1、重难突破专题(九)图形变换综合探究题题型解读与图形的轴对称、平移、旋转相关的题型主要考查学生的观察与实验能力,探索与实践能力,因此在解题时应注意以下三方面:1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质.2.结合具体问题大胆尝试,动手操作平移、旋转,探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法.3.注重图形与变换的创新题,弄清其本质,掌握其基本的解题方法.类型一平移型问题例1 两个三角板ABC,DEF按如图Z9-1的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,C=DEF=90,ABC=F=30,AC=DE=6 cm.现固定三角板
2、DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).(1)当点C落在边EF上时,x=cm;(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.图Z9-1(1)当点C落在边EF上时,x=cm;【分层分析】(1)当点C落在EF边上时记为C,此时A点的对应点记为A,根据锐角三角函数,可得AE的值,从而求出x的值.图Z9-1例1 两个三角板ABC,DEF按如图Z9-1的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边
3、DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,C=DEF=90,ABC=F=30,AC=DE=6 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;图Z9-1【分层分析】(2)分类讨论:当0 x6时,根据三角形的面积公式可得答案;当6x12时,根据面积的和差可得答案;当12x15时,根据面积的和差可得答案.例1 两个三角板ABC,DEF按如图Z9-1的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假
4、设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,C=DEF=90,ABC=F=30,AC=DE=6 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.图Z9-1【分层分析】(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得当NMBD时,MN最小.根据线段的和差即可求得答案.【方法点析】平移是全等变换,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.对于平移问题,注意把握(1)平移出全等:
5、平移前后图形的形状和大小完全相同;(2)平移出平行四边形;(3)平移过程距离不变:关键点移动的距离=平移的距离;平行线间的距离处处相等.【类题演练1】如图Z9-2,ABC中,ACB=90,AB=8 cm,D是AB的中点.现将BCD沿BA方向平移1 cm,得到EFG,FG交AC于H,则GH的长等于cm.图Z9-2答案3类型二折叠型问题例22019盐城如图Z9-3是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图;(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B处,如图,两次折痕交于点O;(III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC
6、,FD,如图.【探究】(1)证明:OBC OED;(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.图Z9-3例22019盐城如图Z9-3是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图;(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B处,如图,两次折痕交于点O;(III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC,FD,如图.【探究】(1)证明:OBC OED;图Z9-3解:(1)证明:由折叠可知AD=AF=DE,CB=DE.由两次折叠可知BCO=DCO=ODE=45,OCD是等腰直角三角形,OC=OD,OBC OED.
7、例22019盐城如图Z9-3是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图;(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B处,如图,两次折痕交于点O;(III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC,FD,如图.【探究】(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.图Z9-3【方法点析】折痕具有双重作用:对应线段夹角的角平分线;对应点连线的垂直平分线.图Z9-4答案(解法二:连结BC,只要证明BF=CF,即可推出EFC的周长=BC)类型三旋转型问题例3 在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),B(
8、0,4),以点A为旋转中心,把ABO顺时针旋转,得到ACD.记旋转角为,ABO为.(1)如图Z9-5,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;(2)如图,当旋转后满足BCx轴时,求与之间的数量关系;(3)当旋转后满足AOD=时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).图Z9-5例3 在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心,把ABO顺时针旋转,得到ACD.记旋转角为,ABO为.(1)如图Z9-5,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;例3 在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心,把ABO顺时
9、针旋转,得到ACD.记旋转角为,ABO为.(2)如图,当旋转后满足BCx轴时,求与之间的数量关系;(2)如图,由已知,得CAB=,AC=AB,ABC=ACB.在ABC中,=180-2ABC.BCx轴,OBC=90,ABC=90-ABO=90-,=2.例3 在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心,把ABO顺时针旋转,得到ACD.记旋转角为,ABO为.(3)当旋转后满足AOD=时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).图Z9-5【方法点析】解决此类问题时,重点分析三个方面:谁在转图形本身的性质;绕谁转旋转得到的结论;转到哪旋转后产生的新结论.进而从中
10、提炼出基本图形和常用模型,如旋转产生的全等三角形、等腰三角形等,进而借助全等(相似)三角形转化,结合勾股定理、基本图形的性质等其他知识求解.图Z9-6答案14 题型精练1.2019海南如图Z9-7,在 ABCD中,将ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若B=60,AB=3,则ADE的周长为()A.12B.15C.18D.21图Z9-7答案C解析 折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,ACDE,AD=AE,EC=CD=AB=3,ED=6,在 ABCD中,B=60,D=60,AD=2CD=6,AE=6,ADE的周长=AE+AD+ED=18,故选C.2.2019兰州如图Z9-
11、8,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则B1的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,4)D.(4,1)图Z9-8答案B 解析 A(-3,5),A1(3,3),四边形ABCD向右平移6个单位,向下平移2个单位,得到四边形A1B1C1D1,点B(-4,3),点B1(2,1),故选B.3.2019天津如图Z9-9,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连结BE,下列结论一定正确的是()A.AC=ADB.ABEBC.BC=DED.A=
12、EBC图Z9-9答案D 解析 由旋转的性质可知,AC=CD,但A不一定是60,所以不能证明AC=AD,所以选项A错误;由于旋转角度不确定,所以选项B不能确定;因为AB=DE,不确定AB和BC的数量关系,所以BC和DE的数量关系不能确定;由旋转的性质可知ACD=BCE,AC=DC,BC=EC,所以2A=180-ACD,2EBC=180-BCE,从而可证选项D是正确的.4.如图Z9-10,在等边三角形ABC中,D是边AC上一点,连结BD.将BCD绕点B逆时针旋转60得到BAE,连结ED.若BC=10,BD=9,则AED的周长是.答案19 解析 ABC是等边三角形,AC=AB=BC=10,BAE由B
13、CD绕点B逆时针旋旋转60得到,AE=CD,BD=BE,EBD=60,BDE是等边三角形,DE=BD=9,AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=19.图Z9-10图Z9-11答案12 6.如图Z9-12,先将一平行四边形纸片ABCD沿AE,EF折叠,使点E,B,C在同一直线上,再将折叠的纸片沿EG折叠,使AE落在EF上,则AEG=度.答案 45 图Z9-127.如图Z9-13,在矩形ABCD中,BC=4,AB=a,点E为AD的中点,点F为射线AB上一点,连接CF,BF=3,若将AEF沿直线EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则a的值为.图Z9-13答案4或1 8.如
14、图Z9-14,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连结OA,二次函数y=x2的图象从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.(1)求线段OA所在直线的函数解析式;(2)设二次函数图象顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短,并求出二次函数的表达式;(3)当线段PB最短时,二次函数的图象是否过点Q(a,a-1),并说明理由.图Z9-14解:(1)设直线OA的解析式为y=kx,A(2,4),2k=4,解得k=2,线段OA所在直线的函数解析式为y=2x.8.如图Z9-14,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与
15、x轴相交于点B,连结OA,二次函数y=x2的图象从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.(2)设二次函数图象顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短,并求出二次函数的表达式;图Z9-14(2)顶点M的横坐标为m,且在OA上移动,M(m,2m),抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m,当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0m2),PB=m2-2m+4=(m-1)2+3(0m2),当m=1时,PB最短,当PB最短时,抛物线的解析式为y=(x-1)2+2.8.如图Z9-14,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连
16、结OA,二次函数y=x2的图象从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.(3)当线段PB最短时,二次函数的图象是否过点Q(a,a-1),并说明理由.图Z9-14(3)若二次函数的图象过点Q(a,a-1),则方程a-1=(a-1)2+2有解,即方程a2-3a+4=0有解.=(-3)2-414=-70,二次函数的图象不过点Q.图Z9-15图Z9-15图Z9-1510.如图Z9-16,已知矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(1)求矩形ABCD的边AD的长.(2)若P为CD边上的一个动点,折叠纸片,
17、使得A与P重合,折痕为MN,其中M在边AD上,N在边BC上,如图所示.设DP=x cm,DM=y cm,试求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.(3)当折痕MN的端点N在AB上时,求当PCN为等腰三角形时x的值;当折痕MN的端点M在CD上时,设折叠后重叠部分的面积为S,试求S与x之间的函数关系式.图Z9-1610.如图Z9-16,已知矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(1)求矩形ABCD的边AD的长.图Z9-1610.如图Z9-16,已知矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(2)若P为CD边上的一个动点,折叠纸片,使得A与P重合,折痕为MN,其中M在边AD上,N在边BC上,如图所示.设DP=x cm,DM=y cm,试求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.图Z9-1610.如图Z9-16,已知矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(3)当折痕MN的端点N在AB上时,求当PCN为等腰三角形时x的值;图Z9-16(3)当折痕MN的端点M在CD上时,设折叠后重叠部分的面积为S,试求S与x之间的函数关系式.
