1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）若复数 z|4+3i|+a（12i）为纯虚数，则实数 a（ ） A5 B0 C5 D10 3 （5 分）设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则p 为（ ） A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不
2、是平行四边形 4 （5 分）已知(2+ )( 2 ) 5的展开式中所有项的系数和为2，则展开式中含 x 项的系 数为（ ） A80 B80 C40 D40 5 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间 为（ ） A 4 + 4 3 ， 11 12 + 4 3 ， B 13 12 + ， 5 12 + ， C 4 + 2， 11 12 + 2， D 13 12 + 3 4 ， 5 12 + 3 4 ， 6 （5 分）三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22， 则三棱锥 PABC 的体积的最大值是（ ） A
3、42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 第 2 页（共 18 页） 7 （5 分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行 走的单位， 如果掷出的点数为 i （i1， 2， ， 6） ， 则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位， 一直循环下去 则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 （ ） A22 种 B24 种 C25 种 D27 种 8 （5 分）已知向量 + =（1，2） ， =（3，0） ，则 =（ ） A1 B1 C3 D3 二多选题（共二
4、多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点，且与该抛物线交于 M，N 两 点，若线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 y 轴的距离是 6，O 是坐标原点，则（ ） A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是82 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ） A直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角等于 4 B点 C 到面 ABC1D1的距离为 2 2 C两条异面直
5、线 D1C 和 BC1所成的角为 4 第 3 页（共 18 页） D三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径为 3 2 11 （5 分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： 团员或班干部；体育成绩达标 若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为（ ） A是团员，且体育成绩达标 B是团员，且体育成绩不达标 C不是团员，且体育成绩达标 D不是团员，且体育成绩不达标 12 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.
6、80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（ ） A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x3y+2 0 垂直，则实数 a 的值为 14 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且
7、 a11，an+1SnSn+1，则 Sn ；数列 an的通项公式为 15 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点， |PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 16 （5 分）一枚硬币抛三次，则恰有一次正面朝上的概率是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列an中，a11，公比为 q（q1 且 q0） ，且 bnan+1an （1）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； 第 4 页（共 18 页） （2）求数列bn的通项公式
8、18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = + （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求 b+c 的取值范围 19 （12 分）如图 1，四边形 PBCD 是等腰梯形，BCPD，PBBCCD2，PD4，A 为 PD 的中点，将ABP 沿 AB 折起，如图 2，点 M 是棱 PD 上的点 （1）若 M 为 PD 的中点，证明：平面 PCD平面 ABM； （2）若 PC= 6，试确定 M 的位置，使二面角 MABD 的余弦值等于 5 5 20 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 毗邻滇池东岸， 是著名的花都， 有
9、“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南” 之说， 享有 “金斗南” 的美誉对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花 的定价 x（单位：元/扎，20 支/扎）和销售率 y（销售率是销售量与供应量的比值）的统 计数据如下： x 10 20 30 40 50 60 y 0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设 zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型 = x+ 与 = z+ 哪个更合适，并 根据你的判断结果求回归方程（ ， 的结果保留一位小数） ； （2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花 1200 扎，根据（1）中的 回归方程，估计
10、定价 x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额 W （单位：元）最大，并求 W 的最大值 参考数据： y 与 x 的相关系数 r10.96， y 与 z 的相关系数 r20.99， 35， 0.45， 6 =1 xi29100， 3.40，6269.32， 6 =1 yizi8.16， 6 =1 zi271.52，e320.1，e3.4 30.0，e3.533.1，e454.6 第 5 页（共 18 页） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 ， = ，r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)
11、的离心率为 2 2 ，过焦点且与 x 轴垂直的直 线被椭圆 C 截得的线段长为 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知点 A（1，0） ，B（4，0） ，过点 A 的任意一条直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点， 求证：|MB|NA|MA|NB| 22 （12 分）设函数 f（x）（x+1）lnxk（x1） （1）当 x1 时 f（x）0 恒成立，求 k 的最大值； （2） 证明： 对任意正整数 n， 不等式 1 2+1 + 1 2+3 + 1 2+5 + + 1 41 12 2 恒成立 第 6 页（共 18 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（9） 参考答
12、案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）若复数 z|4+3i|+a（12i）为纯虚数，则实数 a（ ） A5 B0 C5 D10 【解答】解：z|4+3i|+a（12i）a+52ai 为纯虚数， + 5 = 0 2 0 ，即 a5 故选：A 3 （5 分）设命题 p：所有正方形都是平行四
13、边形，则p 为（ ） A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论 故p，有的正方形不是平行四边形 故选：C 4 （5 分）已知(2+ )( 2 ) 5的展开式中所有项的系数和为2，则展开式中含 x 项的系 数为（ ） A80 B80 C40 D40 【解答】解：令 x1 得（1+a）2，所以 a1 故原式= (2+ 1)( 2 ) 5 =（x 3+x5） （x22）5 x 3（x22）5+x5（x22）5 所以要求原式含 x 项的系数，只需求出（x22）5展开式中含 x4与
14、 x6的系数之和即可 第 7 页（共 18 页） 故所求为5 3(2)3 + 5 2(2)2 = 40 故选：D 5 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间 为（ ） A 4 + 4 3 ， 11 12 + 4 3 ， B 13 12 + ， 5 12 + ， C 4 + 2， 11 12 + 2， D 13 12 + 3 4 ， 5 12 + 3 4 ， 【解答】 解： 根据函数 f （x） sin （x+） 的部分图象可得7 12 （ 5 12） = 3 4 = 3 4 2 ， = 3 2 再根据五点法作图，可得3 2 7 12 +，= 8
15、， 函数 f（x）sin（3 2x+ 8） 令 2k+ 2 3 2x+ 8 2k+ 3 2 ，求得4 3k+ 4 x 4 3k+ 11 12 ， 可得函数 f（x）的减区间为4 3k+ 4， 4 3k+ 11 12 ，kZ， 故选：A 6 （5 分）三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22， 则三棱锥 PABC 的体积的最大值是（ ） A42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 【解答】 解： 由题意三棱锥PABC 内接于半径为2 的球中， PA平面ABC， BAC= 2， BC 22， 棱锥的高为 PA，可得 168+PA2，所以 PA22， 第
16、 8 页（共 18 页） 所以三棱锥的体积为：1 3 1 2 = 2 3 ABAC 2 3 2+2 2 = 42 3 ，当 且仅当 ABAC2 时，三棱锥的体积取得最大值 故选：C 7 （5 分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行 走的单位， 如果掷出的点数为 i （i1， 2， ， 6） ， 则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位， 一直循环下去 则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 （ ） A22 种 B24 种 C25 种 D27 种 【解
17、答】解：根据题意，正方形 ABCD 的边长为 2 个单位，则其周长是 8， 若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处，则三次骰子的点数之和是 8 或 16， 若三次骰子的点数之和是 8，有 1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共 5 种组合， 若三次骰子的点数之和是 16，有 4、6、6，5、5、6，共 2 种组合， 其中 1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这 5 种组合有 C313 种顺序， 1、2、5，1、3、4，这 2 种组合有 A336 种顺序， 则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法 35+2627 种， 故选：D 8
18、 （5 分）已知向量 + =（1，2） ， =（3，0） ，则 =（ ） A1 B1 C3 D3 【解答】解：因为 + =（1，2）， =（3，0）， +2 =（2，2） =（1，1） ； 2 =（4，2） =（2，1） ； =（1）2+111； 故选：B 第 9 页（共 18 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点，且与该抛物线交于 M，N 两 点，若线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 y 轴的距离是 6，O 是坐标原点，则（ ） A抛物线 C 的方程是 y2
19、8x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是82 【解答】解：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由抛物线的定义可得|MN|（x1+x2）+p 16， 又因为 MN 的中点到 y 轴的距离是 6，所以|x1+x2|12，所以 x1+x212， 所以 p4，所以抛物线的方程为：y28x，所以 A 正确， 准线方程为 x2，所以 B 不正确； 设直线 l 的方程 xmy2， 联立直线与抛物线的方程： = 2 2= 8 ，整理可得 y2+8my160，y1+y28m，所以 x1+x2m（y1+y2）48m2412， 解得 m1，所以 l 的方程为：x
20、y2，所以 C 不正确； SMON= 1 2|OF|y1y2|= 1 2 2 (1+ 2)2 412= 82+ 64 =82，所以 D 正确； 故选：AD 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ） A直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角等于 4 B点 C 到面 ABC1D1的距离为 2 2 C两条异面直线 D1C 和 BC1所成的角为 4 第 10 页（共 18 页） D三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径为 3 2 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 对于选项 A：直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角为
21、1= 4，故选项 A 正确 对于选项 B：点 C 到面 ABC1D1的距离为 B1C 长度的一半，即 h= 2 2 ，故选项 B 正确 对于选项 C：两条异面直线 D1C 和 BC1所成的角为 3，故选项 C 错误 对于选项 D：三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径 r= 12+12+12 2 = 3 2 ，故选项 D 正确 故选：ABD 11 （5 分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： 团员或班干部；体育成绩达标 若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为（ ） A是团员，且体育成绩达标 B是团员，且体育成绩不达标 C不是团员，且体育成绩达标 D不是团员，且
22、体育成绩不达标 【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员， 且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标 故选：AC 12 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（ ） A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰
23、箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【解答】 解： 根据表中数据知， 该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48， 第 11 页（共 18 页） 是亏损的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后， 该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低， D 正确 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5
24、分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x3y+2 0 垂直，则实数 a 的值为 5 【解答】解：f（x）2x+a，切线的斜率为3， 所以 f（1）2+a3， 所以 a5， 故答案为：5 14 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an+1SnSn+1，则 Sn 1 ；数列 an的通项公式为 an= 1， = 1 1 (1)， 2 【解答】解：因为 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an+1SnSn+1， Sn+1SnSnSn+1 1 +1 1 = 1； 数列 1 是首项为1，公差为1 的等差数列；
25、1 = 1+（1）（n1）n； Sn= 1 ； n2 时，anSn1Sn= 1 (1)； n1 时 a11，不适合上式； an= 1， = 1 1 (1)， 2 ； 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 1 ，an= 1， = 1 1 (1)， 2 15 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点， |PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，左焦点为 F1（c，0） ，O 为坐标原点，P 是双曲线
26、上一点，|PO|c，F1PF 是直角三角形，PF1 PF2a，PF12+PF24c2，可得 4c22PF1PF4a2 可得 4c24ab4a2，又 a2+b2c2 可得 ab， 即 e= = 2 故答案为：2 16 （5 分）一枚硬币抛三次，则恰有一次正面朝上的概率是 3 8 【解答】解：根据题意，用树状图表示将一枚质地均匀的硬币先后抛三次的情况，共 8 种情况； 如图所示： 分析可得恰好出现一次正面向上的有 3 种情况， 则其概率为：3 8 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列an中，a11，公比为 q（q1 且 q0） ，且 b
27、nan+1an （1）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； （2）求数列bn的通项公式 【解答】解： （1）数列bn是等比数列， 第 13 页（共 18 页） 由题意得，ana1qn 1qn1， 所以 bnan+1anqnqn 1qn1（q1） ， 又 q1 且 q0，则+1 = (1) 1(1) =q， 且 b1a2a1q1， 所以数列bn是以 q 为公比、以 q1 为首项的等比数列， （2）由（1）得，bnb1qn 1（q1）qn1 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = + （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求 b+c 的取值范围 【解
28、答】解： （1）ABC 中，由 = +， 利用正弦定理可得： = +， 化为：b2+c2a2bc； 由余弦定理可得： = 2+22 2 = 1 2，A（0，） ； = 3； （2）在ABC 中，由正弦定理得 3 = = ， 又 a2，所以 = 43 3 ， = 43 3 = 43 3 (2 3 )， 所以 + = 43 3 + 43 3 (2 3 ) = 43 3 (3 2 + 3 2 ) = 4( + 6)； 因为0 2 3 ，所以 6 + 6 5 6 ， 所以1 2 ( + 6) 1， 所以 b+c（2，4， 即 b+c 的取值范围是（2，4 19 （12 分）如图 1，四边形 PBCD
29、是等腰梯形，BCPD，PBBCCD2，PD4，A 为 PD 的中点，将ABP 沿 AB 折起，如图 2，点 M 是棱 PD 上的点 （1）若 M 为 PD 的中点，证明：平面 PCD平面 ABM； 第 14 页（共 18 页） （2）若 PC= 6，试确定 M 的位置，使二面角 MABD 的余弦值等于 5 5 【解答】解： （1）证明：由题意， ADBC， 且 ADBC，故四边形 ABCD 是平行四边形， 又 PBBCCD2，PD4， PBA 是正三角形，四边形 ABCD 是菱形， 取 AB 的中点 E，连接 PE，CE，易知ABC 是正三角形，则 ABPE，ABEC， 又 PEECE， AB
30、平面 PEC， ABPC， 取 PC 的中点 N，连接 MN，BN，则 MNCDAB，即 A，B，N，M 四点共面， 又 PBBC2，则 BNPC， 又 ABBNB， PC平面 ABM， 又 PC 在平面 PCD 内， 平面 PCD平面 ABM； （2） = = 2 3 2 = 3， = 6， PEEC， 又 ABPE 且 ABEC，则可以 EB，EC，AB 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系， 则(1，0，0)，(1，0，0)，(2， 3 ，0)，(0，0，3)，设 = (0)， 则( 2 1+， 3 1+， 3 1+)， 易知平面 ABD 的一个法向量为 = (0，0，
31、1)， 设平面MAB的一个法向量为 = (，)，又 = (2，0，0)， = (1+ 1+ ， 3 1+， 3 1+)， 第 15 页（共 18 页） = 2 = 0 = 1+ 1+ + 3 1+ + 3 1+ = 0 ，则可取 = (0， ，1)， 由题意，| | | = 1 2+1 = 5 5 ，解得 2，故 DM2MP 20 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 毗邻滇池东岸， 是著名的花都， 有 “全国 10 支鲜花 7 支产自斗南” 之说， 享有 “金斗南” 的美誉对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花 的定价
32、x（单位：元/扎，20 支/扎）和销售率 y（销售率是销售量与供应量的比值）的统 计数据如下： x 10 20 30 40 50 60 y 0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设 zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型 = x+ 与 = z+ 哪个更合适，并 根据你的判断结果求回归方程（ ， 的结果保留一位小数） ； （2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花 1200 扎，根据（1）中的 回归方程，估计定价 x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额 W （单位：元）最大，并求 W 的最大值 参考数据： y 与 x 的相关系数 r10
33、.96， y 与 z 的相关系数 r20.99， 35， 0.45， 6 =1 xi29100， 3.40，6269.32， 6 =1 yizi8.16， 6 =1 zi271.52，e320.1，e3.4 30.0，e3.533.1，e454.6 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 ， = ，r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 【解答】解： （1）因为 r10.96，y 与 z 的相关系数 r20.99，0.960.991， 由线性相关系数的定义可知， = z+ 更合适， 第 16 页（共 18 页） 由 = 6 =1 6 6 =1 262 = 8.1663.400.
34、45 71.5269.32 0.46 0.5， = 0.45 (0.46) 3.40 2.0， 所以线性回归方程为：y0.5lnx+2.0； （2）由题意，W1200（0.5lnx+2.0）x， W1200（1.50.5lnx，令 w0，德 lnx3，即 xe320.1， 当 x（0，20.1）时，W 递增；当 x（20，1，+）时，W 递减； 故销售价约为 20.1 时，日销售额 W 最大， = 1200(0.53+ 2.0)e31200（0.53+2.0）20.112060（元） ， 故最大日销售额为 12060 元 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心
35、率为 2 2 ，过焦点且与 x 轴垂直的直 线被椭圆 C 截得的线段长为 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知点 A（1，0） ，B（4，0） ，过点 A 的任意一条直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点， 求证：|MB|NA|MA|NB| 【解答】解： （）因为 2 2 + 2 2 = 1，令 xc，得2= 4 2， 由已知 2 = 1， 又 = 2 2 ，a2b2+c2， 解得 a2， = 2， 所以椭圆的方程为 2 4 + 2 2 = 1 （）要证明|MB|NA|MA|NB|，只需证明| | = | |， 过 M，N 分别作 x 轴的垂线段 MM，NN，易得：| | = | |， 所
36、以只需证明| | = | |， 所以只需证明MBANBA，只需证明 kMB+kNB0 当直线 l 的斜率不存在时，易得|MB|NA|MA|NB| 当直线 l 的斜率存在时，不妨设其为 k，则直线 l 的方程为 yk（x1） ， 第 17 页（共 18 页） 联立 2 4 + 2 2 = 1 = ( 1) 消去 y，得（2k2+1）x24k2x+2k240， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则1+ 2= 42 22+1，12 = 224 22+1， 直线 MB 的斜率= (11) 14 ，直线 NB 的斜率= (21) 24 ， + = (11) 14 + (21) 24 = (11
37、)(24)+(21)(14) (14)(24) = 2125(1+2)+8 (14)(24) = (22 24 22+15 42 22+1+8) (14)(24) =0 综上所述，|MB|NA|MA|NB| 22 （12 分）设函数 f（x）（x+1）lnxk（x1） （1）当 x1 时 f（x）0 恒成立，求 k 的最大值； （2） 证明： 对任意正整数 n， 不等式 1 2+1 + 1 2+3 + 1 2+5 + + 1 41 12 2 恒成立 【解答】解： （1）f（x）（x+1）lnxk（x1） ， 当 x1 时，f（1）00 恒成立， 当 x1 时，由 f（x）0 恒成立，可得 k
38、(+1) 1 ， 设 g（x）= (+1) 1 ， g（x）= 2+1 (1)2 ， 令 h（x）2lnx+x 1 ，x1， h（x）= 2 +1+ 1 2 = 22+1 2 0 恒成立， h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）2+1+10， g（x）在（1，+）上单调递增， 1 (+1) 1 = 1（lnx+1+ 1 ）2， g（x）2， k2， k 的最大值为 2； 证明： （2）由（1）可知，当 x1，且 k2 时，f（x）（x+1）lnx2（x1）0 恒 第 18 页（共 18 页） 成立， 1 2lnx 1 +1， 令 x= +1 ， 则1 2ln +1 +1 1 +1 +1 = 1 2+1 1 2+1 + 1 2+3 + 1 2+5 + + 1 41 1 2ln（ +1 +2 +1 2 21）= 2 2
