1、第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题二代数运算与方程【题型题型1】实数运算实数运算【例例 1】（2018怀化市）计算：怀化市）计算：思路点拨：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数思路点拨：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案.【即时巩固即时巩固1】(2018曲靖市曲靖市)计算：计算：0131(2)(3.14)27().3 解：原式解：原式21333.0112sin30(2)31().2 解：原式解：原式12131213.2 【题型题型2】整式运算整式运算【例例2】(2018宜昌市宜昌市)先化简，再求值：先化简
2、，再求值：,其中其中 .(1)(2)(2)x xxx64x 解：原式解：原式当当 时时,原式原式2244,xxxx64x 6446.思路点拨：根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简思路点拨：根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解的值代入化简后的式子即可解答本题答本题.【题型题型2】整式运算整式运算【即时巩固即时巩固2】（2018宁波市）先化简，再求值：宁波市）先化简，再求值：(x1)2x(3x)，其中，其中1.2x 解：原式解：原式 当当 时时,原式原式222131.xxxxx 111.2212x 【题型题型3】分式运算分式运
3、算【例例3】(2018盐城市盐城市)先化简，再求值：先化简，再求值：其中其中 .思路点拨：原式括号中两项通分需利用同分母分式的减思路点拨：原式括号中两项通分需利用同分母分式的减法法则计算法法则计算.约分得到最简结果后，把约分得到最简结果后，把x的值代入计算即的值代入计算即可求出代数式的值可求出代数式的值.21(1),11xxx21x 解：原式解：原式(1)(1)1.1xxxxxx 当当 时时,原式原式21x 2.【题型题型3】分式运算分式运算【即时巩固即时巩固3】(2017盐城市盐城市)先化简，再求值：先化简，再求值：其中其中 .35(2),22xxxx 33x 2345()222xxxxx2
4、3922xxxx322(3)(3)xxxxx 1.3x 解：原式解：原式当当 时时,原式原式33x 113.33333【题型题型4】分式方程的解法分式方程的解法【例例4】（改编题）（改编题）解分式方程：解分式方程：思路点拨：把分式方程去分母转化为整式方程，解整式思路点拨：把分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解的值，经检验即可得到分式方程的解.14.6xx 解：去分母，得解：去分母，得x64x，解得，解得x2.经检验，经检验，x2是分式方程的解，是分式方程的解，原分式方程的解为原分式方程的解为x2.【题型题型4】分式方程的解法分式方程的解法【即时
5、巩固即时巩固4】（改编题）（改编题）解分式方程：解分式方程：3.1xxxx 解：方程两边都乘以解：方程两边都乘以x(x1)，得，得(x3)(x1)x2，解得解得x .经检验，经检验，x 是分式方程的解，是分式方程的解，原分式方程的解为原分式方程的解为x .32 32 32【题型题型5】分式方程应用题分式方程应用题【例例 5】（2018乌鲁木齐市）某校组织学生去乌鲁木齐市）某校组织学生去9 km外的郊外的郊 区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生 乘公共汽车出发，结果他们同时到达乘公共汽车出发，结果他们同时到达.己知公共汽车的速度己知
6、公共汽车的速度 是自行车速度的是自行车速度的3倍，问自行车的速度和公共汽车的速度分倍，问自行车的速度和公共汽车的速度分 别是多少？别是多少？思路点拨：设自行车的速度为思路点拨：设自行车的速度为x km/h，则公共汽车的速度，则公共汽车的速度为为3x km/h，根据时间路程，根据时间路程速度结合乘公共汽车比骑速度结合乘公共汽车比骑自行车少用自行车少用 小时，即可得出关于小时，即可得出关于x的分式方程，解之并的分式方程，解之并检验即可得出结论检验即可得出结论.12【题型题型5】分式方程应用题分式方程应用题解：设自行车的速度为解：设自行车的速度为x km/h，则公共汽车的速度，则公共汽车的速度 为为
7、3x km/h.根据题意，得根据题意，得 ，解得，解得x12.经检验，经检验，x12是原分式方程的解，是原分式方程的解，3x36.答：自行车的速度是答：自行车的速度是12 km/h，公共汽车的速度，公共汽车的速度 是是36 km/h.99132xx【题型题型5】分式方程应用题分式方程应用题【即时巩固即时巩固5】甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作 彩旗彩旗.已知甲每小时比乙多做已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做面彩旗，甲做60面彩旗与面彩旗与 乙做乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少 面彩旗？面彩旗？解
8、：设乙每小时做解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做面彩旗，则甲每小时做(x5)面彩旗面彩旗.根据题意，得根据题意，得 ，解得，解得x25.经检验，经检验，x25是原分式方程的解是原分式方程的解.x530.答：甲每小时做答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做面彩旗，乙每小时做25面彩旗面彩旗.60505xx 【题型题型6】二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法【例例 6】（改编题）解方程组：（改编题）解方程组：思路点拨：利用加减消元法求解可得思路点拨：利用加减消元法求解可得.225xyxy，.解：解：，得，得3y3，解得，解得y1.将将y1代入，得代入，得x12，解得，解得x3.所以方程组的解
9、为所以方程组的解为25xyxy ，.31xy ，.【题型题型6】二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法【即时巩固即时巩固6】（2017广州市）解方程组：广州市）解方程组：解：由解：由3，得，得x4.将将x4代入，得代入，得y1.原方程组的解为原方程组的解为 41xy ，.52311xyxy ，.【题型题型7】二元一次方程组应用题二元一次方程组应用题【例例 7】（2018黄冈市）在端午节来临之际，某商店订购黄冈市）在端午节来临之际，某商店订购 了了A型和型和B型两种粽子，型两种粽子，A型粽子型粽子28元元/千克，千克，B型粽子型粽子24元元 /千克，若千克，若B型粽子的数量比型粽子的数量比A型
10、粽子的型粽子的2倍少倍少20千克，购进千克，购进 两种粽子共用了两种粽子共用了2 560元元.求两种型号粽子各多少千克求两种型号粽子各多少千克.思路点拨：设订购了思路点拨：设订购了A型粽子型粽子x千克，千克，B型粽子型粽子y千克千克.根根据据B型粽子的数量比型粽子的数量比A型粽子的型粽子的2倍少倍少20千克，购进两种千克，购进两种粽子共用了粽子共用了2 560元列出方程组，求解即可元列出方程组，求解即可.解：设订购了解：设订购了A型粽子型粽子x千克，千克，B型粽子型粽子y千克千克.根据题意，得根据题意，得 解得解得 答：订购了答：订购了A型粽子型粽子40千克，千克，B型粽子型粽子60千克千克.
11、22028242560yxxy，4060 xy ，.【题型题型7】二元一次方程组应用题二元一次方程组应用题【即时巩固即时巩固7】（2018白银市）白银市）九章算术九章算术是中国古代是中国古代 数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分 数问题，也首先记录了数问题，也首先记录了“盈不足盈不足”等问题等问题.如有一道阐述如有一道阐述“盈不足盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为：问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙
12、出钱买鸡，如果每人出现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多文钱，就会多11文文钱；如果每人出钱；如果每人出6文钱，又会缺文钱，又会缺16文钱文钱.问买鸡的人数、鸡问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题的价格各是多少？请解答上述问题.解：设合伙买鸡者有解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为人，鸡的价格为y文钱文钱.根据题意，得根据题意，得 解得解得 答：合伙买鸡者有答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为人，鸡的价格为70文钱文钱.911616yxyx，970 xy ，.【题型题型8】一元二次方程的解法一元二次方程的解法【例例8】（改编题）解方程：（改编题）解方程：(x3)(x1)1.思路
13、点拨：先把方程化为一般式，然后利用因式分思路点拨：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程解法解方程.解：原方程可化为解：原方程可化为x24x40.因式分解，得因式分解，得(x2)20.x1x22.【题型题型8】一元二次方程的解法一元二次方程的解法【即时巩固即时巩固8】（2016山西省）解方程：山西省）解方程：2(x3)2x29.解：解：原方程可化为原方程可化为2(x3)2(x3)(x3).即即(x3)2(x3)(x3)0，(x3)(x9)0.x30 或或 x90.x13，x29.【题型题型9】一元二次方程应用题一元二次方程应用题【例例 9】（2018沈阳市）某公司今年沈阳市）某公司今年1
14、月份的生产成本是月份的生产成本是 400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的月份的 生产成本是生产成本是361万元万元.假设该公司假设该公司2，3，4月每个月生产成月每个月生产成 本的下降率都相同本的下降率都相同.（1）求每个月生产成本的下降率；）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测）请你预测4月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本.思路点拨：（思路点拨：（1）设每个月生产成本的下降率为）设每个月生产成本的下降率为x，根据，根据3月份的生产成本是月份的生产成本是361万元，即可得出关于万元，即可得出关于x的一元二的一元二次方程，解之取其较小
15、值即可得出结论；（次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由）由4月份月份该公司的生产成本该公司的生产成本3月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本（1下下降率），即可得出结论降率），即可得出结论.解：（解：（1）设每个月生产成本的下降率为）设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得根据题意，得400(1x)2361，解得解得x10.055%，x21.95（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为答：每个月生产成本的下降率为5%.（2）361（15%）342.95（万元）（万元）.答：预测答：预测4月份该公司的生产成本为月份该公司的生产成本为342.95万元万元.【题
16、型题型9】一元二次方程应用题一元二次方程应用题【即时巩固即时巩固9】（2018盐城市）一商店销售某种商品，平盐城市）一商店销售某种商品，平 均每天可售出均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元元.为了扩大销售、增加为了扩大销售、增加 盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的元的 前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，元，平均每天可多售出平均每天可多售出2件件.（1）若降价）若降价3元，则平均每天销售数量为元，则平均每天销售数量为_件；件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售
17、利润为）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1 200元？元？26【题型题型9】一元二次方程应用题一元二次方程应用题（2）解：设每件商品降价）解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润元时，该商店每天销售利润 为为1 200元元.根据题意，得根据题意，得(40 x)(202x)1 200，整理，得整理，得x230 x2000，解得解得x110，x220.要求每件盈利不少于要求每件盈利不少于25元，元，x220应舍去应舍去.答：每件商品降价答：每件商品降价10元时，该商店每天销售元时，该商店每天销售 利润为利润为1 200元元.【题型题型10】一元一次不等式一元一次不等式(组组)的解
18、法的解法【例例10】（2016黄冈市）解不等式：黄冈市）解不等式：思路点拨：根据一元一次不等式的解法，先去分母，再思路点拨：根据一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号、移项、合并同类项，把去括号、移项、合并同类项，把x的系数化为的系数化为1即可解即可解.解：去分母，得解：去分母，得 x16(x1)8，去括号，得去括号，得x16x68，移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得5x15，系数化为系数化为1，得，得x3.13(1)4.2xx【题型题型10】一元一次不等式一元一次不等式(组组)的解法的解法【即时巩固即时巩固10】（2017怀化市）解不等式组：怀化市）解不等式组：并把它的解集在数轴上表
19、示出来并把它的解集在数轴上表示出来.233(1)(5)0 xxxx，解：由解：由2x3x，解得，解得x3，由由3(x1)(x5)0，解得，解得x1，原不等式组的解集是原不等式组的解集是1x3.它的解集在数轴上表示为：它的解集在数轴上表示为：【题型题型11】一元一次不等式应用题一元一次不等式应用题【例例11】（2016宁波市）某商场销售宁波市）某商场销售A，B两种品牌的教两种品牌的教 学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示.该商场该商场 计划购进两种教学设备若干套，共需计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售万元，全部销售 后可获毛利润后可
20、获毛利润9万元万元.(1)该商场计划购进该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？两种品牌的教学设备各多少套？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知种设备的购进数量，已知B种设种设备增加的数量是备增加的数量是A种设备减少数量的种设备减少数量的1.5倍倍.若用于购进这两若用于购进这两种教学设备的总资金不超过种教学设备的总资金不超过69万元，问万元，问A种设备购进数量种设备购进数量至多减少多少套？至多减少多少套？【题型题型11】一元一次不等式应用题一元一次不等式应
21、用题思路点拨：（思路点拨：（1）设该商场计划购进）设该商场计划购进A，B两种品牌的教两种品牌的教学设备分别为学设备分别为x套、套、y套，根据购进两种设备的总资金为套，根据购进两种设备的总资金为66万元及销售利润万元及销售利润9万元建立方程组求解即可；（万元建立方程组求解即可；（2）设）设A种设备购进数量减少种设备购进数量减少a套，则套，则B种设备购进数量增加种设备购进数量增加1.5a套，根据购进设备的总资金不超过套，根据购进设备的总资金不超过69万元建立不等万元建立不等式求解即可式求解即可.解：解：(1)设该商场计划购进设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备两种品牌的教学设备 分别为分别为x
22、套、套、y套套.由题意，得由题意，得 解得解得 答：该商场计划购进答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设两种品牌的教学设 备分别为备分别为20套、套、30套套.(2)设设A种设备购进数量减少种设备购进数量减少a套，则套，则B种设备购种设备购 进数量增加进数量增加1.5a套套.由题意，得由题意，得1.5(20a)1.2(301.5a)69，解得解得a10.答：答：A种设备购进数量至多减少种设备购进数量至多减少10套套.2030 xy ，.1.51.2660.150.29xyxy，【题型题型11】一元一次不等式应用题一元一次不等式应用题【即时巩固即时巩固11】（2018哈尔滨市）春平中学要为学校
23、科技哈尔滨市）春平中学要为学校科技 活动小组提供实验器材，计划购买活动小组提供实验器材，计划购买A型、型、B型两种型号的型两种型号的 放大镜放大镜.若购买若购买8个个A型放大镜和型放大镜和5个个B型放大镜需用型放大镜需用220元；元；若购买若购买4个个A型放大镜和型放大镜和6个个B型放大镜需用型放大镜需用152元元.（1）求每个）求每个A型放大镜和每个型放大镜和每个B型放大镜各多少元；型放大镜各多少元；（2）春平中学决定购买）春平中学决定购买A型放大镜和型放大镜和B型放大镜共型放大镜共75个，个，总费用不超过总费用不超过1 180元，那么最多可以购买多少个元，那么最多可以购买多少个A型型 放大
24、镜？放大镜？【题型题型11】一元一次不等式应用题一元一次不等式应用题解：解：(1)设每个设每个A型放大镜和每个型放大镜和每个B型放大镜分别为型放大镜分别为x元，元，y元元.依题意，得依题意，得 解得解得 答：每个答：每个A型放大镜和每个型放大镜和每个B型放大镜分别为型放大镜分别为 20元、元、12元元.(2)设购买设购买A型放大镜型放大镜m个个.根据题意，得根据题意，得20a12(75a)1 180，解得解得x35.答：最多可以购买答：最多可以购买35个个A型放大镜型放大镜.2012xy ，.8522046152xyxy，【题型题型12】纯代数综合题纯代数综合题【例例 12】（2018扬州市）
25、扬州市）“扬州漆器扬州漆器”名扬天下，某网名扬天下，某网 店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元元/件，每天件，每天 销售销售y（件）与销售单价（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，（元）之间存在一次函数关系，如图所示如图所示.(1)求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销如果规定每天漆器笔筒的销 售量不低于售量不低于240件，当销售件，当销售 单价为多少元时，每天获取单价为多少元时，每天获取 的利润最大，最大利润是多少？的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中该网店店
26、主热心公益事业，决定从每天的销售利润中 捐出捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润 不低于不低于3 600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【题型题型12】纯代数综合题纯代数综合题思路点拨：（思路点拨：（1）可用待定系数法来确定）可用待定系数法来确定y与与x之间的函之间的函数关系式；（数关系式；（2）根据利润销售量）根据利润销售量单件的利润，然单件的利润，然后将（后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；之间的关系式
27、，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出利润）首先得出利润w与与x的函数关系式，进而利用所获的函数关系式，进而利用所获利润等于利润等于3 600元时，对应元时，对应x的值，根据增减性，求出的值，根据增减性，求出x的取值范围的取值范围.解：解：(1)设设y与与x的函数关系式为的函数关系式为ykxb.由题意，得由题意，得 解得解得 故故y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y10 x700.(2)由题意，得由题意，得10 x700240，解得，解得x46.设利润为设利润为w.依题意，得依题意，得 w(x30)y(x30)(10 x700)，w10 x21000 x2100010(x5
28、0)24 000.100，x50时，时，w随随x的增大而增大的增大而增大.x46时，时，w大大10(4650)24 0003 840.答：当销售单价为答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，元时，每天获取的利润最大，最大利润是最大利润是3 840元元.10700kb ，.4030055150kbkb，【题型题型12】纯代数综合题纯代数综合题（3）w15010 x21 000 x21 0001503 600，10(x50)2250，解得解得x155，x245.a100，当当45x55时，捐款后每天剩余利润不低于时，捐款后每天剩余利润不低于 3 600元元.【题型题型12】纯代数综合题纯代数
29、综合题【即时巩固即时巩固12】（2018威海市）为了支持大学生创业，威海市）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业万元的无息创业 贷款贷款.小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5 名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经 营的利润，逐月偿还这笔无息贷款营的利润，逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为已知该产品的成本为 每件每件4元，员工每人每月的工资为元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每千元，该网店还需每 月支付其它费
30、用月支付其它费用1万元万元.该产品每月销售量该产品每月销售量y（万件）与销（万件）与销 售单价售单价x（元）之间的函数关系如图所示（元）之间的函数关系如图所示.(1)求该网店每月利润求该网店每月利润w（万元）与销售（万元）与销售 单价单价x（元）之间的函数表达式；（元）之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月小王自网店开业起，最快在第几个月 可还清可还清10万元的无息贷款？万元的无息贷款？解：解：(1)设直线设直线AB的解析式为的解析式为ykxb.代入代入A（4，4），），B（6，2），），得得 解得解得 直线直线AB的解析式为的解析式为yx8.同理代入同理代入B（6，2），），C（8，1）可得直线）可得直线BC的的 解析式为解析式为y x5.工资及其它费用为工资及其它费用为0.4513（万元），（万元），当当4x6时，时，w1(x4)(x8)3 x212x35.当当6x8时，时，w2(x4)(x5)3 x27x23.18kb ，.4462kbkb，121212(2)当当4x6时，时，w1x212x35(x6)21，当当x6时，时，w1取最大值是取最大值是1.当当6x8时，时，w2 x27x23 (x7)2 ，当当x7时，时，w2取最大值是取最大值是1.5，最快在第最快在第7个月可还清个月可还清10万元的无息贷款万元的无息贷款.121232102026.1.533
