1、 再探几何最值 睿达实验睿达实验王志荣王志荣20182018年月号年月号 几何中的最值问题是指在一定的几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个条件下，求平面几何图形中某个确定的量确定的量(如线段长度、角度大小、如线段长度、角度大小、图形面积图形面积)等的最大值或最小值等的最大值或最小值。知识纵横知识纵横1 1.两点之间，线段最短两点之间，线段最短解题的依据（哪些定理、公理）？解题的依据（哪些定理、公理）？2.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简称垂线段最短）垂线段最短。（简称垂线段最短）例题分析例题分析22(,)2
2、2-例：已知点例：已知点 和点和点B(-a,-a),当线段当线段AB最短时，点最短时，点B的坐标为的坐标为(0,2)A-变式：在平面直角坐标系中，已知变式：在平面直角坐标系中，已知P(-1,1)和动点和动点Q(a,b),其中其中a,b满足满足3a+4b=5,则线段则线段PQ的最小值为的最小值为45例例如图，如图，在在RTABC中，中，ACB=90ACB=90O O,AC=4,BC=6,AC=4,BC=6,点点D D是边是边BCBC的中点，点的中点，点E E是边是边ABAB上的任意一点（点上的任意一点（点E E不与点不与点B B重合）沿重合）沿DEDE翻折翻折DBE 使点使点B B落在点落在点F
3、 F处，处，连接连接AFAF，则线段，则线段AFAF长的最小值是长的最小值是_例题分析例题分析解题小结：遇到动点到解题小结：遇到动点到定点的距离等于定长时，定点的距离等于定长时，可以考虑构造辅助圆。可以考虑构造辅助圆。“圆满解决圆满解决”“道是无圆却有圆”例例如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=5，AD=12，以以BC为斜边在矩形外部作直角三角形为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为为CD的中点，则的中点，则EF的最大值为的最大值为_252例题分析例题分析解题小结：遇到线段所对的解题小结：遇到线段所对的角是直角，可以构造辅助圆。角是直角，可以构造辅助圆。“圆满解决圆满解决”“道是无
4、圆却有圆”变式训练变式训练 如图，如图，在边长为的等边在边长为的等边ABC中，点中，点D,E分别为边分别为边BC，AC上的点，且上的点，且AE=CD,连接连接BE,AD相交于点相交于点P,当点当点E从点从点A向点向点C运动的过程中，则运动的过程中，则CP的最小值为的最小值为_2 3解题小结：遇到线段所对的解题小结：遇到线段所对的角是定值，可以构造辅助圆。角是定值，可以构造辅助圆。“圆满解决圆满解决”“道是无圆却有圆”例题例题4 4如图，边长为如图，边长为6的等边三角形的等边三角形ABC中，中，E是高是高AD上的一个动点，连接上的一个动点，连接EC，以，以EC为边向下构造等为边向下构造等边三角形
5、边三角形CEF，则在点，则在点E运动的过程中，线段运动的过程中，线段DF长度的最小值为长度的最小值为_学以致用学以致用1、如图，、如图，AB,BC是是 O的弦，的弦，B=60，点，点O在在B内，点内，点D为为 上的动点，点上的动点，点M,N,P分别是分别是AD，DC,CB的中点，若的中点，若 O的半径为的半径为2，则则PN+MN的长度的最大值是的长度的最大值是_AC 2、如图，点如图，点C为线段为线段AB的中点，的中点，E为直线为直线AB上上方的一点，且满足方的一点，且满足CECB，连接，连接AE，以，以AE为为腰，腰，A为顶角顶点作等腰为顶角顶点作等腰RtADE，连接，连接CD，当，当CD最
6、大时，最大时，DEC的度数为的度数为=_学以致用学以致用 3、如图，点如图，点 O 为坐标原点，为坐标原点，O 的半径为的半径为 1，点点 A（2，0）动点）动点 B 在在 O 上，连结上，连结 AB，作，作 等边等边ABC（A，B，C 为顺时针顺序），为顺时针顺序），OC 的最大值的最大值为为_学以致用学以致用4、如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为的坐标为（2，0），点），点 B 的坐标为（的坐标为（5，0），点），点 P 为为 线线段段 AB 外一动点，且外一动点，且 PA=2，PM=PB，BPM=90，求线段，求线段 AM 长的最大值及此时点长的最大值
7、及此时点 P 的坐的坐 标标学以致用学以致用5如图，在等腰如图，在等腰 RtABC中，中，F是是AB边上的边上的中点，点中点，点D、E分别在分别在AC、BC边上运动，且保边上运动，且保持持 连接连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，在此运动变化的过程中，下列结论：下列结论：是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；四边形四边形CDFE不可能为正方形，不可能为正方形，DE长度的最小值为长度的最小值为4；四边形四边形CDFE的面积保持不变；的面积保持不变；CDE面积的最大值为面积的最大值为8其中正确的结论是（其中正确的结论是（）AB CDB6、如图，已知正方形、如图，已知正方形ABCD的边长为，的边
8、长为，E，F分别是边分别是边BC，CD上的点，且满足上的点，且满足BE=CF，则则AEF的面积的最小值为的面积的最小值为_38六、总结提升六、总结提升求几何最值问题的基本方法有：求几何最值问题的基本方法有：一、利用一、利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”二、利用二、利用“垂线段最短垂线段最短”三、利用三、利用“方程或函数方程或函数”“”“构造隐圆构造隐圆”等等从特殊位置与极端位置（中点处，垂直关系等，从特殊位置与极端位置（中点处，垂直关系等，端点处、临界位置等）的研究中易得到启示常端点处、临界位置等）的研究中易得到启示常能找到解题的突破口，有时先大胆猜想，再验能找到解题的突破口，有时先大胆猜想，再验证，解题时证，解题时需要运用动态思维、数形结合、特需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法等思想方法如图，如图，ABC和和ADE是有公共顶点的等腰是有公共顶点的等腰直角三角直角三角形，形，AB=2,AD=1,BAC=DAE=90，点点P为射线为射线BD，CE的交点旋转过程中线段的交点旋转过程中线段PB长的最小值与最大值长的最小值与最大值为为_课后思考课后思考
