1、河北专版三角形内心、外心的相关计算题型解读河北中考常以尺规作图、圆、网格等为背景考查三角形的内心、外心等概念,往往以选择题、解答题的形式出现,遇到内心时,要连接内心与各顶点或过内心作三角形各边的垂线段,利用内心的性质可得内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的内角;内心到三角形三边的距离相等;遇到外心,就连接外心和各顶点,利用外心到三角形三个顶点的距离相等.类型一外心的相关计算(2019,10/2018,23/2017,23/2016,9/2015,6）1.2019金华模拟 如图Z4-1,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠
2、出洞,这只花猫最好蹲守在()A.ABC的三边高线的交点P处B.ABC的三角平分线的交点P处C.ABC的三边中线的交点P处D.ABC的三边垂直平分线的交点P处图Z4-1D答案 D2.2019保定一模如图Z4-2,在44的网格图中,A,B,C是三个格点,其中每个小正方形的边长为1,ABC的外心可能是()A.M点B.N点C.P点D.Q点图Z4-23.如图Z4-3,每个小三角形都是正三角形,则ABC的外心是()A.D点B.E点C.F点D.G点图Z4-3答案 B解析如图,每个小三角形都是正三角形,AM=AN,MB=BN.ABMN.ABC为直角三角形.G是AN的中点,GEBC,点E是ABC斜边的中点.AB
3、C的外心是斜边的中点,即E点.故选B.4.九个相同的等边三角形如图Z4-4所示放置,已知点O是一个三角形的外心,则这个三角形是()A.ABCB.ABEC.ABDD.ACE图Z4-4答案 C解析分别看点O到各三角形三个顶点的距离是否相等.故选C.5.2019唐山路南区三模如图Z4-5,O为锐角三角形ABC的外心,四边形OCDE为正方形,其中E点在ABC的外部.下列叙述不正确的是()A.O是AEB的外心,O不是AED的外心B.O是BEC的外心,O不是BCD的外心C.O是AEC的外心,O不是BCD的外心D.O是ADB的外心,O不是ADC的外心图Z4-5答案 D解析如图,连接OB,OD,OA.O为锐角
4、三角形ABC的外心,OA=OC=OB.四边形OCDE为正方形,OA=OCOD.OA=OB=OC=OEOD,OA=OEOD,即O不是AED的外心;OA=OE=OB,即O是AEB的外心;OA=OC=OE,即O是ACE的外心;OB=OAOD,即O不是ABD的外心.故选D.图Z4-6答案 D7.2019张家口模拟某中学在校内安放了几个圆柱形饮水桶的木制支架(如图Z4-7).若不计木条的厚度,其俯视图如图,已知AD垂直平分BC,AD=BC=40 cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm.图Z4-7答案 25解析连接OB,如图,当O为ABC的外接圆时,圆柱形饮水桶的底面半径最大.AD垂直平分BC,A
5、D=BC=40,点O在AD上,BD=20.在RtOBD中,设半径为r cm,则OB=r,OD=40-r.r2=(40-r)2+202.解得r=25,即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为25 cm.故答案为25.8.如图Z4-8,在ABC中,B=C=40,点D,E分别从点B,C同时出发,在线段BC上做等速运动,到达C,B点后运动停止.(1)求证:ABE ACD;(2)若AB=BE,求DAE的度数;拓展:若ABD的外心在其内部时,求BDA的取值范围.图Z4-88.如图Z4-8,在ABC中,B=C=40,点D,E分别从点B,C同时出发,在线段BC上做等速运动,到达C,B点后运动停止.(2)若AB=BE
6、,求DAE的度数;图Z4-88.如图Z4-8,在ABC中,B=C=40,点D,E分别从点B,C同时出发,在线段BC上做等速运动,到达C,B点后运动停止.拓展:若ABD的外心在其内部时,求BDA的取值范围.拓展:若ABD的外心在其内部,则ABD是锐角三角形.BAD=140-BDA50.又BDA90,50BDA90.图Z4-8图Z4-9图Z4-9图Z4-91.2018石家庄二模如图Z4-10,把ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上,点O都落在直线MN上,直线MNAB,则点O是ABC的()A.外心B.内心C.三条中线的交点D.三条高的交点类型二内心的相关计算类型二内心的相关计算(201
7、9,23/2018,15)图Z4-10答案 B解析如图,过点O作ODBC于点D,OEAC于点E,OFAB于点F.MNAB,OD=OE=OF(夹在平行线间的距离处处相等).点O到ABC三边的距离相等.点O是ABC的内心.故选B.2.2019菏泽曹县二模如图Z4-11,点I是RtABC的内心,C=90,AC=3,BC=4.将ACB平移,使其顶点C与I重合,两边分别交AB于D,E,则IDE的周长为()A.3B.4C.5D.7图Z4-11答案 C解析如图,连接AI,BI.因为三角形的内心是角平分线的交点,所以AI是CAB的平分线.由平行线的性质和等角对等边,可得AD=DI.同理BE=EI,所以IDE的
8、周长就是边AB的长,即DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=5.3.2019石家庄模拟如图Z4-12,在ABC中,点I为ABC的内心,点D在BC上,且IDBC.若ABC=44,C=56,则AID的度数为()A.174B.176C.178D.180图Z4-12答案 A4.2019秦皇岛海港区一模如图Z4-13,O是ABC的外接圆,I是ABC的内心,AI的延长线与O相交于点D,连接BI,BD,DC.则下列说法中,错误的是()A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C.ABI绕点B顺时针旋转一定能与IBC重合D.线段CD绕点C顺时针旋转一定
9、能与线段CA重合图Z4-13答案 D解析I是ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC.ABI=IBC,BAD=DAC.CD=BD.选项A,C正确.DBC=DAC,DBC=DAB.DBC+IBC=DAB+ABI.IBD=BID.BD=ID.选项B正确.故选D.5.如图Z4-14,是一块含30角(即CAB=30)的三角尺和一个量角器拼在一起,三角尺的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0).现有射线CP绕着点C从CA按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到与ACB的外接圆相切为止.在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.(1)当射线CP与ABC
10、的外接圆相切时,求射线CP旋转的度数.(2)当射线CP分别经过ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?(3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BE=CE.图Z4-14解:(1)如图,连接OC.射线CP与ABC的外接圆相切,OCP=90.OA=OC,ACO=A=30.射线CP旋转的度数是120.5.如图Z4-14,是一块含30角(即CAB=30)的三角尺和一个量角器拼在一起,三角尺的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0).现有射线CP绕着点C从CA按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到与ACB的外接圆相切为止.在旋转过程中,射线CP与量角器的
11、半圆弧交于E.(2)当射线CP分别经过ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?图Z4-14(2)BCA=90,ABC的外接圆就是量角器所在的圆.当CP过ABC的外心时(即过O点),BCE=60,BOE=120,即E处的读数为120.当CP过ABC的内心时,BCE=45,EOB=90(如图),E处的读数为90.5.如图Z4-14,是一块含30角(即CAB=30)的三角尺和一个量角器拼在一起,三角尺的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0).现有射线CP绕着点C从CA按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到与ACB的外接圆相切为止.在旋转过程中,射
12、线CP与量角器的半圆弧交于E.(3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BE=CE.图Z4-14(3)证明:在图中,PCA=27.5=15,BCE=75,EBA=ECA=15,EBC=EBA+ABC=75=BCE.BE=EC.6.2019广东如图Z4-15,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB,交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是O的切线;(3)如图,若点G是ACD的内心,BCBE=25,求BG的长.图Z4-15解:(1)证明:AB=AC,ABC=ACB.又ACB=BCD,ABC=ADC,BCD=ADC.ED=EC.6.2019广东如图Z4-15,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB,交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(2)求证:AF是O的切线;图Z4-156.2019广东如图Z4-15,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB,交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(3)如图,若点G是ACD的内心,BCBE=25,求BG的长.图Z4-15
