1、重难突破专题(十)几何模型研究类型一几何模型1对角互补模型模型解析类型全等型90全等型120全等型任意角图形（续表）模型解析类型全等型90全等型120全等型任意角语言描述条件:如图,AOB=DCE=90,OC平分AOB条件:如图,AOB=2DCE=120,OC平分AOB条件:如图,AOB=2,DCE=180-2,CD=CE例1如图Z10-1所示,一副三角板如图放置,等腰直角三角形固定不动,另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转的过程中,两直角边与AB,CB的交点为G,H.(1)当三角板DEF旋转至图所示位置时,你能发现线段BG和CH的大小有何关系吗?并证明你
2、的结论.图Z10-1(2)若在旋转过程中,两直角边的交点G,H始终在边AB,CB上,AB=CB=4 cm,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否变化?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.(3)当三角板DEF旋转至图所示时,三角板DEF与AB,BC边所在的直线相交于点G,H,(1)的结论仍然成立吗?并说明理由.图Z10-1例1如图Z10-1所示,一副三角板如图放置,等腰直角三角形固定不动,另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转的过程中,两直角边与AB,CB的交点为G,H.(1)当三角板DEF旋转至图所示位置时,你能发现线段BG和CH的大小有何关系吗?并
3、证明你的结论.解:(1)BG=CH.证明:如图,连结BD.ABC为等腰直角三角形,D为AC中点,BD平分ABC,BDAC,ABD=C=45,BD=AC=CD.EDF=BDC=90,GDB+BDH=HDC+BDH=90,GDB=HDC,GDB HDC(ASA),BG=CH.例1如图Z10-1所示,一副三角板如图放置,等腰直角三角形固定不动,另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转的过程中,两直角边与AB,CB的交点为G,H.(2)若在旋转过程中,两直角边的交点G,H始终在边AB,CB上,AB=CB=4 cm,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否变化?若不变,求出
4、它的值;若改变,求出它的取值范围.图Z10-1例1如图Z10-1所示,一副三角板如图放置,等腰直角三角形固定不动,另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转的过程中,两直角边与AB,CB的交点为G,H.(3)当三角板DEF旋转至图所示时,三角板DEF与AB,BC边所在的直线相交于点G,H,(1)的结论仍然成立吗?并说明理由.例2 在等边三角形ABC中,点D是线段BC的中点,EDF=120,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图Z10-2,若DFAC,直接写出DE与AB的位置关系;(2)如图,将(1)中的EDF绕点
5、D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,求证:DE=DF;图Z10-2(3)在EDF绕点D顺时针旋转过程中,直接用等式表示线段BE,CF,AB之间的数量关系;(4)当EDF绕点D顺时针旋转到如图的位置时,DF与线段AC的延长线相交于点F,作DNAC于点N,若DN=FN,AB=10,直接写出BE+CF的值.图Z10-2例2 在等边三角形ABC中,点D是线段BC的中点,EDF=120,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图Z10-2,若DFAC,直接写出DE与AB的位置关系;图Z10-2解:(1)DEAB.例2 在等边三角形ABC中,点
6、D是线段BC的中点,EDF=120,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(2)如图,将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,求证:DE=DF;例2 在等边三角形ABC中,点D是线段BC的中点,EDF=120,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(3)在EDF绕点D顺时针旋转过程中,直接用等式表示线段BE,CF,AB之间的数量关系;例2 在等边三角形ABC中,点D是线段BC的中点,EDF=120,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(4)
7、当EDF绕点D顺时针旋转到如图的位置时,DF与线段AC的延长线相交于点F,作DNAC于点N,若DN=FN,AB=10,直接写出BE+CF的值.【方法点析】本题用到的模型为全等型120,过点D向角的两边作垂线,可得全等三角形,进而根据全等三角形和含60 角的直角三角形的性质求解.图Z10-3图Z10-3图Z10-3图Z10-3图Z10-3【方法点析】求解时首先分析下对应哪种模型,再利用对角互补模型问题的求解方法添加辅助线,结合特殊几何图形的性质求解.题型精练1.如图Z10-4,在RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN中,MPN=90,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC
8、于点F,当PE=2PF时,AP=.图Z10-4答案3图Z10-5答案3.如图Z10-6,在四边形ABCD中,A=C=90,AB=AD,若这个四边形的面积为12,则BC+CD=.图Z10-6答案4.如图Z10-7,四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD,其中BAD和BCD都是直角,另一条对角线AC的长度为2,则四边形ABCD的面积为.图Z10-7答案25.如图Z10-8,在等腰直角三角形ABC中,C=90,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE,连结DE,DF,EF,在运动变化的过程中,下列结论:DEF是等腰直角三角形;四边
9、形CDFE不可能为正方形;四边形CDFE的面积保持不变;DE长度的最小值为4;CDE面积的最大值为8,其中正确的结论是.图Z10-8答案6.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时(如图Z10-9),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?(直接写出结论,不用证明)(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图),你在(1)中得到的结论还成立吗
10、?说明理由.(3)在上述情况中,AEC的面积是否会等于2?如果能,求BE的长;如果不能,请说明理由.图Z10-96.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时(如图Z10-9),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?(直接写出结论,不用证明)图Z10-9解:(1)BE=CF.解析 BAE+EAC=CAF+EAC=60,BAE=CAF.AB=AC,B=ACF=60,ABE A
11、CF(ASA).BE=CF.6.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图),你在图Z10-96.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(3)在上述情况中,AEC的面积是否会等于2?如果能,求BE的长;如果不能,请说明理
12、由.图Z10-97.我们规定:横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.(1)若点A(x,y)是“完美点”,且满足x+y=4,求点A的坐标.(2)如图Z10-10,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),连结OB,E点从O以每秒2个单位长度的速度向B运动,到B点时停止,设运动时间为t.求证:不管t为何值,E点总是“完美点”;如图,连结AE,过E点作PQx轴分别交AB,OC于P,Q两点,过点E作EFAE交x轴于点F,问:当E点运动时,四边形AFQP的面积是否发生变化?若不改变,求出面积的值;若改变,请说明理由.图Z10-107.我们规定:横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.(1)
13、若点A(x,y)是“完美点”,且满足x+y=4,求点A的坐标.解:(1)点A(x,y)是“完美点”,x=y.x+y=4,x=2,y=2,A点坐标为(2,2).7.我们规定:横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.(2)如图Z10-10,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),连结OB,E点从O以每秒2个单位长度的速度向B运动,到B点时停止,设运动时间为t.求证:不管t为何值,E点总是“完美点”;图Z10-10(2)证明:四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),AO=AB=BC=4,B(4,4).设直线OB的解析式为y=kx,4=4k,k=1,直线OB的解析式为y=x.
14、点E在直线OB上移动,不管t为何值,E点总是“完美点”.7.我们规定:横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.(2)如图Z10-10,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A坐标为(0,4),连结OB,E点从O以每秒2个单位长度的速度向B运动,到B点时停止,设运动时间为t.如图,连结AE,过E点作PQx轴分别交AB,OC于P,Q两点,过点E作EFAE交x轴于点F,问:当E点运动时,四边形AFQP的面积是否发生变化?若不改变,求出面积的值;若改变,请说明理由.图Z10-108.已知点P是MON的平分线OT上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使AP
15、B+MON=180.(1)利用图Z10-11,求证:PA=PB;(2)如图,若点C是AB与OP的交点,当SPOB=3SPCB时,求PB与PC的比值;(3)若MON=60,OB=2,射线PA的反向延长线交ON于点D,且满足PBD=ABO,请借助图补全图形,并求OP的长.图Z10-11(1)利用图Z10-11,求证:PA=PB;解:(1)证明:如图,作PEOM,PFON,垂足为E,F.OEP=OFP=90,EPF+MON=180,APB+MON=180,EPF=APB,即EPA+APF=APF+FPB,EPA=FPB.OT是MON的平分线,PEOM,PFON,PE=PF,EPA FPB,PA=PB
16、.8.已知点P是MON的平分线OT上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使APB+MON=180.(2)如图,若点C是AB与OP的交点,当SPOB=3SPCB时,求PB与PC的比值;图Z10-118.已知点P是MON的平分线OT上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使APB+MON=180.(3)若MON=60,OB=2,射线PA的反向延长线交ON于点D,且满足PBD=ABO,请借助图补全图形,并求OP的长.图Z10-11类型二几何模型2双子型(手拉手模型)模型解析图形语言描述条件:CDAB,将OCD旋
17、转条件:中,OAB,OCD依次是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形条件:四边形OABC,四边形ODEF均为正方形结论:OCDOAB结论:OAC OBD;AOBCOD;PO平分APD结论:AOF COD总结所谓手拉手模型,是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形或正方形伴随旋转得出全等(相似).处于各种位置的旋转模型,因为顶点相连的四条边,可以形象地看作两双手,所以通常称为手拉手模型（续表）图Z10-12例2 如图Z10-13,直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x轴正半轴上一动点(OC1),连结BC,以线段B
18、C为边在第四象限内作等边三角形CBD,直线DA交y轴于点E.(1)OBC与ABD全等吗?判断并证明你的结论.(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由.图Z10-13(1)OBC与ABD全等吗?判断并证明你的结论.【分层分析】(1)根据等边三角形的性质,判定OBC ABD;图Z10-13例2 如图Z10-13,直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x轴正半轴上一动点(OC1),连结BC,以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD,直线DA交y轴于点E.(2)随着点C位置的变化,点E的
19、位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由.图Z10-13例3 如图Z10-14所示,在四边形ABCD中,AD=3,CD=2,ABC=ACB=ADC=45,则BD的长为.图Z10-14答案图Z10-15答案10 题型精练1.在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=5,ACB=45,将ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到A1BC1.(1)如图Z10-16,当点C1在线段CA的延长线上时,CC1A1=;(2)如图,连结AA1,CC1.若A1BA的面积为4,则CBC1的面积为.图Z10-161.在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=5,ACB=45,将ABC绕点B按逆时针方向旋
20、转,得到A1BC1.(1)如图Z10-16,当点C1在线段CA的延长线上时,CC1A1=;图Z10-16答案90解析由旋转的性质可得:A1C1B=ACB=45,BC=BC1,CC1B=C1CB=45,CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90.1.在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=5,ACB=45,将ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到A1BC1.(2)如图,连结AA1,CC1.若A1BA的面积为4,则CBC1的面积为.图Z10-16答案2.【提出问题】(1)如图Z10-17,在等边三角形ABC中,点M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边三角形AMN,连
21、结CN.求证:BM=CN.【类比探究】(2)如图,在等边三角形ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中结论BM=CN还成立吗?请说明理由.图Z10-17【拓展延伸】(3)如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC=6,AC=4,点M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角AMN=ABC.连结CN.试探究BM与CN的数量关系,并说明理由.图Z10-172.【提出问题】(1)如图Z10-17,在等边三角形ABC中,点M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边三角形AMN,连结CN.求证:BM=C
22、N.图Z10-172.【类比探究】(2)如图,在等边三角形ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中结论BM=CN还成立吗?请说明理由.图Z10-173.【拓展延伸】(3)如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC=6,AC=4,点M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角AMN=ABC.连结CN.试探究BM与CN的数量关系,并说明理由.图Z10-173.如图Z10-18,已知点A(0,-3)和x轴上的动点C(m,0),AOB和BCD都是等边三角形.(1)在C点运动的过程中,始终有两点的距离等于OC的长度,请将它找出来
23、,并说明理由.(2)如图,将BCD沿CD翻折得ECD,当点C在x轴上运动时,请你用m来表示点E的坐标,并求出点E运动时所在图象的解析式.图Z10-183.如图Z10-18,已知点A(0,-3)和x轴上的动点C(m,0),AOB和BCD都是等边三角形.(1)在C点运动的过程中,始终有两点的距离等于OC的长度,请将它找出来,并说明理由.图Z10-183.如图Z10-18,已知点A(0,-3)和x轴上的动点C(m,0),AOB和BCD都是等边三角形.(2)如图,将BCD沿CD翻折得ECD,当点C在x轴上运动时,请你用m来表示点E的坐标,并求出点E运动时所在图象的解析式.图Z10-18图Z10-19解
24、:(1)证明:四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形,BC=DC,CG=CE,BCD=GCE=90.BCD+DCG=GCE+DCG,BCG=DCE.BCG DCE(SAS).BG=DE.图Z10-19(2)连结BE.由(1)可知:BG=DE.CGBD,DCG=BDC=45,BCG=BCD+GCD=90+45=135.GCE=90,BCE=360-BCG-GCE=360-135-90=135,BCG=BCE.又BC=BC,CG=CE,BCG BCE(SAS),BG=BE.BG=BD=DE,BD=BE=DE,BDE为等边三角形.BDE=60.图Z10-195.【问题探究】(1)如图Z10-20,
25、锐角三角形ABC中分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,使AE=AB,AD=AC,BAE=CAD,连结BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.【深入探究】(2)如图,四边形ABCD中,AB=7 cm,BC=3 cm,ABC=ACD=ADC=45,求BD的长.(3)如图,在(2)的条件下,当ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.图Z10-205.【问题探究】(1)如图Z10-20,锐角三角形ABC中分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,使AE=AB,AD=AC,BAE=CAD,连结BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.图Z
26、10-205.【深入探究】(2)如图,四边形ABCD中,AB=7 cm,BC=3 cm,ABC=ACD=ADC=45,求BD的长.图Z10-205.(3)如图,在(2)的条件下,当ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.图Z10-20类型三几何模型312345模型模型解析图形（续表）例1 在如图Z10-22所示的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tanBOD的值等于.图Z10-22答案3【类题演练1】如图Z10-23,AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cosAOB的值是.图Z10-23答案图Z10-24答案(-1,-6)图Z10-
27、25图Z10-25例3 如图Z10-26,正方形ABCD中,P是BC的中点,把PAB沿着PA翻折得到PAE,过C作CFDE于F,若CF=2,则DF=.图Z10-26答案6【类题演练3】2018泰安如图Z10-27,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则sinABE的值为.图Z10-27答案 题型精练1.如图Z10-28,AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cosAOB的值是.图Z10-282.如图Z10-29是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中QMB的
28、正切值是.图Z10-292图Z10-30答案4.如图Z10-31,半圆O的直径AB=10 cm,弦AC=6 cm,AD平分BAC,则AD的长为cm.图Z10-31答案图Z10-32答案6.2017丽水如图Z10-33,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0).(1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是;(2)设点P为线段OB的中点,连结PA,PC,若CPA=ABO,则m的值是.图Z10-33答案图Z10-34答案8.如图Z10-35,在四边形ABCD中,BCAB,ADBC(BCAD),AB=BC=12,E是AB上一点,且DCE=45,BE=4,则DE=.图Z10-35答案10图Z10-36答案图Z10-37答案图Z10-38答案C
