1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，z= 2 1+ 3i2017，且 z 的共轭复数为，则 z =（ ） A3 B5 C5 D3 3 （5 分）tan2tan 5，则 (+ 5) ( 5) =（ ） A1 B2 C3 D4 4（5 分） 在区间 2， 2上机
2、取一个实数 x， 则 sinx 的值在区间 1 2， 3 2 上的概率为 （ ） A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 5 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 6 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） A1 B1 2 C1 D2 7 （5 分） “ab0”是“方程 2 + 2 =1 表示的曲线为椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 8 （5 分）化简 + =（ ） A B C D 第 2 页（共 15 页） 9 （5 分
3、）函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）若将函数 f（x）= 1 2sin（2x+ 3）图象上的每一个点都向左平移 3个单位，得到 g （x）的图象，则函数 g（x）的单调递增区间为（ ） Ak 4，k+ 4（kZ） Bk+ 4，k+ 3 4 （kZ） Ck 2 3 ，k 6（kZ） Dk 12，k+ 5 12（kZ） 11 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2+ 2 2= 3，则 A （ ） A 6 B5 6 C 3 D2 3 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x+ 12） ，f（x）是 f（x）的导函数，
4、则函数 y2f（x） +f（x）的一个单调递减区间是（ ） A 12， 7 12 B 5 12， 12 C 3， 2 3 D 6， 5 6 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5，那么 f（18）的值 14 （5 分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6） ，事件 A 为 “正面朝上的点数为 3” ， 事件 B 为 “正面朝上的点数为偶数” ， 则 P （A+B） 15 （5 分）设球 O 与圆锥 SO1的体积分别为 V1，V2若圆锥 SO1的母
5、线长是其底面半径的 2 倍，且球 O 的表面积与圆锥 SO1的侧面积相等，则 1 2的值是 第 3 页（共 15 页） 16 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点， |PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）为抗击“新冠肺炎” ，全国各地“停课不停学” ，各学校都开展了在线课堂，组 织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平 台统计了部分
6、高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率 分布直方图 （1） 如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间 （完成各科作业及其他自主学习） 为 5 小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同 一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （结果精确到 0.01） ； （2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超 过 45 分钟的概率 18 （12 分）在等比数列an中，a24，a532， （1）求数列an的通项公式 （2）设 bnan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD
7、中，侧面 PAD底面 ABCD，PBAD，PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 是菱形，点 M 为 PC 的中点 （1）求证：PA平面 MDB； （2）求三棱锥 PDBM 的体积 第 4 页（共 15 页） 20 （12 分）过点（0，2）的直线 l 与抛物线 C：x22py（p0）交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程； （2）在 y 轴上是否存在定点 M，使得OMAOMB？并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）aln（x+1）+ 1 +1 +3x1 （1）当 a1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 （2）
8、若 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 （3）设 nN*， 求证： 2 4121 + 3 4121 + 3 4221 + 4 4321 + +1 421 1 4ln（2n+1） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）
9、设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知正数 x，y，z 满足 x+y+z1 （1）求证： 2 2+3 + 2 2+3 + 2 2+3 1 5； （2）求 16x+16y+16 2的最小值 第 5 页（共 15 页） 2020 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，
10、则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 【解答】解：依题意， = *|42 3 0+ = *|0 3 4+， = *| = 2 1+ = *| 1 2+， 故 = ,1 2， 3 4- 故选：D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，z= 2 1+ 3i2017，且 z 的共轭复数为，则 z =（ ） A3 B5 C5 D3 【解答】解：z= 2 1+ 3i2017= 2(1) (1+)(1) 3 = 1 + 3 = 1 2， 则 = 1 + 2，故 = |2= 5 故选：C 3 （5 分）tan2tan 5，则 (+ 5) ( 5) =（ ） A1 B2 C3 D4
11、 【解答】解： (+ 5) ( 5) = 5+ 5 5 5 = + 5 5 = 3 故选：C 4（5 分） 在区间 2， 2上机取一个实数 x， 则 sinx 的值在区间 1 2， 3 2 上的概率为 （ ） A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 【解答】解： 1 2 sinx 3 2 ， 当 x 2， 2时， x 6， 3 第 6 页（共 15 页） 所求概率 P= 3( 6) 2( 2) = 1 2， 故选：B 5 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】 解： 3 1 230= 1
12、， 1 2 = 222322 = 1， 3233 = 1 2， abc 故选：A 6 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） A1 B1 2 C1 D2 【解答】解：由程序框图可得第一次：S2，k1， 第二次，S1，k3，不满足退出循环的条件； 第三次，S= 1 2，k5，不满足退出循环的条件； 第四次，S2，k7，不满足退出循环的条件； 第五次，S1，k9，不满足退出循环的条件； 第六次，S= 1 2，k11，不满足退出循环的条件； 观察可知 S 的值成周期为 3 的间隔存在， 第2016 2 =1008 次，S= 1 2，k2015，满足退出循环的条件； 第 1009
13、 次，S2，k2017，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 2， 故选：D 第 7 页（共 15 页） 7 （5 分） “ab0”是“方程 2 + 2 =1 表示的曲线为椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 【解答】解：若方程 2 + 2 =1 表示的曲线为椭圆， 则 a0 且 b0 且 ab， “ab0”是“a0 且 b0 且 ab”的必要不充分条件 “ab0”是“方程 2 + 2 =1 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件 故选：B 8 （5 分）化简 + =（ ） A B C D 【解答】解： + = + ( + ) = + = + =
14、， 故选：D 9 （5 分）函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：f（x）（x）2（x）sin（x）x2xsinxf（x） ，且定义域为 R， f（x）为偶函数，故排除选项 B； f（x）x（xsinx） ，设 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0 恒成立， g（x）单调递增， 第 8 页（共 15 页） 当 x0 时，g（x）g（0）0， 当 x0 时，f（x）xg（x）0，且 f（x）单调递增，故排除选项 C、D； 故选：A 10 （5 分）若将函数 f（x）= 1 2sin（2x+ 3）图象上的每一个点都向左平移 3个单位，得到 g （x）
15、的图象，则函数 g（x）的单调递增区间为（ ） Ak 4，k+ 4（kZ） Bk+ 4，k+ 3 4 （kZ） Ck 2 3 ，k 6（kZ） Dk 12，k+ 5 12（kZ） 【解答】解：将函数 f（x）= 1 2sin（2x+ 3）图象上的每一个点都向左平移 3个单位，得 到 g（x）= 1 2sin2（x+ 3）+ 3= 1 2sin2x 的图象， 故本题即求 ysin2x 的减区间，令 2k+ 2 2x2k+ 3 2 ，求得 k+ 4 xk+ 3 4 ， 故函数 g（x）的单调递增区间为k+ 4，k+ 3 4 ，kZ， 故选：B 11 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
16、为 a，b，c，若2+ 2 2= 3，则 A （ ） A 6 B5 6 C 3 D2 3 【解答】解：由余弦定理可得 cosA= 2+22 2 = 3 2 = 3 2 ， 0A， A= 6 故选：A 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x+ 12） ，f（x）是 f（x）的导函数，则函数 y2f（x） +f（x）的一个单调递减区间是（ ） A 12， 7 12 B 5 12， 12 C 3， 2 3 D 6， 5 6 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+ 12） ，f（x）是 f（x）的导函数， 则函数 y2f（x）+f（x）2sin（2x+ 12）+2cos（2x+ 12） =
17、22sin（2x+ 12 + 4）22sin（2x+ 3） ， 第 9 页（共 15 页） 由 2k+ 2 2x+ 3 2k+ 3 2 ，kZ， 可得：k+ 12 xk+ 7 12，kZ， 所以函数的一个单调减区间为： 12， 7 12 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5，那么 f（18）的值 9 【解答】解：函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5， f（18）f（35+3）f（3）329 故答案为：9 14 （5 分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数
18、分别为 1，2，3，4，5，6） ，事件 A 为“正面朝上的点数为 3” ，事件 B 为“正面朝上的点数为偶数” ，则 P（A+B） 2 3 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6） ， 事件 A 为“正面朝上的点数为 3” ，事件 B 为“正面朝上的点数为偶数” ， P（A）= 1 6，P（B）= 1 2， 事件 A 与事件 B 互斥， 则 P（A+B）P（A）+P（B）= 1 6 + 1 2 = 2 3 故答案为：2 3 15 （5 分）设球 O 与圆锥 SO1的体积分别为 V1，V2若圆锥 SO1的母线长是其底面半径的 2 倍，且球 O 的表面积
19、与圆锥 SO1的侧面积相等，则 1 2的值是 6 3 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则该圆锥的母线长为 2r，高为3，所以，圆锥的 体积为2= 1 3 2 3 = 3 3 3，圆锥的侧面积为 r2r2r2 设球 O 的半径为 R，由题意可得 4R22r2，得 = 2 2 ， 所以，1= 4 3 3= 4 3 ( 2 2 )3= 2 3 3 第 10 页（共 15 页） 因此， 1 2 = 2 3 3 3 3 3 = 2 3 = 6 3 故答案为： 6 3 16 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点，
20、 |PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，左焦点为 F1（c，0） ，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，|PO|c，F1PF 是直角三角形，PF1 PF2a，PF12+PF24c2，可得 4c22PF1PF4a2 可得 4c24ab4a2，又 a2+b2c2 可得 ab， 即 e= = 2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）为抗击“新冠肺炎” ，全国各地“停课不停学” ，各学校都开展了在
21、线课堂，组 织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平 台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率 分布直方图 （1） 如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间 （完成各科作业及其他自主学习） 为 5 小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同 一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （结果精确到 0.01） ； （2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超 过 45 分钟的概率 【解答】解： （1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为 3
22、0 第 11 页（共 15 页） 0.1+400.18+500.3+600.25+700.12+800.0552.6， 完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.6 300 0.18； （2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过 45 分钟的频 率为 0.28， 估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过 45 分钟的概率为 0.28 18 （12 分）在等比数列an中，a24，a532， （1）求数列an的通项公式 （2）设 bnan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）等比数列an的公比设为 q， a24，a532，可得
23、q3= 5 2 =8， 解得 q2， 可得 ana2qn 22n； （2）bnan+12n+1， 则前 n 项和 Sn（2+4+2n）+n = 2(12) 12 +n2n+1+n2 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，PBAD，PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 是菱形，点 M 为 PC 的中点 （1）求证：PA平面 MDB； （2）求三棱锥 PDBM 的体积 【解答】解： （1）证明：连结 AC，交 BD 于 O，由于底面 ABCD 为菱形， O 为 AC 中点， 又 M 为 PC 的中点，MOPA，又 MO平面 MDB，PA平面 MDB，
24、 PA平面 MDB 第 12 页（共 15 页） （2）解：过 P 作 PEAD，垂足为 E， PAD 为正三角形，E 为 AD 的中点侧面 PAD底面 ABCD， 由面面垂直的性质得 PE平面 ABCD 由 ADPE，ADPB，得 AD平面 PEB ADEB，EAB60， M 为 PC 的中点， VPBDMVBPDM= 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2 1 3 3 4 4 3 = 1 2 20 （12 分）过点（0，2）的直线 l 与抛物线 C：x22py（p0）交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程； （2）在 y 轴上是否存在定点 M，使得
25、OMAOMB？并说明理由 【解答】解： （1）设直线 l：ykx+2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = + 2 2= 2 得 x22pkx4p0， 则1 + 2= 2 12= 4 ，所以 y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+44， 由 OAOB 得 = 0，x1x2+y1y20， 4p+40，p1， 所以抛物线 C 的方程为 x22y （2）假设存在满足条件的点 M（0，t） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由（1）知1 + 2= 2 12= 4 ，若OMAOMB，则 kMA+kMB0， 1 1 + 2 2 = (1)2+(
26、2)1 12 = (1+2)2+(2+2)1 12 = 212+(2)(1+2) 12 = 8+2(2) 4 = (2+) 2 =0， 第 13 页（共 15 页） 显然 k0， t2， 存在 M（0，2）满足条件 21 （12 分）已知函数 f（x）aln（x+1）+ 1 +1 +3x1 （1）当 a1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 （2）若 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 （3）设 nN*， 求证： 2 4121 + 3 4121 + 3 4221 + 4 4321 + +1 421 1 4ln（2n+1） 【解答】解： （1）当 a1 时，
27、f（x）ln（x+1）+ 1 +1 +3x1， f（x）= 1 +1 1 (+1)2 +3， kf（0）11+33，f（0）0+1+010， 曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 y3x， （2） ：f（x）= +1 1 (+1)2 +3= 32+(+6)+2 (+1)2 若 a2，则 a+60，x0 时，f（x）0此时，f（x）在区间0，+）上为增函数 x0 时，f（x）f（0）0a2 符合要求 若 a2，则方程 3x2+（a+6）x+a+20 有两个异号的实根， 设这两个实根为 x1，x2，且 x10x2 0xx2时，f（x）0，f（x）在区间0，x2上为减函数，f（x2）f（
28、0）0 a2 不符合要求 a 的取值范围为2，+） （3）证明：由（1）知，x0 时，不等式 1 +1 2ln（x+1）+3x10 恒成立， x0 时， 1 +1 +3x12ln（x+1）恒成立， 令 x= 2 21，kN*，得 1 2 21+1 +3 2 21 12ln（ 2 21 +1） ， 整理可得 8+8 421 2ln2+1 2+1， +1 421 1 4ln 2+1 2+1， 令 k1，2，3，n，得 2 4121 1 4ln 3 1， 3 4221 1 4ln 5 3， 4 4321 1 4ln 7 5， 第 14 页（共 15 页） ， +1 421 1 4ln 2+1 21，
29、 将上述 n 个不等式的左右两边分别相加，可得 2 4121 + 3 4121 + 3 4221 + 4 4321 + + +1 421， 1 4ln（ 3 1 5 3 7 5 2+1 21） ， = 1 4ln（2n+1） ， 问题得以证明 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程；
30、 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 即曲线 C1的的普通方程为（x1）2+y21； 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设 N （，
31、） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知正数 x，y，z 满足 x+y+z1 第 15 页（共 15 页） （1）求证： 2 2+3 + 2 2+3 + 2 2+3 1 5； （2）求 16x+16y+16 2的最小值 【解答】 解：（1） 证明： 正数 x，
32、 y， z 满足 x+y+z1， 由柯西不等式可得 （2y+3z） + （2z+3x） +（2x+3y） 2 2+3 + 2 2+3 + 2 2+3（x+y+z） 2， 所以 2 2+3 + 2 2+3 + 2 2+3 (+)2 (2+3)+(2+3)+(2+3) = (+)2 5(+) = + 5 = 1 5； （2）16x+16y+16 2 =42x+42y+42 2， 由均值不等式 42x+42y+42 2 342+2+2 2 3 ， 当且仅当 xyz2，时取得等号， 由 x+y+z1，可得 2x+2y+2z22（x+y）+2z22z22z+2 3 2，当且仅当 z= 1 2时取“” ， 则 42x+42y+42 2 34 3 2 3 =6， 当且仅当 xy= 1 4， z= 1 2时等号成立， 所以 16 x+16y+16 2的 最小值为 6
