1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（8） 一填空题（共一填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，B2，3，5，则 AB 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z= 1+23（aR）为纯虚数，则 a 3 （5 分）已知样本数据 2，5，x，6，6 的平均数是 5，则此样本数据的方差为 4 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 5 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 6 （5 分） 在平面直角
2、坐标系 xOy 中， 已知双曲线 2 3 2 2 =1 的两条渐近线与直线 x= 3围 成正三角形，则双曲线的离心率为 7 （5 分）若函数() = 2 ， 0 ( 2)，0，则 f（log 23） 8（5 分） 已知 asin14+cos14， b= 6 2 ， csin16+cos16， 比较 a、 b、 c 的大小 9 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1平面 AB1C1，AA11，底面ABC 是边 长为 4 的正三角形，则此三棱柱的体积为 10 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 11 （5 分） 已知 a， b， c， 4，
3、4， 则| | + | | + 2| |的最大值为 12 （5 分）已知圆 C： （x1） 2+y24动点 P 在直线 x+2y80 上，过点 P 引圆的切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 过定点 13 （5 分）设函数 f（x）x2+c，g（x）aex的图象的一个公共点为 P（2，t） ，且曲线 y f（x） ，yg（x）在 P 点处有相同的切线，若函数 f（x）g（x）的负零点在区间（k， k+1） （kZ）内，则 k 14 （5 分）对x1，2alog2x12alog4x5blog44x（a，bR）恒成立，则 2a+3b 的最大 第 2 页（共 19 页） 值为 二解答题（共二解答
4、题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）已知函数 f（x）2sin（x+）(06，| 2)，f（x）的图象的一条对 称轴是 = 3，一个对称中心是( 7 12 ，0) （1）求 f（x）的解析式； （2）已知 A，B，C 是ABC 的三个内角，且( + 12) = 48 25， = 5 13，求 cosA 16（14分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形， 平面PAD平面ABCD， PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （1）求证：PEBC； （2）求证：EF平面 PCD 17 （14 分）如图，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AB2
5、4cm，AD12cm现折叠纸片，使 得点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 PQ（点 P 在边 AD 上，点 Q 在边 AB 上） （1）若APQ= 3，求四边形 APEQ 的面积； （2）求折痕 PQ 长度的最小值 18 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）经过点（2，2） ，离心率为 2 2 ，左右 焦点分别为 F1，F2，P 是第一象限椭圆 C 上一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的另一个交点 分别为 A，B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 PA+PB62，求点 P 的坐标 第 3 页（共 19 页） 19 （16 分）已知：函数 g（x）ax
6、22ax+1+b（a0，b1） ，在区间2，3上有最大值 4， 最小值 1，设函数 f（x）= () （1）求 a、b 的值及函数 f（x）的解析式； （2）若不等式 f（2x）k2x0 在 x1，1时恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）如果关于 x 的方程 f（|2x1|）+t （ 4 |21| 3）0 有三个相异的实数根，求实数 t 的取值范围 20 （16 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，记 bn= +1 （1）若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数 当 3b1，2b2，b3成等差数列时，求 的值； 求证：存在唯一的正整数 n，使得 an+1bna
7、n+2 （2） 设数列an是公比为 q （q2） 的等比数列， 若存在 r， t （r， tN*， rt） 使得 = +2 +2， 求 q 的值 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分）已知矩阵 A= ( )对应的变换把曲线 ysinx 变为曲线 ysin2x （1）求矩阵 A； （2）若矩阵 B= (2 2 11 )，求 AB 的逆矩阵 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C1：x2+（y2）2
8、4 上的动点，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）在极坐标系中，点 M（3， 2） ，射线 = 6 ( 0）与曲线 C1，C2分别相交于异于 极点 O 的 A，B 两点，求MAB 的面积 第 4 页（共 19 页） 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）已知抛物线 C：y2px（p0）的焦点 F 与椭圆： 2 4 + 2 3 = 1的右焦点重 合，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于
9、 A，B 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在 ，使得 = （R） ，且 |HA|2+|HB|240 都成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 24 （10 分）已知数列an满足1 （a1+2a2+2 n1an）2n+1（nN*） （1）求 a1，a2和an的通项公式； （2）记数列ankn的前 n 项和为 Sn，若 SnS4对任意的正整数 n 恒成立，求实数 k 的 取值范围 第 5 页（共 19 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一
10、填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，B2，3，5，则 AB 1，2，3，5 【解答】解：集合 A1，2，B2，3，5， AB1，2，3，5 故答案为：1，2，3，5 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z= 1+23（aR）为纯虚数，则 a 2 【解答】解： = 12 = ()(1+2) (12)(1+2) = (+2)+(21) 5 因为 z 为纯虚数，所以 a+20，得 a2 故答案为：2 3 （5 分）已知样本数据 2，5，x，6，6 的平均数是 5，则此样本数据的方差为 12 5 【解答】解：样本数
11、据 2，5，x，6，6 的平均数是 5， 1 5（2+5+x+6+6）5， 解得 x6， 此样本数据的方差为： 1 5（52） 2+（55）2+（56）2+（56）2+（56）2=12 5 故答案为：12 5 4 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 6 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，I0 满足条件 S10，执行循环体，S0，I1 第 6 页（共 19 页） 满足条件 S10，执行循环体，S1，I2 满足条件 S10，执行循环体，S3，I3 满足条件 S10，执行循环体，S6，I4 满足条件 S10，执行循环体，S10，I5 满足条件 S10，执行循环体，S15，I6
12、 不满足条件 S10，退出循环，输出 I 的值为 6 故答案为：6 5 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 2 3 【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 甲被选中包含的基本事件个数 m= 1 121 =2， 则甲被选中的概率为 P= = 2 3 故答案为：2 3 6 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 2 3 2 2 =1 的两条渐近线与直线 x= 3围 成正三角形，则双曲线的离心率为 23 3 【解答】解：双曲线 2 3 2 2 = 1的两条渐近线与
13、直线 = 3围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为 30和 150， 所以 3 = 3 3 ，所以 b1， 所以双曲线的离心率为：e= = 2 3 = 23 3 故答案为：23 3 7 （5 分）若函数() = 2 ， 0 ( 2)，0，则 f（log 23） 3 4 【解答】解：根据题意，1log232， 则 f（log23）f（log232）f（log23 4） ， 又由 log23 4 0，则 f（log23 4）= 2 23 4= 3 4； 第 7 页（共 19 页） 则有 f（log23）= 3 4， 故答案为：3 4 8 （5 分）已知 asin14+cos14，b= 6 2
14、 ，csin16+cos16，比较 a、b、c 的大小 c ba 【解答】解：asin14+cos14= 2(14 + 45) = 259， b= 6 2 = 260， csin16+cos16= 2(45 + 16) = 261 由于 596061，且函数 ysinx 在（0， 2）上单调递增函数， 故 sin59sin60sin61， 所以2sin592sin602sin61， 故 cba 故答案为：cba 9 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1平面 AB1C1，AA11，底面ABC 是边 长为 4 的正三角形，则此三棱柱的体积为 211 【解答】解：如图，连接 B1C
15、，则1= 11， 又1= 1= 111， 111=3111， AA1平面 AB1C1，AA11，底面ABC 是边长为 4 的正三角形， AB1AC1= 42 12= 15，11= 1 2 4 15 4 =211， 111=3111=3 1 3 1 211 =211 故答案为：211 10 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 9 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36q+q2， 公比 q2，Sn= 12 12 =2n1 则6 3 = 63 7 =9， 故答案为：9 11 （5 分）已知 a，b，c，4，4
16、，则| | + | | + 2| |的最大值为 8 【解答】解：设 x= | |，y= | |，z= | |，不妨设 abc， 则 x2ab，y2bc，z2ac，故 x2+y2z2，所以可设 xzcos+zsin（0 2） ， 0z22， 则 x+y+2zz （sin+cos+2） z2sin （+ 4） +2z （2 + 2） 22 22 =8， 即| | + | | + 2| |的最大值为 8 故答案为：8 12 （5 分）已知圆 C： （x1） 2+y24动点 P 在直线 x+2y80 上，过点 P 引圆的切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 过定点 （11 7 ，8 7） 【解答】
17、解：根据题意，动点 P 在直线 x+2y80 上，设 P 的坐标为（82t，t） ， 圆 C： （x1）2+y24，圆心为（1，0） ， 过点 P 引圆的切线，切点分别为 A，B，则 PACA，PBCB， 则 A、B 在以 CP 为直径的圆上，该圆的方程为（x1）x（82t）+（y0） （yt） 0， 变形可得：x2+y2（92t）xty+（82t）0， 又由 A、B 在圆 C 上，即直线 AB 为两圆的公共弦所在直线的方程， 则有 2 + 2 2 3 = 0 2+ 2 (9 2) + (8 2) = 0， 则直线 AB 的方程为（7x11）t（2xy2） ， 则有7 11 = 0 2 2 =
18、 0，解可得： = 11 7 = 8 7 ； 故直线 AB 恒过定点（11 7 ，8 7） ； 故答案为： （11 7 ，8 7） 13 （5 分）设函数 f（x）x2+c，g（x）aex的图象的一个公共点为 P（2，t） ，且曲线 y 第 9 页（共 19 页） f（x） ，yg（x）在 P 点处有相同的切线，若函数 f（x）g（x）的负零点在区间（k， k+1） （kZ）内，则 k 1 【解答】解：f（x）2x，g（x）aex， 曲线 yf（x） ，yg（x）在 P（2，t）点处有相同的切线， f（2）g（2） ，即 4ae2， 又 P 为两曲线的公共点， f（2）g（2） ，即 4+ca
19、e2， 由解得 c0，a= 4 2， 令 h（x）f（x）g（x）x2 4 2e xx24ex2， 则 h（x）2x4ex 2， 当 x0 时，h（x）0，h（x）在（，0）上递减， 又 h（1）14e 30，h（0）4e20， h（x）在（1，0）内有唯一零点， 由题意知（k，k+1）（1，0） ， k1 故答案为：1 14 （5 分）对x1，2alog2x12alog4x5blog44x（a，bR）恒成立，则 2a+3b 的最大 值为 4 15 【解答】解：2alog2x12alog4x5blog44x， 2a（log2x+log4x）+5b（1+log4x）（3a+ 5 2b）log2x
20、+5b1， x1， log2x0， 若（3a+ 5 2b）log2x+5b1 恒成立， 则 3a+ 5 2b0 且 5b1， 令 2a+3bt（3a+ 5 2b）+mb， 则 3t2，5 2t+m3， 解得：t= 2 3，m= 4 3， 第 10 页（共 19 页） 2a+3b= 2 3（3a+ 5 2b）+ 4 3b 2 3 0+ 4 3 1 5 = 4 15， 故答案为： 4 15 二解答题（共二解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）已知函数 f（x）2sin（x+）(06，| 2)，f（x）的图象的一条对 称轴是 = 3，一个对称中心是( 7 12 ，0
21、) （1）求 f（x）的解析式； （2）已知 A，B，C 是ABC 的三个内角，且( + 12) = 48 25， = 5 13，求 cosA 【解答】解： （1）设 f（x）的最小正周期为 T，f（x）的图象的一条对称轴是 = 3， 一个对称中心是(7 12 ，0)， 7 12 3 = 4 (2 + 1)，kN*， = 21，kN *， 21 = 2 ，kN， 4k2，kN， 06，2， f（x）图象的一条对称轴是 = 3， 2 3 + = 2 + ，kZ， = 6 + ，kZ | 2， = 6 = 6， () = 2(2 6) （2）由（1）知( + 12) = 22 = 48 25， 所
22、以2 = 24 25，即 = 12 25 因为 A，B，C 是ABC 的三个内角，0B， 所以 sinB0，cosB0 又因为 sin2B+cos2B1， 联立， 第 11 页（共 19 页） 当 = 4 5， = 3 5时， = ( + ) = + = 3 5 5 13 + 4 5 12 13 = 33 65； 当 = 3 5， = 4 5时， = ( + ) = + = 4 5 5 13 + 3 5 12 13 = 16 65 16（14分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形， 平面PAD平面ABCD， PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （1）求证：PE
23、BC； （2）求证：EF平面 PCD 【解答】证明： （1）PAPD，且 E 为 AD 的中点，PEAD 底面 ABCD 为平行四边形，ADBC， PEBC； （2）如图，取 PC 中点 G，连接 FG，GD F，G 分别为 PB 和 PC 的中点，FGBC，且 FG= 1 2BC 四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， EDBC，DE= 1 2BC，EDFG，且 EDFG，四边形 EFGD 为平行四边形， EFGD又 EF平面 PCD，GD平面 PCD， EF平面 PCD 17 （14 分）如图，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AB24cm，AD12cm现折叠纸片，使 得点 A
24、 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 PQ（点 P 在边 AD 上，点 Q 在边 AB 上） 第 12 页（共 19 页） （1）若APQ= 3，求四边形 APEQ 的面积； （2）求折痕 PQ 长度的最小值 【解答】解： （1）设 APxcm，则 DP（12x）cm，如图所示： 在DPE 中，PDE= 2，DPE= 2 3 = 3，DP（12x）cm，EPxcm， cosDPE= 12 ，又cosDPE= 1 2， 12 = 1 2，解得 x8， 在AQP 中，APxcm8cm， = 3，AQ83cm， 2 1 2 8 83 = 643， 四边形 APEQ 的面积为 643cm2； （2）
25、设 APxcm，则 DP（12x）cm，设APQ， 在DPE 中，PDE= 2，DPE2，EPxcm， cos（2）= 12 ，解得 x= 6 2， 在AQP 中，APxcm= 6 2cm12cm，sin 21 2，解得 4， AQAPtan= 6 cm24cm，sin2 1 2，解得 12 5 12， 综上所求， 4 5 12， 又PQ= = 6 2 = 6 (12)cm， 令 tcos，则 t 62 4 ， 2 2 ， 记 yt3+t，t 62 4 ， 2 2 ，y3t2+1， 当 t 62 4 ， 3 3 )时，y0，故 y 单调递增；当 t ( 3 3 ， 2 2 时，y0，故 y 单
26、调递 减， ymax（ 3 3 ）3+ 3 3 = 23 9 ， 第 13 页（共 19 页） PQ 的最小值为 6 23 9 =93 18 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）经过点（2，2） ，离心率为 2 2 ，左右 焦点分别为 F1，F2，P 是第一象限椭圆 C 上一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的另一个交点 分别为 A，B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 PA+PB62，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）由题意得：e= = 2 2 ， 4 2 + 2 2 =1，b2a2c2，解得：a28，b2 4， 所以椭圆的方程： 2 8 + 2 4 =1
27、； （2）由（1）F1（2，0） ，F2（2，0） ，设直线 PF1为：xmy2，设 P（x1，y1） ，A （x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程整理： （2+m2）y24my40，y1+y2= 4 2+2，y1y2= 4 2+2， PA= 1 + 2(1+ 2)2 412= 1 + 216 2+16(2+2) 2+2 =421+ 2 2+2； 直线 PF2： xny+2 联立与椭圆的方程：（2+n2） y2+4ny40， 同理可得 PB42 1+2 2+2； 因为 PA+PB62，42（1+ 2 2+2 + 1+2 2+2）62整理得：2（1 1 2+2 + 1 1 2+2） 第 14
28、页（共 19 页） 3，即 1 2+2 + 1 2+2 = 1 2，n 2m24，由题意得 n0，m0，且 mn，mn2； 联立两条直线的方程： = 2 = + 2 解得解得的坐标 P （2+ ， 4 ） ， 由 P 在椭圆上， 4(+) 2 ()2 + 42 ()2 =1， 及 mn2 可得 m+n26，mn4 所以 P（46 4 ，4 4） ， 即点 P 的坐标： （6，1） 19 （16 分）已知：函数 g（x）ax22ax+1+b（a0，b1） ，在区间2，3上有最大值 4， 最小值 1，设函数 f（x）= () （1）求 a、b 的值及函数 f（x）的解析式； （2）若不等式 f（2
29、x）k2x0 在 x1，1时恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）如果关于 x 的方程 f（|2x1|）+t （ 4 |21| 3）0 有三个相异的实数根，求实数 t 的取值范围 【解答】解： （1）g（x）ax22ax+1+b，函数的对称轴为直线 x1，由题意得： 0 (2) = 1 + = 1 (3) = 3 + + 1 = 4 得, = 1 = 0 0 (2) = 1 + = 4 (3) = 3 + + 1 = 1 得 = 1 = 31（舍去） a1，b0（4 分） g（x）x22x+1，() = + 1 2（5 分） （2）不等式 f（2x）k2x0，即 k ( 1 2) 2 2 (
30、 1 2) + 1（9 分） 设 = 1 2， 1 2，2，k（t1） 2 （t1）2min0，k0（11 分） （3）f（|2x1|）+t （ 4 |21| 3）0，即|2x1|+ 1 |21| + 4 |21| 3t20 第 15 页（共 19 页） 令 u|2x1|0，则 u2（3t+2）u+（4t+1）0（13 分） 记方程的根为 u1，u2，当 0u11u2时，原方程有三个相异实根， 记 （u）u2（3t+2）u+（4t+1） ，由题可知， (0) = 4 + 10 (1) = 0 或 (0) = 4 + 10 (1) = = 0 0 3+2 2 1 （16 分） 1 4 0时满足题
31、设（18 分） 20 （16 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，记 bn= +1 （1）若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数 当 3b1，2b2，b3成等差数列时，求 的值； 求证：存在唯一的正整数 n，使得 an+1bnan+2 （2） 设数列an是公比为 q （q2） 的等比数列， 若存在 r， t （r， tN*， rt） 使得 = +2 +2， 求 q 的值 【解答】解： （1）3b1，2b2，b3成等差数列， 4b23b1+b3， 即 4 3+3 2 =2（2a+d）+ 4+6 3 ， d= 4 3a， = 3 4， 由 an+1bnan+2， 得
32、 a+nd= 1 （n+1）a+ 1 2n（n+1）da+（n+1）d， 整理得 2 2 0 2+ 2 0 ， 解得 1+1+8 2 n 1+1+8 2 ， 由于 1+1+8 2 1+1+8 2 =1 且得 1+1+8 2 0， 因此存在唯一的正整数 n，使得 an+1bnan+2 第 16 页（共 19 页） （2） = 1(1;:1) (1;) 1(1;:1) (1;) = +2 +2， :11 (+2) = :11 (+2)， 设 f（n）= +11 (+2)，n2，nN*， 则 f（n+1）f（n）= +21 (+1)(+2) +11 (+2) = +1(1)2+2(2)3+2+3 (
33、+1)(+3)(+2) ， q2，n2， （q1）n2+2（q2）n3n2310， f（n+1）f（n）0， 即 f（n+1）f（n） ， f（n）为单调递增， 当 r2 时，tr2， 则 f（t）f（r） ，即 :11 (+2) :11 (+2)，这与 :11 (+2) = :11 (+2)互相矛盾， r1 时，即 :11 (+2) = 21 3 ， 若 t3，则 f（t）f（3）= 41 15 = 21 3 2+1 5 21 3 ，即 :11 (+2) 21 3 ，这与 :11 (+2) = 21 3 互相矛盾， 于是 t2， 31 8 = 21 3 ， 即 3q25q50， q2， q=
34、 5+85 6 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分）已知矩阵 A= ( )对应的变换把曲线 ysinx 变为曲线 ysin2x （1）求矩阵 A； （2）若矩阵 B= (2 2 11 )，求 AB 的逆矩阵 【解答】解： （1）把曲线 ysinx 变为曲线 ysin2x，横坐标变为原来的1 2倍，纵坐标不 变， 第 17 页（共 19 页） 所以 A= 1 2 0 01 ； （2）AB= 1 2 0 01 (2 2 11 ) = *1 1 11 +， 行列式为|1 1 11 | =2， 所以 AB 的逆矩阵为 1 2
35、 1 2 1 2 1 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C1：x2+（y2）24 上的动点，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）在极坐标系中，点 M（3， 2） ，射线 = 6 ( 0）与曲线 C1，C2分别相交于异于 极点 O 的 A，B 两点，求MAB 的面积 【解答】解： （）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，
36、以 2 为半径的圆， 则曲线 C2： （x2）2+y24， 2x2+y2，xcos，ysin， 曲线 C1的极坐标方程为 4sin， 曲线 C2的极坐标方程为 4cos； （）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2， |AB|12|4| 6 6|= 2(3 1) 又M（3， 2）到射线 = 6 ( 0）的距离 h= 3 3 = 33 2 MAB 的面积 S= 1 2 | = 933 2 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）已知抛物线 C：y2px（p0）的焦点 F 与椭圆： 2 4 + 2 3 = 1的右焦点
37、重 合，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在 ，使得 = （R） ，且 |HA|2+|HB|240 都成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （1）依题意，椭圆： 2 4 + 2 3 = 1中，a24，b23， 得 c2a2b21，则 F（1，0） ，得 4 = 1，即 p4 故抛物线 C 的方程为 y24x （2）设 l：xty+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程 2 = 4 = + 1消去 x，得 y 24y40，
38、1+ 2= 4 12= 4 且1 = 1+ 1 2= 2+ 1，又 = ，则（1x1，y1）（x21，y2） ，即 y1y2，代 入 得(1 )2 = 4 2 2 = 4 ， 消去 y2得42= + 1 2，易得 H（1，0） ， 则|2+ |2= (1+ 1)2+ 1 2 + (2+ 1)2+ 2 2 = 1 2 + 2 2 + 2(1+ 2) + 2 + 1 2 + 2 2 = (1+ 1)2+ (2+ 1)2+ 2(1+ 2+ 2) + 2 + 1 2 + 2 2 = (2+ 1)(1 2 + 2 2) + 4(1+ 2) + 8 =（t2+1） （16t2+8）+4t4t+816t4+
39、40t2+16 由 16t4+40t2+1640， 解得2= 1 2或 t 23（舍） ，将2 = 1 2代入4 2 = + 1 2，解得 = 2 3 故存在实数 = 2 3满足题意 24 （10 分）已知数列an满足1 （a1+2a2+2 n1an）2n+1（nN*） （1）求 a1，a2和an的通项公式； （2）记数列ankn的前 n 项和为 Sn，若 SnS4对任意的正整数 n 恒成立，求实数 k 的 取值范围 【解答】解： （1）由题意得1+ 22+ + 21= 2+1， 所以：1= 1 22= 4， 1+ 22= 2 23 解得：a26 由1+ 22+ + 21= 2+1， 所以1+ 22+ + 221= ( 1) 2( 2)， 相减得21= 2+1（n1） 2n， 得 an2n+2，n1 也满足上式 第 19 页（共 19 页） 所以an
