1、学一学考点1 方程的概念试一试鸿睿笔记1方程的概念：含有未知数的等式叫做方程 不等式的概念：用不等号 （“”“”“”“”“”）表示不等关系的式子.2方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。3解方程：求方程解的过程叫做解方程 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式学一学考点1 方程的概念试一试鸿睿笔记不等式的概念 不等式 一般地，用不等号连接的式子叫做不等式 不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集，简称解集1.判断下列不等式是否一元一次不等式?练一练比一
2、比下列说法正确的是（）A.x=3不是不等式2x1的解；B.x=-3是不等式2x1的解；C.x=3是不等式2x1的一个解；D.x=3是不等式2x1的解集.下列说法正确的是（）A.x=5是不等式 x+510的解；B.x5是不等式 x510的解集；C.x3是不等式 x5的解集；D.x=3是不等式 x35的解集.CA学一学考点2等式的概念与等式的性质试一试鸿睿笔记等式的等式的性质性质如果ab，那么acbc，(c0)性质性质2 2 如果ab，那么acbc 性质性质1 1 表示相等关系的式子，叫做等式表示相等关系的式子，叫做等式 等式的等式的概念概念学一学考点2等式的概念与等式的性质试一试鸿睿笔记如果ab
3、，c0，那么acbc，性质3 如果ab，c0，那么acbc，性质2 如果ab，那么acbc 性质1 不等式的基本性质 学一学记一记不等式的解在数轴上表示.运用不等式性质1将不等式化为 x a 或 x a 的形式。（1）x+6 5；（2）3x 2x 2.解：（1）x+6 5 x+6-6 5-6 x-1.解：（2）3x 2x 2 3x-2x 2x-2x 2 x-2.这个不等式的解集在数轴上可表示为:0-1这个不等式的解集在数轴上可表示为:0-2大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈.学一学考点2判断整式方程和不等
4、式的标准：试一试鸿睿笔记.元,未知数的个数；.次,未知数的最高次数；.整式,分母中不含字母；.化简,去绝对值符号，去括号，合并同类项。.最高项系数不为0。如：一元一次方程：含有一个未知数，未知数的次数是1、且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。如：一元二次方程：含有一个未知数，未知数的次数是2、且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。如：二元一次方程：含有两个未知数，未知数的次数是1、且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。如：一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等式两边都是整式的不等式叫做一元一次 不等式。1.下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？（1）5x=
5、0 （2）2+3=5 （3）1+3x （4）y2=4+y（5）3m+2=1-m (6)(7)(8)2x+5y=0 034x21 xx方程：（1）（4）（5）（6）（7）（8）一元一次方程：（1）（5）（7）2.方程x2-x(x-2)+7=0式一元一次方程吗？解 x2-x(x-2)+7=0 x2-x2+2x+7=0 2x+7=0 判断方程是否为一元一次方程，一定要将其进行变形，化简到最简形式后再根据概念进行判断判断方程是否为一元一次方程的标准：.元,未知数的个数）；.次,未知数的最高次数）；.整式,分母中不含字母）；.化简,去绝对值符号，去括号，合并同类项。.最高项系数不为0。1.判断下列方程是
6、否为一元一次方程？为什么？（1）（5）（3）012x03x22xx067yx0122xx1232y（4）（2）（6）（1）不是整式方程；（2）不是一元方程；（3）符合概念要求；（4）不是一次方程；（5）化简后不是方程；（6）符合概念要求；学一学考点2判断整式方程和不等式的标准：学一学考点2等式的概念与等式的性质试一试鸿睿笔记如果ab，c0，那么acbc，性质3 如果ab，c0，那么acbc，性质2 如果ab，那么acbc 性质1 不等式的基本性质 步骤步骤 具体做法具体做法 依据依据 注意事项注意事项 去分母 去括号 移 项 合 并 同类项 系数化1在方程两边都乘以各分母的最小公倍数.不要漏乘
7、不含分母的项.一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配率 去括号法则.不要漏乘括号中的每一项.把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边，注意移项要变号等式性质1.移动的项一定要变号，不移的项不变号；.注意项较多时不要漏项.把方程变为ax=b(a0)的最简形式.字母和字母的指数不变.将方程两边都除以未知数系数a，得解x=b/a等式性质2 解的分子，分母位置不要颠倒.把系数相加；等式性质2.分子是多项式的要加括号；.乘最小公倍数；.注意括号前的符号；解一元一次方程的步骤归纳：解一元一次方程的步骤归纳：分配率逆用还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做试一试解方程：2(5x3)=x3(
8、12x).解：去括号得：2(5x3)=x3(12x)，移项得：10 x6=x36x，合并同类项得：3x =9，系数化为1得：x=3.解不等式：2(5x3)x3(12x).解：去括号得：2(5x3)x3(12x)，移项得：10 x6x36x，合并同类项得：3x9，系数化为1得：x3.那怎样解一元一次不等式呢？1215312xx解：616)215312xx（6)15(3)12(2xx4x-2-15x-3=64x-15x=6+2+3-11x=11 x=1254x解：4x+5=2 或 4x+5=-2当4x+5=2时43x解得当4x+5=-2时47x解得所以原方程的解为：4743xx或还记得解一元一次方
9、程的步骤吗？做一做还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做35.0102.02.01.0 xx3.解：5101022010 xx 330)1010(2)2010(5xx30202010050 xx20100302050 xx15030 x5x还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做311110205201052010),)xx1 1、已已知知方方程程（则则代代数数式式（的的值值1423kx、关关于于x x的的方方程程3x+1=3x+1=有有整整数数解解，求求满满足足条条件件的的所所有有整整数数的的值值3 3、若两个多项式、若两个多项式 5 5x+2+2与与-2-2x
10、+10 +10 的值互为相反数，则的值互为相反数，则 x-2-2 的值是多少？的值是多少？4 4、若方程、若方程2 2x-5=0-5=0与方程与方程2-5(2-5(a-x)=0)=0的解相同，求的解相同，求a的值。的值。6还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做还记得解一元一次方程的步骤吗？做一做181，112.9一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？想一想记一记例2.解不等式 ,并把它的解集表示在数轴上。3722xx解:去分母,得:3(x-2)2(7-x)去括号,得:3x-614-2x移项、合并同类项,得:5x20两边都除以5,得:x4这个不等式的解集在数轴上表示如下:0
11、1234567-1x解一元一次不等式得巧计方法为“一去二去三移四合五化”，注意事项与解方程一致；用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想.如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做 二元一次方程组。判断下列各方程组是不是二元一次方程组判断下列各方程组是不是二元一次方程组:1322yxyx2 2523xyx 1 1531yxyx3 332322xyy 4 4322xy 5 532xy 6 61 12 23 34 45 56 6学一学比一比 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.040121xx）（21481122xxxxx
12、）（对一元一次不等式组的定义的理解应注意：在同一个不等式组中的未知数必须是同一个；不等式组中的不等式的个数并未规定，只要不止一个就行.040121yx）（14811222xxxx）（3）3x+89-2x6判断下列是否是一元一次不等式组，为什么？从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法（substitution method)。鸿睿笔记：（1）代入消元法的目的是通过代入进行消元，变“二元”为“一元”，事实上，代入的过程就是代替的过程，分“直接”与“间接”两种代入。（2）选择其中一个方程变形时，要酌情考虑：.未知数的系数最好为1；
13、.符号最好选“+”号；.若没有“1”时，选择绝对值相对小的。将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。例1 用代入法解方程组 y=x3 3x8y=14 分析:方程中的(x3)替换方程中的y,从而达到消元的目的.方程化为:3x8(x3)=14 解：把代入得 3x8(x3)=14 解这个方程得:x=2把x=2代入得:y=1所以这个方程组的解为:x=2y=1例2 用代入法解方程组 xy=3 3x8y=14 分析:将方程进行变形，就可得到例一中的式，然后即可按例一的计算方法和步骤进行求解。解：由式得：y=x3 3x8(x3)=14把式代入 得 解这个方程得:x=2把x=2代入所以这个方程组
14、的解为:x=2y=1代代回解定得:y=1变解回定学一学记一记1变：2代：3解：4回：5定：解方程组3x+2y=14 x=y+3 解：将代入，得3（y+3）+2y=145y=5y=1将y=1代入，得 x=4所以原方程组的解是 x=4y=1解方程组3x+2y=13 3x-2y=5 解：把得：x=3132-y把代入 得-2y+13-2y=5解得：y=2把y=2代入解得x=3所以这个方程组的解为:x=3y=2解方程组3x+2y=13 3x-2y=5 若从简易的角度分析，还有别的方法可以消元吗？分析：可以发现2y与-2y互为相反数，若把两个方与左边相加,右边与右边相加，结果是怎样的？是否就可以消去未知数
15、y。左边左边右边右边=（3x+2y）（3x-2y）135+=+解：把+得 6x=18x=3 把 x=3代入 得 9+2y=13y=2同理：把-得 4y=8y=2所以这个方程组的解为:y=2x=3学一学记一记 当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。鸿睿笔记：当两个二元一次方程中同一个未知数的系数的绝对值不相等时，可根据等式的基本性质，将其中一个方程或两个方程的两边同时乘以同一个不为0的数，使其中一个未知数的系数的绝对值相等，然后将两个经过变形的方程相加或相减，得到一元
16、一次方程，从而达到消元的目的。（2）选择其中一个方程变形时，要酌情考虑：解：3，得，9x6y332，得，4x6y32，得，13x65把x5代入，得352y11x5解得y2用加减法解方程组3x-2y=11 2x+3y=16 x=5y=2变加解回定解方程组 2x+3y=40 4x+3y=50 小明用代入法：解：由，得 3y=40 2x 把代入，得 4x+（40-2x）=50 2x=10 小强用加减法：解：由，得 3y=40 2x 由，得 4x=50-（40-2x）2x=10 .观察上述两种解法，你能说说两种解法之间的关系吗？代入法和加减法都是消元的方法，且目的是一样的。代入法的步骤是1、变 2、代
17、 3、解 4、回 5、定解。加减法的步骤是1、变 2、加 3、解 4、回 5、定解。问题3：解方程组 2(2x+1）=6-5y 3(y+1）=3-4x 解原方程组变形为4x+5y=44x+3y=0得：2y=4把y=2代入得:x=-1.5x=-1.5y=2y=2)2(343)1(1332).2baba121812),2(18184177217)4()3()4(112931)2()3(41312841)1(babaaababa得代入把得得由得由解学一学记一记5)1()2(2)1(22.3yxyx解方程组5)()(314)(2)(6.4babababa解方程组分析:如果按正常的代入法或加减法，此题比
18、较烦乱，仔细观察方程和，两个方程中国都含有相同的（x-2)和(y-1)解：设 a=x-2 b=y-1解原方程组变形为a=2b 2a+b=5 解得a=2 b=1 即x-2=2 y-1=1 x=4y=2本题就留给你练练手吧！解得a=b=2123-学一学记一记6.a,b是解方程组 2a+b=40 a+2b=8 5.解方程组 3x+7y=29 3x+5y=25 分析:在没有限定解方程的非负时，可以根据方程组的特点，选择较简单的方法。仔细观察方程3x+7y可看做3x+5y+2y.的解，求a+b的值。解：可变形为3x+5y+2y=2925+2y=29y=2把y=2代入得：3x+10=25x=5x=5y=2
19、这道题又要看你的了！学一学记一记824ba1.已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数，求：m+n的值2.若关于x、y的方程组 3x-5y=39ax+by=-1与关于x、y的方程(ax-by-17)2+4x+3y-23=0同解，求a、b的值。3.当m时，方程组 有一组解。21132myxyx4.关于x、y的二元一次方程组 ax+by=22x+3y=10的解与 4x-5y=-2 ax-by=4的解相同，求a、b的值7a=，b=3 32 21 12 2学一学3281,33xayb解得17 0 3539,14323 0ax byxyax byxy议一议说一说这几个一元一次不等式的解集的
20、公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.(用数轴来解释)解:原不等式组的解集为 x 7；0765421389 .3,2)2(xx3210-2-145-4-3解:原不等式组的解集为 x 2；你发现了什么？同大取大：同是大于号连接，取数值较大的部分；731xx）（议一议说一说(用数轴来解释)解:原不等式组的解集为 x-5；0-1-2-3-5-6-412-7解:原不等式组的解集为 x-4；你发现了什么？同小取小：同是小于号连接，取数值较小的部分；.5,2)6(xx-7 .4,0)8(xx0-1-2-3-5-6-412议一议说一说(用数轴来解释)你发现了什么？大小、小大中间找：大于号连接数值小的，小
21、于号连接数值大的部分，解集取中间。.7,3)9(xx0765421389 .4,1)11(xx3210-2-145-3-4解:原不等式组的解集为 3 x 7；解:原不等式组的解集为-1x-1解不等式，得x 4在数轴上表示它们的解集:4321-1-2056原不等式组的解集为:x4.分开解集中判(1)不等式组 的解集是()xxA.x 2,D.x=2.B.x2,C.无解,(2)不等式组 的整数解是()xx,5.0 1D.x1.A.0,1,B.0,C.1,DC22做一做选择说一说 你发现了什么？D.不能确定.A.-2,0,-1,B.-2C.-2,-1,(3)不等式组 的负整数解是()3xx-2,(4)
22、不等式组 的解集在数轴上表示为 ()5xx-2,A.D.C.B.CB-5-2-5-2-5-2-5-2做一做选择说一说 你发现了什么？2、若不等式组x3xa的解集是xa则a的范围是_。做一做填空3、若不等式组 无解，则m的取值 范围是_。121xmxm5、若关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是_。1230 xax4、已知不等式(m+1)xm+1的解为x1，则m的取值范围是_。说一说 你发现了什么？1、不等式-12x-13的解集是 。0 x2a3m2m-1-4a-31、求不等式 2x-5 0 的非负整数解.3、若方程组43283xmxym的解满足0,0 xy请你写出m的范围.做一做
23、4、若关于x的不等式组 的解集为 ，求a的范围？01234axxx2x说一说 你发现了什么？2、已知关于x，y的方程组 的2743xymxym 解是正数，求m的取值范围.0，1，2a-24273m253m5、若不等式组 的解是-3x5，求不等式 mx-n0的解集。nmxnmx6、若不等式组 无解，求m的范围？121mxmx做一做说一说 你发现了什么？的解集。求无解、已知nxmxnxmx22,741,14,35,xnmmnmnmnxmn解集为解得m22-mx0，有两个不相等的实数根=0，有两个相等的实数根0，没有实数根 一元二次方程一元二次方程学一学不解下列方程判别下列方程的根的情况不解下列方程
24、判别下列方程的根的情况做一做例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程有两个相等的根？并求出它的根解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2,b=m-2,c=-2+m，b2-4ac=（m-2）2-42（-2+m）据题意有m2-12m+20=0m1=2，m2=10 当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时 x1=x2=-2当k为何值时方程（k-2）x2+2kx-1=0有两个相等的实数根，并求出方程的根。1,1;21,2,122121xxkxxkk时当时当或 一元二次方程一元二次方程学一学不解下列方程判别下列方程的根的情况不解下列方程判别下列方程的根的情况
25、做一做例3：求证：（1）关于x的方程x2+kx+k+1=0没有实数根（2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等的根。（1）证明：=b2-4ac=k2-4（k+1）=-3k -4无论k为何实 数k 0 0故原方程没有实数根。（2）证明：整理原方程得 x2-3x+2-a =0 =9-4（2-a2）=1+a2 无论a为何值a2 0 0,故原方程有两个不相等的根 一元二次方程一元二次方程学一学不解下列方程判别下列方程的根的情况不解下列方程判别下列方程的根的情况做一做1、对于x的一元二次方程4(m+1)x2+2(2m-1)x=1-m（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范
26、围（2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围（3）方程没有实数根，求m的取值范围3、已知 a、b、c是ABC的三条边，且一元二次方程 有两个相等的实数根，试判断ABC的形状.022cbxbaxba2、已知m为非负整数，且关于x的方程：（m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0 有两个实数根，求m的值。145mm且45m45m10或m等腰三角形 一元二次方程一元二次方程学一学填表你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？想一想 方程 x1,x2 x1+x2 x1.x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x+4=02,132-1,32-31,454 一元二次方程一元二次方程学一学
27、填表韦达定理：想一想对于方程ax2 +bx+c=0（a0）,当b2-4ac0时，方程两根 x1,x2为.aacbbx2422-aacbbx2421-,2224242221ababaacbbaacbbxx-2222214)4)(4(24242aacbbacbbaacbbaacbbxx-acaacaacbb2222444)4（一元二次方程一元二次方程学一学根与系数的关系存在的条件是：（1)a0(2)b2-4ac0想一想形如ax2+bx+c=0(a0）x2+px+q=0形式，12bxxa 12cx xa12xxp 12x xq转化 韦达定理不解方程，求方程两根的和两根的积：2310 xx 02122
28、 xx解：123xx 121xx 122xx1212xx 一元二次方程一元二次方程学一学知一根，求另一根与未知系数的值韦达定理：想一想已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,问是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.分析:一元二次方程两个不相等的实数根两根互为相反数221220(21)40210kkkxxk 2k01412kkk 解:由题意得:221220(21)40210kkkxxk 2k解得:01412kkk 所以,不存在这样的k值.一元二次方程一元二次方程学一学求方程对称式的值韦达定理：想一想已知,
29、是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 221(2)(3)1(1)分析:11(1)222(2)()222(3)()()4 一元二次方程一元二次方程学一学求方程对称式的值韦达定理：想一想设x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根,则1211_xx12|_xx221212_x xx x12(1)(1)_xx设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）1221xxxx2872225314 一元二次方程一元二次方程学一学想一想韦达定理不解方程，求方程两根的和两根的积：4、已知关于x的方程 的一个根是2，求另
30、一个根及k 的值062kxx1、若方程x2+px+q=0的两根是2和-3，则 p，q分别为（）A.2,-3 B.-1,-6 C.1,-6 D.1,62、方程 x2-(m+1)x+2m-1=0，当m=_时，此方程两个根互为相反数；当m=_时，两根互为倒数。3、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当a，b，c 满足什么条件 时，方程的两根为互为相反数？5、已知方程 的两个根的倒数和等于6，求m的值02422mxx6、若x1,x2是方程x2+（4k+1)x+2k-1=0的两根,且(x1-2)(x2-2)=2k-3,求k的值。B-10.5b=0,ac0k=1,另一个根为-331mk=-1
31、 一元二次方程一元二次方程学一学求未知系数的取值范围韦达定理：想一想已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.(2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出的代数式,证其恒大于零;(2)(x1-1)(x2-1)0 方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 当 时方程的一根大于1,另一根小于1132m 一元二次方程一元二次方程学一学求未知系数的取值范围韦达定理：想一想1、已知关于x的方程 x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为_
32、.2、若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p的值是_.3、当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?4、已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问 x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.5、方程2x2-mx+m-1=0有一个正根，一个负根,求m的取值范围。22或-2-4a00000;,4102121xxxxaxa时，当满足题意时，当021mm且0021xx1m0021xx 一元二次方程一元二次方程想一想已知解，求未知方程ax2 +bx+c=0 可转化为
33、a(x-x1)(x-x2)=0记一记求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4和-7。12bxxa 12cx xa对于方程ax2 +bx+c=0（a0）,当b2-4ac0时，方程两根 x1,x2为.02cbxax0)(2acxabxa02acxabxa）（-021212xxxxxxa）（-0)-)(-(21xxxxa 一元二次方程一元二次方程学一学求未知系数的取值范围韦达定理：想一想求作一个一元二次方程，使它的两个根分别为4和-7。解：设方程为(x-x1)(x-x2)=0，x1.x2是方程的两根.因为方程的两根分别是4和-7，所以(x-4)(x+7)=0，整理得：x2+3x-28=0已知方程x2
34、-3x-5=0，在不解得方程的情况下，求作一个新方程，使新方程的两根是此方程两根的2倍.分析:设方程x2-3x-5=0的两根是x1，x2，则x1+x2=3，x1x2=-5.依题意可设新方程为(x-2x1)(x-2x2)=0，整理新方程为x2-2(x1+x2)x+4x1x2=0 一元二次方程一元二次方程学一学求未知系数的取值范围韦达定理：想一想1、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别为3和-10.2、已知方程x2-4x+3=0，在不解得方程的情况下，求作一个新方程，使新方程的两根是此方程两根的3倍.x2+7x-30=0设方程x2-4x+3=0的两根是x1，x2，则x1+x2=4，x1x2=3.
35、依题意可设新方程为(x-3x1)(x-3x2)=0，整理新方程为x2-3(x1+x2)x+9x1x2=0 x2-12x+27=0学一学试一试鸿睿笔记分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（1）理解分式方程要注意：首先它是方程，其次分母中含有未知数）理解分式方程要注意：首先它是方程，其次分母中含有未知数.（2）分式方程与整式方程的区别：分式方程是方程两边一定含有分式，）分式方程与整式方程的区别：分式方程是方程两边一定含有分式，而且分式的分母中必须含有未知数；整式方程是方程两边的式子是整而且分式的分母中必须含有未知数；整式方程是方程两边的式子是整式或者是分母中不含有未知数的分式式或者是
36、分母中不含有未知数的分式.（3）分式方程与整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程）分式方程与整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.学一学试一试鸿睿笔记我是小裁判 下列方程中，哪些是下列方程中，哪些是分式方程分式方程？哪些？哪些整式方程？整式方程？13(2)2xx3(3)2xx(1)(4)1xxx 105126xx）（215xx）（2131xxx2(1)23xx437xy学一学试一试鸿睿笔记分式方程的解法例例1 解分式方程解分式方程vv206020100解得：解得：解：解：方程两边同乘以（方程两边同乘以（20+v）（）（20-v），得：，得：）（vv2060)20(1005v检验检验：
37、将：将v=5代入分式方程，左边代入分式方程，左边=4=右边，所以右边，所以v=5是原分式方程的解是原分式方程的解.1、解题思路转化（将分式方程转化为整式方程）2、解题步骤去分母，在分式方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母使分式方程转化为整式方程。解整式方程 验根 练一练试一试鸿睿笔记练习1：解分式方程11122XX解：方程两边都乘以11XX得12X解这个方程得3X检验：当 时，0 3X11XX所以原方程的根是3X学一学试一试鸿睿笔记鸿睿笔记分式方程的增根例例2 解分式方程：解分式方程：2510512xx解：解：方程两边同乘以最简公分母（方程两边同乘以最简公分母（x-5）（）（x+5），
38、得：），得：x+5=10解得：解得：x=5检验：检验：将将x=5代入代入x-5、x2-25的值都为的值都为0，相应分式无意义。所以，相应分式无意义。所以x=5不是原不是原分式方程的解。分式方程的解。原分式方程无解原分式方程无解.增根增根（1）增根增根是使最简公分母等于零的整式方程的根。是使最简公分母等于零的整式方程的根。（2）在解分式方程时，必须经过检验。）在解分式方程时，必须经过检验。学一学试一试鸿睿笔记练习练习2 解分式方程解分式方程32121XXX解：解：方程两边同乘以方程两边同乘以 ,2X得22311XXX，解得检验：当 时，2X02 X是原方程的增根。所以2X所以原方程无解。学一学试
39、一试鸿睿笔记思考怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，不为，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解否则这个解就不是原分式方程的解学一学试一试鸿睿笔记归纳归纳解分式方程的步骤解分式方程的步骤用框图的方式总结用框图的方式总结为：为：分式方程分式方程 整式方程整式方程 去分母去分母 解整式方程解整式方程 x=a 检验检验 x=a是分式是分式 方程的解方程的解 x=a不是分式不是分式 方程的解
40、方程的解 x=a最简公分母是最简公分母是 否为零？否为零？否否是是 一化一化 二解二解 三检验三检验学一学试一试鸿睿笔记323)1(xx例：例：解分式方程11)2)(1(32xxxx）（x=9x=1,为方程的增根，原方程无解学一学试一试鸿睿笔记解分式方程容易犯的错误有解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘去分母时，原方程的整式部分漏乘(2)约去分母后，分子是多项式时，约去分母后，分子是多项式时，没有注意添括号没有注意添括号(因分数线有括号因分数线有括号的作用）的作用）(3)增根不舍掉增根不舍掉.学一学试一试鸿睿笔记思考 思考思考1：k为何值时，方程为何值时，方程 产生增
41、根？产生增根？xxxk2132解：解：方程两边都乘以方程两边都乘以x-2，约去分母，得，约去分母，得k+3（x-2)=x-1把把x=2代入以上方程得：代入以上方程得：K=1所以当所以当k=1时，方程时，方程 产生增根。产生增根。xxxk2132学一学试一试鸿睿笔记思考思考2：k为何值时，分式方程为何值时，分式方程0111xxxkxx有增根？有增根？方程两边都乘以方程两边都乘以(x-1)(x+1),得得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解：解：把把x=1代入上式，则代入上式，则k=-1把把x=-1带入上式，带入上式，k值不存在值不存在当当k=-1，原方程有增根，原方程有增根.学一学试一
42、试鸿睿笔记解含字母系数的分式方程解：解：方程两边同乘方程两边同乘 ，得，得 =.去括号，得去括号，得 =移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得 =-x a+-+-a b x ax a（）+-.+-.a bx ab x a1 0-b，1b，1-b（）2-.-.x aba11+=.+=.-abbx a（）例例1 解关于解关于x 的方程的方程 21-=-abaxb所以，所以，是原分式方程的解是原分式方程的解 21-=-abaxb21-=-abaxb 检验：检验：当当 时，时，x-a 0，试一试试一试鸿睿笔记解含字母系数的分式方程练习练习1 1解关于解关于x 的方程的方程 001-=-=+mnm n
43、xx（）.解：解：方程两边同乘方程两边同乘 ，得，得 =0.化简，得化简，得 =0.移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得 =0，0，1+x x（）1+-+-m xnx（）+-+-mx m nxm n m n -m n（）-.-.xmnmmX 所以，所以，是原分式方程的解是原分式方程的解=-=-mxm n 检验：检验：当当 时，时，=-=-mxm n10+x x（），用换元思想解方程请同学们思考一下下面的这个分式方程我们该如何去解决呢？思路分析：本方程在求解时如直接去分母，就会得到一个次数高于二次的整式方程，不易求解。这时，可考虑如下面所采用的换元的方法求解：用一个未知数y替换方程中某个含原未知数x的式子，然后，先解出y，再去解x,这种方法叫做换元法。221512xxxx练一练：练一练：1、解方程 时设 ，则原方程化成整式方程就是_；2、方程 的解是_.3、如果用换元法解分式方程 ，并设 ,那么原方程可化为_;4、用换元法解方程22315132xxxx231xyx241xxx2214301xxxx21xyx2()2()8011xxxx251yyx=3034yy4、用换元法解方程2()2()8011xxxx08212yyxxy，则原方程化为令42082212yyyy，得，解4121xxxx或则542xx或解得为原方程的根或经检验542xx542xx或所以原方程的解为
