1、第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题六代数与几何综合【题型题型1】以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、最值和不等式等知识最值和不等式等知识【例例 1】（2018菏泽市）如图，已知点菏泽市）如图，已知点D在反比例函数在反比例函数 的图象上，过点的图象上，过点D作作DBy轴，垂足为轴，垂足为B（0，3），），直线直线ykxb经过点经过点A（5，0），与），与y轴交于点轴交于点C，且，且BD OC，OC OA2 5.(1)求反比例函数求反比例函数 和一次和一次 函数函数ykxb的表达式；的表达式；(2)直接写出关于直接写出关于x的不等式的不等式 kx
2、b的解集的解集.ayx ayx axax思路点拨：（思路点拨：（1）由）由OC，OA，BD之间的关系，再结合之间的关系，再结合点点A，B的坐标可得出点的坐标可得出点C，D的坐标，再利用待定系数的坐标，再利用待定系数法可求得两个函数的表达式；（法可求得两个函数的表达式；（2）利用两函数图象的）利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式上下位置关系即可找出不等式 kxb的解集的解集.ayx(1)解：解：BDOC，OC OA2 5，点，点A（5，0），），点点B（0，3），），OA5，OCBD2，OB3.又又点点C在在y轴负半轴，点轴负半轴，点D在第二象限，在第二象限，点点C的坐标为（的坐标为（0，
3、2），点），点D的坐标为（的坐标为（2，3）.点点D（2，3）在反比例函数）在反比例函数 的图象上，的图象上，a236.反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为 将将A（5，0），），C（0，2）代入）代入ykxb，得得 解得解得 一次函数的表达式为一次函数的表达式为 502kbb ，6.yx 252.kb ，22.5yxax(2)不等式不等式 kxb的解集为的解集为x0.【题型题型1】以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、最值和不等式等知识最值和不等式等知识【即时巩固即时巩固1】（2018河北省）如图，直角坐标系河北省）如图，直角坐标系xOy中，中，
4、一次函数一次函数 的图象的图象l1分别与分别与x，y轴交于轴交于A，B两两 点，正比例函数的图象点，正比例函数的图象l2与与l1交于点交于点C（m，4）.(1)求求m的值及的值及l2的解析式；的解析式；(2)求求SAOCSBOC的值；的值；(3)一次函数一次函数ykx1的图象为的图象为l3，且且l1，l2，l3不能围成三角形，不能围成三角形，直接写出直接写出k的值的值.152yx 【题型题型1】以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、以一次函数或反比例函数为背景，结合面积、最值和不等式等知识最值和不等式等知识152yx 1452m 152yx 1110 4522051522 (1)解：把解：把
5、C（m，4）代入一次函数）代入一次函数 ，得得 ，解得，解得m2.C（2，4）.设设l2的解析式为的解析式为yax，则，则42a，解得，解得a2.l2的解析式为的解析式为y2x；(2)解：如图，过解：如图，过C作作CDAO于于D，CEBO于于E，则，则CD4，CE2.，令，令x0，则，则y5；令令y0，则，则x10.A（10，0），），B（0，5）.AO10，BO5.SAOCSBOC ；32(3)或或 2 或或 .12【题型题型2】以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识【例例 2】（2018白银市）如图，已知二次函数白银市）如图，已知二次函数yax
6、22x c的图象经过点的图象经过点C（0，3），与），与x轴分别交于点轴分别交于点A，点，点B（3，0）.点点P是直线是直线BC上方的抛物线上一动点上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数求二次函数yax22xc的解析式；的解析式；(2)连接连接PO，PC，并把，并把POC沿沿y轴翻轴翻 折，得到四边形折，得到四边形POPC.若四边形若四边形 POPC为菱形，请求出此时点为菱形，请求出此时点P的的 坐标；坐标；(3)当点当点P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形 ACPB的面积最大？求出此时的面积最大？求出此时P点点 的坐标和四边形的坐标和四边形ACPB的最大面积的最大面积.思路点拨
7、：（思路点拨：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点横坐点横坐标；（标；（3）过点）过点P作作PFy轴，交轴，交BC于点于点Q，交，交x轴于点轴于点F，求出求出PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案次函数的性质，可得答案.解：解：(1)将点将点B和点和点C的坐标代入函数解析式，得的坐标代入函数解析式，得 解得解得
8、二次函数的解析式为二次函数的解析式为yx22x3.(2)若四边形若四边形POPC为菱形，则点为菱形，则点P在线段在线段CO的垂直的垂直 平分线上，如图平分线上，如图1，连接，连接PP，交，交CO于点于点E，则，则PECO.C（0，3），），E（0，）.点点P的纵坐标为的纵坐标为 .当当y 时，即时，即x22x3 ，解得解得x1 (不合题意，舍去不合题意，舍去).点点P的坐标为（的坐标为（）.9603acc，13.ac ，32323232221021022x，210 322，(3)如图如图2，点，点P在抛物线上，设在抛物线上，设P(m，m22m3)，设直线，设直线 BC的解析式为的解析式为ykx
9、b.将点将点B和点和点C的坐标代入函数解析的坐标代入函数解析 式，得式，得 解得解得 直线直线BC的解析式为的解析式为yx3；过点过点P作作PFy轴，交轴，交BC于点于点Q，交，交x轴轴 于点于点F，设点，设点Q的坐标为的坐标为(m，m3)，则则PQm22m3(m3)m23m.当当y0时，时，x22x30，解得解得x11，x23.OA1，AB3(1)4.S四边形四边形ABPCSABCSPCQSPBQ ABOC PQOF PQFB 303kbb，13.kb ，1212122211337543(3)3()22228mmm ，当当m 时，四边形时，四边形ACPB的面积最大的面积最大.当当m 时，时，
10、m22m3 ，即点，即点P的坐标为的坐标为().当点当点P的坐标为（的坐标为（）时，四边形）时，四边形ACPB的最大面积值的最大面积值为为 .75832321543 1524，3 1524，【题型题型2】以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识【即时巩固即时巩固2】（2018深圳市）已知顶点为深圳市）已知顶点为A的抛物线的抛物线 经过点经过点B（，2），点），点C（，2）.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)如图如图1，直线，直线AB与与x轴相交于点轴相交于点M，y轴相交于点轴相交于点E，抛物线与，抛物线与y轴相交轴相交 于点于点F，在直
11、线，在直线AB上有一点上有一点P，若，若 OPMMAF，求，求POE的面积；的面积；(3)如图如图2，点，点Q是折线是折线ABC上一点，上一点，过点过点Q作作QNy轴，过点轴，过点E作作ENx 轴，直线轴，直线QN与直线与直线EN相交于点相交于点N，连接连接QE，将，将QEN沿沿QE翻折得到翻折得到 QEN1，若点，若点N1落在落在x轴上，请直接写出点轴上，请直接写出点Q的坐标的坐标.21()22ya x32 52【题型题型2】以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识以二次函数为背景，结合三角形、四边形等知识(1)解：把点解：把点B(，2)代入代入 ，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的
12、解析式为 .(2)解：设直线解：设直线AB解析式为解析式为ykxb，代入点，代入点A(，2)，点点B的坐标得的坐标得 解得解得 直线直线AB的解析式为的解析式为y2x1.易求易求E(0，1)，F(0，)，M(，0).OE1，FE .OPMMAF，OPAF，122322kbkb ，21.kb ，74 3412 21()22ya x32 21()22yx12OPEFAE.OP设点设点P（t，2t1），），OP 化简得化简得(15t2)(3t2)0，解得解得 t1 ，t2 .SOPE 当当t 时时，SOPE ；当当t 时，时，SOPE .综上，综上，POE的面积为的面积为 或或 .225(21)3t
13、t ，215 2244175(0)(2).33243FA 215 14.334OPOEFAFE23 12OE t121121515 23 1211233 11513(3)点点Q的坐标为（的坐标为（）或（）或（，2）或）或 （，2）.3 55 3 555 34 2 ，【题型题型3】以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式 等知识等知识【例例 3】（2018盐城市）学校与图书馆在同一条笔直道路盐城市）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目
14、的地都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离两人之间的距离y（米）与时间（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（分钟）之间的函数关系如图所示.(1)根据图象信息，当根据图象信息，当t_分钟分钟 时甲乙两人相遇，甲的速度为时甲乙两人相遇，甲的速度为 _米米/分钟；分钟；(2)求出线段求出线段AB所表示的函数表达式所表示的函数表达式.2440【题型题型3】以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式 等知识等知识思路点拨：（思路点拨：（1）根据图象信息，当）根据图象信息，当t24分钟时甲乙两人分钟时甲乙两人相遇，甲相遇，甲60分钟行驶分钟行驶2
15、 400米，根据速度路程米，根据速度路程时间可得时间可得甲的速度；甲的速度；（2）由）由t24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为度和为2 40024100米米/分钟，减去甲的速度得出乙的速分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将点的纵坐标，再将A，B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表所表示的函数表达式示的函数表达式.(2)解：由图意可
16、得甲、乙两人的速度和为解：由图意可得甲、乙两人的速度和为 2 40024100（米（米/分钟）分钟）.由（由（1）得，甲的速度为）得，甲的速度为40米米/分钟，分钟，乙的速度为乙的速度为1004060（米（米/分钟）分钟）.乙从图书馆回学校的时间为乙从图书馆回学校的时间为2 4006040(分钟分钟)，40401 600，A点的坐标为（点的坐标为（40，1 600）.设线段设线段AB所表示的函数表达式为所表示的函数表达式为ykxb.A（40，1 600），），B（60，2 400），），解得解得 线段线段AB所表示的函数表达式为所表示的函数表达式为y40 x.401600602400kbkb，
17、400.kb ，【题型题型3】以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式 等知识等知识【即时巩固即时巩固3】（2018南京市）小明从家出发，沿一条直南京市）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16 min回到家回到家中中.设小明出发第设小明出发第t min时的速度为时的速度为v m/min，离家的距离，离家的距离为为s m，v与与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）不包含这一点）.(1)小明出发第小明出发第2 min时，离家时，离家 的
18、距离为的距离为_m；(2)当当2t5时，求时，求s与与t之间的之间的 函数表达式；函数表达式；(3)画出画出s与与t之间的函数图象之间的函数图象.200【题型题型3】以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式以实际问题为背景，结合函数、方程和不等式 等知识等知识(2)解：当解：当2t5时，时，s1002160(t2)160t120.故故s与与t之间的函数表达式为之间的函数表达式为s160t120.(3)解：解：s与与t之间的函数关系式为之间的函数关系式为 函数图象如图所示：函数图象如图所示：10002160120258028056.25128080.6.2516ttttstttt ，()()，(
19、)()，()()()()【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识【例例 4】（2018广东省）已知广东省）已知RtOAB，OAB90，ABO30，斜边，斜边OB4，将，将RtOAB绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转60，如题图，如题图1，连接，连接BC.(1)填空：填空：OBC_；(2)如图如图1，连接，连接AC，作，作OPAC，垂足为，垂足为P，求，求OP的长度；的长度；(3)如图如图2，点，点M，N同时从点同时从点O出发，在出发，在OCB边上运动，边上运动，M 沿沿OCB路径匀速运动，路径匀速运动，N沿沿OBC路径匀速运动，路径匀速运动，当两点
20、相遇时运动停止，已知点当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为的运动速度为1.5单位单位/秒，点秒，点N的运动速度为的运动速度为1单位单位/秒，设运动时间为秒，设运动时间为x秒，秒，OMN的面积为的面积为y，求当求当x为何值时为何值时y取取 得最大值？最大值得最大值？最大值 为多少？为多少？60【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识思路点拨：思路点拨：(1)只要证明只要证明OBC是等边三角形即可；是等边三角形即可；(2)求求出出AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；的面积，利用三角形的面积公式计算即可；(3)分分三种情形讨论求解即可解
21、决问题：当三种情形讨论求解即可解决问题：当0 x 时，时，M在在OC上运动，上运动，N在在OB上运动；当上运动；当 x4时，时，M在在BC上运上运动，动，N在在OB上运动；当上运动；当4x4.8时，时，M，N都在都在BC上运动上运动.8383(2)解：如图解：如图1中，中，OB4，ABO30，OA OB2，AB OA .易证易证BOC是等边三角形，是等边三角形，OBC60，ABCABOOBC90.AC SAOC OAAB ，OP ；12222 7.ABBC32 312122 32 2 324 32 2172 7AOCSAC【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背
22、景，结合函数等知识(3)解：当解：当0 x 时，如答图时，如答图2，M在在OC上运动，上运动，N在在 OB上运动上运动.作作NEOC且交且交OC于点于点E.NEONsin60 .ySOMN OMNE .x 时，时，y有最大值，最大值有最大值，最大值 .8332x12131.522xx23 38x838 33【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识当当 x4时，如答图时，如答图3，M在在BC上运动，上运动，N在在OB上运上运 动动.作作MHOB于点于点H.则则BM81.5x.MHBMsin60 (81.5x).y ONMH .x ，当当 x4时，
23、时，y的值均小于的值均小于 .83321223 32 38xx823ba 8 3383【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识当当4x4.8时，如答图时，如答图4，M，N都在都在BC上运动上运动.作作OGBC于点于点G.则则MN122.5x，OGAB .y MNOG .当当x4时，时，y有最大值，最大值有最大值，最大值 .综上所述，综上所述，y有最大值，最大值为有最大值，最大值为 .2 3125 312 32x 8 332 3【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识【即时巩固即时巩固4】（201
24、6广东）如图，广东）如图，BD是正方形是正方形ABCD的的对角线，对角线，BC2，边，边BC在其所在的直线上平移，将通过平在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为移得到的线段记为PQ，连接，连接PA，QD，并过点，并过点Q作作QOBD，垂足为垂足为O，连接，连接OA，OP.(1)请直接写出线段请直接写出线段BC在平移过程中，四边形在平移过程中，四边形APQD是什么是什么 四边形？四边形？(2)请判断请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设在平移变换过程中，设ySOPB，BPx（0 x2），求），求 y与与x之间
25、的函数关系式，并求出之间的函数关系式，并求出y的最大值的最大值.【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识(1)四边形四边形APQD为平行四边形；为平行四边形；(2)解：解：OAOP，OAOP.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBCPQ，ABOOBQ45.OQBD，PQO45.ABOOBQPQO45.OBOQ.OAB OPQ（SAS）.OAOP，AOBPOQ.AOPBOQ90.OAOP；【题型题型4】以三角形、四边形为背景，结合函数等知识以三角形、四边形为背景，结合函数等知识22x 12222x 211(1)44x 22x 12222x 211(1)44x14(3)解：如答图解：如答图1，当点，当点P在点在点B右侧时，过右侧时，过O作作OEBC 于于E.则则BQx2，OE .y ，即，即y .又又0 x2，当当x2时，时，y有最大值为有最大值为2；如答图如答图2，当点，当点P在在B点左侧时，点左侧时，过过O作作OEBC于于E.则则BQ2x，OE .y ，即，即y ，又又0 x2，当当x1时，时，y有最大值为有最大值为 ；综上所述，当综上所述，当x2时，时，y有最大值为有最大值为2.
