的图象上,(-4)2-(-4)+c=0,解得c=-20,二次函数的关系式为y=
18、x2-x-20.4.如图Z6-10,二次函数y=x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点,顶点M关于x轴的对称点是M.(2)在(1)的条件下,求四边形AMBM的面积.图Z6-104.如图Z6-10,二次函数y=x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点,顶点M关于x轴的对称点是M.(3)是否存在抛物线y=x2-x+c,使得四边形AMBM为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.图Z6-105.如图Z6-11,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6,0),B(0,8).点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上一动点,连结CD,D
19、E,以CD,DE为边作 CDEF.(1)当0m8时,求CE的长(用含m的代数式表示).(2)当m=3时,是否存在点D,使 CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得 CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.图Z6-115.如图Z6-11,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6,0),B(0,8).点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上一动点,连结CD,DE,以CD,DE为边作 CDEF.(1)当0m8时,求CE的长(用含m的代数式表示).图Z6-115.如图Z6-
20、11,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6,0),B(0,8).点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上一动点,连结CD,DE,以CD,DE为边作 CDEF.(2)当m=3时,是否存在点D,使 CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-115.如图Z6-11,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6,0),B(0,8).点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上一动点,连结CD,DE,以CD,DE为边作 CDEF.(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得 CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.图Z6-11
