1、专题四专题四 二次函数压轴二次函数压轴题题 类型六类型六 与角度有关的问题与角度有关的问题例例 7（2015南宁）在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线yax2(a0)上两个不同的动点，其中A在第二象限，B在第一象限 （1）如图所示，当直线AB与x轴平行，AOB90，且AB2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；例7题图 典例精析【思维教练思维教练】设AB与y轴交于点C，已知AB与x轴平行，根据抛物线的对称性及AOB90，可求出点A(1，1)，B(1，1)，把点B的坐标代入yax2即可求得a，A、B两点的横坐标的乘积为xAxB.解解：如解图，设直线AB与y轴相交于点C，抛物线关于y
2、轴对称，AB2，ACBC1，AOB90，ACBCOC，A(1，1)，B(1，1)，xAxB111，将B(1，1)代入yax2，得a1，抛物线解析式为yx2；例7题解图 （2）如图所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，AOB仍为90时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；【思维教练思维教练】分别过点A、B作AM、BN垂直x轴于点M、N，设A(c，c2)，B(b，b2)，即可得出AM，OM，ON，BN的长度，通过证明AOMOBN，利用相似三角形的性质即可得到关于b，c的方程，继而求得bc的值，即可得解例7题图 解解：A、B两点的横坐标的乘
3、积是常数，为1.证明：如解图，分别过点A、B作AM、BN垂直x轴于点M、N，设A(c，c2)，B(b，b2)，AOB90，AOMOAMAOMBON，OAMBON，又AMOONB90，AOMOBN，即 ，b2c2bc，b、c均不能为0，bc1，即A、B两点的横坐标的乘积是常数，为1；AM OMONBN22ccbb例7题解图（3）在（2）的条件下，若直线y2x2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且BPCOCP，求点P的坐标【思维教练思维教练】设A(c，c2)，B(b，b2)，利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，即可求出点D的坐标，根据直线PC的解析式可求出点C的坐标，过点P
4、作PGy轴于点G，设P(x,2x2)，继而求得PG，PD，DG，在RtPDG中，利用勾股定理即可求出x，点P的坐标即可求得.例7题图 解解：如解图，过点P作PGy轴于点G，设AB的解析式为ykxt，A(c，c2)，B(b，b2)，bc 1，A(，)，将B(b，b2)，A(，)代入直线AB的解析式ykxt，得 ，得b2 bk k，即(b )(b )(b )k，1b21b21b1b2211bbk tk tbb 21b1b1b1b1b例7题解图b 0，kb ，将kb 代入，得b2b21t，t1，即D(0，1)，当x0时，y2x22，即C(0，2)，设P(x，2x2)，则PGx，OG 2x2，DC3，
5、OC2，OD1，GD OGOD2x3，BPCOCP，DPDC3，在RtPGD中，PG2DG2PD2，即x2(2x3)29，x10(舍去)，x2 )，y2x2 ，P(，)1b1b1b125125145145例7题解图1.探究90角，分以下三种情况：(1)点在直线上运动与两个已知点形成直角：一般可以形成14个直角，可以通过构造与已知的直角三角形相似的三角形，通过相似比建立等式从而求出点坐标；(2)点在抛物线上运动，抛物线上的点和直线上的两个交点形成直角：一般构造圆，通过直径所对的圆周角为90，所作的圆与抛物线的交点即为满足条件的点，再通过直角三角形的性质建立等量关系求解；(3)点在抛物线上运动与抛物线和坐标轴中的两个交点形成直角：分为以备考指导抛物线与x轴交点为直角顶点和以抛物线与y轴交点为直角顶点，以动点为直角顶点这三种情况，其中以动点为直角顶点时，一般是通过构造圆，通过直径所对的圆周角为90来确定存在的点2.探究两个角相等：(1)可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程求得动点的坐标；(2)通过构造两个三角形相似，根据相似三角形的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立得方程求出动点的坐标
