1、平行线与相交线全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角121与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即3+4=180要点诠释：
2、对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角.如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： ABCD，垂足为O.要点诠释：要
3、判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：POAB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1平行线判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法
4、3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点
5、（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直3两条平行线间的距离如图3，直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是
6、一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 【答
7、案与解析】解： (1)邻补角是DOA与AOC，AOE与EOB，BOC与COA，COE与DOE，DOA与DOB，DOB与BOC；对顶角是AOD与COB，AOC与DOB.(2)邻补角是ACB与ACD，ECD与DCA，DCE与ECB，ECB与ACB；对顶角是ACB与DCE，BCE与ACD【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.2.直线AB、CD相交于点O，OEAB于点O，COE40，求BOD的度数.【答案与解析】解：分两种情况.第一种：如图1，直线AB，CD相交后，BOD是锐角，OEAB, AOE90，即AOC+COE90.COE40, AOC50.BODAOC B
8、OD50第二种：如图2，直线AB、CD相交后，BOD是钝角，OEAB, AOE90.COE40, AOC90+40130，BODAOC130.【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况为BOD是锐角，第二种情况是BOD是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质.举一反三：【变式1】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且AOCBOD，试证明AOC与BOD是对顶角【答案】 证明：因为AOC+COB180(平角定义)， 又因为AOCBOD(已知)， 所以BOD+COB180，即COD180 所以C、O、D三点在一条直
9、线上(平角定义)， 即直线AB、CD相交于点O， 所以AOC与BOD是对顶角(对顶角定义) 提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即COD180【变式2】已知: 如图, 1 = B, 2 = 3, EFAB于F ， 求证: CDAB .【答案】证明：1B，MDBC（同位角相等，两直线平行）. 2BCD（两直线平行，内错角相等）,又2 3（已知）,3BCD.EFCD（同位角相等，两直线平行）.又EFAB（已知）,CDAB.类型二、平行线的性质与判定3. （2015宁德）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若1=50，则2的度数是（）A40B50C90D130【思路点
10、拨】根据平移的性质得出l1l2，进而得出2的度数【答案】B【解析】解：将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，l1l2，1=50，2的度数是50 【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出l1l2是解题关键举一反三：【变式1】（2016滨州）如图，ABCD，直线EF与AB，CD分别交于点M、N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是 ( ). AEMBEND BBMNMNC CCNHBPG DDNGAME【答案】D【变式2】已知：如图，ABCADC，BF、DE分别平分ABC与ADC，且13.求证：ABDC.【答案】证明：ABCADC,（等式性质）.又BF、
11、DE分别平分ABC与ADC,1，2（角平分线的定义）.12（等量代换）.又13（已知）,23（等量代换）.ABDC(内错角相等，两直线平行).类型三、命题及平移4.在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于180，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗?【答案与解析】已知：三角形ABC，求证：A+B+C=180证明：过A点作EFBC则EAB=B，FAC=C（两直线平行，内错角相等） B+BAC+C=EAB+BAC+CAF=180(平角定义)， A+B+C=180【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明.5.（吉林）如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图
12、的变换，组成图，则图的面积是( )A18 B16 C12 D8【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则面积可求【答案】B 【解析】图到图是将一个等腰三角形由下方平移到上方图到图是将右边的小长方形平移到左侧，所以图中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图是由4个图组成的，所以图的面积是4416【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.举一反三：【变式】（2015.镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为
13、6，则阴影部分面积为（ ）A.48 B.96 C.84 D.42【答案】A 类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角EFB=30，你能说出EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC，可得DEF=EFG=30，又因为折后重合部分相等，所以GEF=DEF=30，所以DEG=2DEF=60，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以EGC=180DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为ADBC（已知），所以DEF=EFG=30（两直线平行，内错角相等）.因为GEF=DEF=30（对折后重合部分相等），所以DEG=2DEF=60.所以EGC=180DEG=18060=120（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把个长方形纸片对折两次，然后剪下个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）A60 B30 C45 D90【答案】C8 / 8
