1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|y= ，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 2 （5 分）设 z43i，则在复平面内1 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 alog32，bln3，c2 0.99，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abca Babc Ccab Dcba 4 （5 分）动
2、点 M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可 跳动 1 个单位或者 2 个单位的距离， 且每次至少跳动 1 个单位的距离 经过 3 次跳动后， M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A7 B9 C11 D13 5 （5 分）函数 f（x）= + 2 20 在2，0）（0，2上的图象大致为（ ） A B C 第 2 页（共 20 页） D 6 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到 A，B，C 三所学校任教，每所学校至少安排 1 人， 则甲不去 A 学校的不同分配方法有（ ） A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 7 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（1
3、，m） 若（ + ） ，则 m（ ） A4 B3 C2 D1 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n（ ） A3 B4 C5 D6 9 （5 分）数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ，且 a810，则 S15（ ） A95 B190 C380 D150 10 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2过 F2的直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点若|AB|F1F2|，|F1A|= 1 2|F1B|，则椭圆 C 的离心率为（ ） A1+145 20 B1451 20 C1451 18 D1+145 18 第 3 页（共
4、 20 页） 11 （5 分）已知函数() = 3，下列命题： f（x）关于点( 3 ，0)对称；f（x）的最大值为 2； f（x）的最小正周期为 2；f（x）在区间（0，）上递增 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分） 已知四棱锥 SABCD 中， 四边形 ABCD 为等腰梯形， ADBC， BAD120， SAD 是等边三角形， 且 SAAB23， 若点 P 在四棱锥 SABCD 的外接球面上运动， 记点 P 到平面 ABCD 的距离为 d，若平面 SAD平面 ABCD，则 d 的最大值为（ ） A13 +1 B13 +2 C15 +1 D15 +2 二填空题
5、（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）函数 f（x）xlnx+a 的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得 弦长为 2，则实数 a 的值为 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an 15 （5 分）由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一 定的经济损失，现将 A 地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估 算月经济损失的平均数为 m，中位数为 n，则 mn 16 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，
6、b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 是双曲线 C 过第一、三象限的渐近线，记直线 l 的倾斜角为 ，直线 l：ytan 2x，F2M l，垂足为 M，若 M 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB0 （1）求 B； 第 4 页（共 20 页） （2）设 D 为 AC 上的点，BD 平分ABC，且 AB3BD3，求 sinC 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的
7、底面是菱形，平面 PAD平面 ABCD，O，E 分别为 AD，AB 的中点，AB6，DPAP5，BAD60 （1）求证：ACPE； （2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）经过点 A（1，2） ，直线 l 过抛物线 C 焦点 F 且与抛物线交于 M、N 两点，抛物线的准线与 x 轴交于点 B （1）求实数 p 的值； （2）若 =4，求直线 l 的方程 20 （12 分）已知函数() = + 2 + （k，aR 且 a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求证
8、：x1+x24 21 （12 分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市 之间建一条直达公路，中间设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为 2m，现规划在每个路 口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为1 2 （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如表所示： A 市居民 B 市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有 99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性； （2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及 数学期望； 第 5 页
9、（共 20 页） （3） 在所有的路口种植完成后， 选取 3 个种植同一种树的路口， 记总的选取方法数为 M， 求证：3Mm（m1） （m2） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直
10、 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）用分析法证明：3 + 725； （2）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1= 2 3，满足 Sn+ 1 +2an（n2） ，计算，S1， S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一
11、选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|y= ，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 【解答】解：集合 Ax|x2x20x|1x2， Bx|y= =x|x0， ABx|x1 故选：C 2 （5 分）设 z43i，则在复平面内1 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由题意得 z43i， 所以1 = 1 43 = 4+3 (4+3)(43)， = 4+3 25 ， 因此在复平面内1 对应的点（ 4 25 ， 3 25）位于第一象限， 故
12、选：A 3 （5 分）已知 alog32，bln3，c2 0.99，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abca Babc Ccab Dcba 【解答】解：因为 alog32（0，1 2） ，bln31，c2 0.9921=1 2， 故 bca 故选：A 4 （5 分）动点 M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可 跳动 1 个单位或者 2 个单位的距离， 且每次至少跳动 1 个单位的距离 经过 3 次跳动后， M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A7 B9 C11 D13 【解答】解：根据题意，分 4 种情况讨论： ，动点 M 向左跳三次，3 次均为 1 个单位，
13、3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个单位，故有6，5，4，3， 第 7 页（共 20 页） ，动点 M 向右跳三次，3 次均为 1 个单位，3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个单位，故有 6，5，4，3， ，动点 M 向左跳 2 次，向右跳 1 次，故有3，2，1，0，2， ，动点 M 向左跳 1 次，向右跳 2 次，故有 0，1，2，3， 故 M 在数轴上可能位置的个数为6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5， 6 共有 13 个， 故选：D 5 （5 分）函数 f（x）= + 2 20 在2，0）（0，2上的图象大致为（ ） A B C D 【解
14、答】 解： 根据题意， 函数 f （x） = + 2 20 ， 则有() = () + ()2() 20 = + 2 20 = ()， 故函数 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C； 第 8 页（共 20 页） 而() = 2 20 0，排除 B，(2) = 2 5 0，排除 D 故选：A 6 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到 A，B，C 三所学校任教，每所学校至少安排 1 人， 则甲不去 A 学校的不同分配方法有（ ） A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论， 其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有 C31A21A2212 种情况
15、， 没有人与甲在同一个学校，则有 C21C32A2212 种情况； 则若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案有 12+1224 种； 故选：B 7 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（1，m） 若（ + ） ，则 m（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：向量 =（1，2） ， =（1，m） + =（2，2+m） ， （ + ） ，（ + ） =2+4+2m0， 解得 m3 故选：B 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n（ ） 第 9 页（共 20 页） A3 B4 C5 D6 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，n1 S2，n2 满足条件 S30，执行循环体，S
16、2+46，n3 满足条件 S30，执行循环体，S6+814，n4 满足条件 S30，执行循环体，S14+1630，n5 此时，不满足条件 S30，退出循环，输出 n 的值为 5 故选：C 9 （5 分）数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ，且 a810，则 S15（ ） A95 B190 C380 D150 【解答】解：数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ， 数列an是等差数列， a810， S15= 15 2 (1+ 15) =15a8150 故选：D 10 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2过 F2
17、的直线 第 10 页（共 20 页） 与椭圆 C 交于 A，B 两点若|AB|F1F2|，|F1A|= 1 2|F1B|，则椭圆 C 的离心率为（ ） A1+145 20 B1451 20 C1451 18 D1+145 18 【解答】解：由|AB|F1F2|2c，|F1A|= 1 2|F1B|，可得 BF12AF1，所以 BF22aBF1 2a2AF1， 所以可得 AF22cBF22c（2a2AF1） ，而 AF22aAF1，所以可得：2aAF1 2c2a+2AF1， 所以可得 AF1= 42 3 ， AF22a 42 3 = 2+2 3 ， BF12AF1= 84 3 ， BF22aBF1
18、= 42 3 ； 在三角形 AF1F2中，cosAF2F1= 22+12212 2212 ， 在三角形 BF1F2中，cosBF2F1= 22+12212 2212 ， 因为 cosAF2F1+cosBF2F10， 所以+可得 (2+2 3 )2+42(42 3 )2 2+2 3 + (42 3 )2+42(84 3 )2 42 3 =0， 整理可得：9c24a2ac0，即 9e2e40，解得：e= 1+145 18 ， 故选：D 11 （5 分）已知函数() = 3，下列命题： f（x）关于点( 3 ，0)对称；f（x）的最大值为 2； f（x）的最小正周期为 2；f（x）在区间（0，）上递
19、增 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：函数() = 3 =2sin（x 3） ，x= 3时，f（x）0，所以 f（x） 第 11 页（共 20 页） 关于点( 3 ，0)对称，所以正确； 函数的最大值为 2， 所以正确； 函数的最小正周期为 2， 所以不正确； 2 x 3 2， 解得 x 6， 5 6 时，函数是增函数，所以不正确； 正确命题为：； 故选：C 12 （5 分） 已知四棱锥 SABCD 中， 四边形 ABCD 为等腰梯形， ADBC， BAD120， SAD 是等边三角形， 且 SAAB23， 若点 P 在四棱锥 SABCD 的外接球面上运动， 记点
20、 P 到平面 ABCD 的距离为 d，若平面 SAD平面 ABCD，则 d 的最大值为（ ） A13 +1 B13 +2 C15 +1 D15 +2 【解答】解：依题意， = 3，取 BC 的中点 E， 则 E 是等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心，F 是SAD 的外心， 作 OE平面 ABCD，OF平面 SAB， 则 O 是人锥 SABCD 的外接球的球心，且 OFDE3，AF2， 设四棱锥 SABCD 的外接球半径为 R， 则 R2SF2+OF213， 则 OEDF1， 当四棱锥 SABCD 的体积最大时， = + = 13 + 1 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满
21、分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 12 页（共 20 页） 13 （5 分）函数 f（x）xlnx+a 的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得 弦长为 2，则实数 a 的值为 6 或 2 【解答】解：由题意得 f（x）lnx+1，所以 f（1）a，f（1）1 所以切线为：yax1，即 xy+a10 圆 C：x2+y22x+4y40 的圆心为（1，2） ，半径 r3，又因为弦长 l2 所以圆心到直线的距离为 d=2 ( 2) 2 = 22 所以 C（1，2）到切线 xy+a10 的距离为： |3+1| 12+12 = 22，解得 a6 或 2 故答案为：
22、6 或 2 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an ，为奇数 1，为偶数 【解答】解：an+12nan， an+1+an2n，an+an12（n1） （n2）， 得：an+1an12 （n2） ，又a11， 数列an的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 当 n 为奇数时，ann， 当 n 为偶数时，则 n1 为奇数，an2（n1）an12（n1）（n1）n1， 数列an的通项公式= ，为奇数 1，为偶数， 故答案为：= ，为奇数 1，为偶数 15 （5 分）由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一 定的经济损失，
23、现将 A 地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估 算月经济损失的平均数为 m，中位数为 n，则 mn 360 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：第一块小矩形的面积 S10.3，第二块小矩形的面积 S20.4， 故 = 2000 + 0.50.3 0.0002 = 3000， 而 m10000.3+30000.4+50000.18+（7000+9000）0.063360， 故 mn360 16 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 是双曲线 C 过第一、三象限的渐近线，记直线 l 的倾斜角为 ，直线
24、 l：ytan 2x，F2M l，垂足为 M，若 M 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为 5 1 【解答】解：如图，设2= 2，|OF2|c，则 = ，即 = ， 与 sin2+cos21 联立，解得 = ， = ，则| = 2， 故 M（ 2 2，c 2 2） ， 设 M 的坐标为（x，y） ， 则 x= 2 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = + 2 ， y= 2 2 = 1 2 = 2 即(+ 2 ， 2)， 代入双曲线的方程可得(+) 2 42 2 42 = 1， 解得 = 5 1 故答案为：5 1 第 14 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满
25、分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB0 （1）求 B； （2）设 D 为 AC 上的点，BD 平分ABC，且 AB3BD3，求 sinC 【解答】解： （1）acosC+ccosA+2bcosB0， 由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB0， sin（A+C）+2sinBcosB0， 又A+B+C，sin（A+C）sinB， sinB+2sinBcosB0， sinB0，cosB= 1 2， 又B（0，） ， = 2 3 ； （2）由（1）
26、知 B= 2 3 ，因为 BD 平分ABC， = 3， 在ABD 中，AB3BD3， 由余弦定理得， AD2AB2+BD22ABBDcosABD， 即2= 9 + 1 2 3 1 1 2 = 7，即 AD= 7， cosA= 2+22 2 = 9+71 237 = 57 14 ， 又A（0，） ， sinA= 21 14 ，又C+A+ABC， sinCsin（ 3 ）sin 3cosAcos 3sinA= 3 2 57 14 1 2 21 14 = 21 7 第 15 页（共 20 页） 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，平面 PAD平面 ABCD，O，E 分别为 AD
27、，AB 的中点，AB6，DPAP5，BAD60 （1）求证：ACPE； （2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：连结 BD，由菱形的性质可得：ACBD， 结合三角形中位线性质得：OEBD，OEAC， 平面 PAD平面 ABCD，POAD， 平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD， PO底面 ABCD，AC底面 ABCD，ACOP， POOEO，AC平面 POE， PE平面 POE，ACPE （2）解：由题意结合菱形的性质得 OPOA，OPOB，AOOB， 以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 P（0，0，4） ，B（0，33，
28、0） ，O（0，0，0） ，E（3 2， 33 2 ，0） ， 设平面 POE 的一个法向量 =（x，y，z） ， 则 = 4 = 0 = 3 2 + 33 2 = 0 ，取 x= 3，得 =（3， 1，0） ， 设直线 PB 与平面 POE 所成角为 ， 则 sin= | | | | | = 33 243 = 3 86129 直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值为 3 86 129 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）经过点 A（1，2） ，直线 l 过抛物线 C 焦点 F 且与抛物线交于 M、N 两点，抛物线的准线与 x 轴交于点 B （
29、1）求实数 p 的值； （2）若 =4，求直线 l 的方程 【解答】解（1）由抛物线过 A（1，2）可得， （2）22p1，p2， （2）由（1）得抛物线的方程为：y24x，所以焦点 f（1，0） ，可得直线方程为 x1， 即 B 的坐标为（1，0） ， 由题意可得直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为： xmy+1， 设交点 M （x， y） ， N （x， y） ， 联立直线与抛物线的方程整理得：y24my40，y+y4m，yy4， 所以 =（x+1，y） （x+1，y）xx+（x+x）+1+yy= ()2 16 +m（y+y）+2+1+yy （1+m2）yy+2m（y+y）+4
30、4（m2+2）+8m24m28， 又有 =4， 所以 4m284，解得：m1， 所以直线 l 的方程为：xy+1， 即直线方程为：x+y10 或 xy10 20 （12 分）已知函数() = + 2 + （k，aR 且 a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求证：x1+x24 【解答】解： （1）定义域（0，+） ，() = 2 2 = 2 2 ， 第 17 页（共 20 页） 由 f（x）0 时，x (2 ， + )；由 f（x）0 时，x (0， 2 )， 若2 2 即 a1 时，f（x）在2，+）上单调递增，故 f
31、（x）在2，+）的最小值为 f （2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在2，2 ）上单调递减，在（ 2 ，+ ）单递增， 故 f（x）在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2 ， 综上，当 a1 时，f（x）在2，+）上的最小值为 f（2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2 ， （2）当 a1 时，不妨设 0x1x2， 则 k+ 2 1 + 1= 0，k+ 2 2 + 2=0， 2 1 + 1= 2 2 + 2，故2(21) 12 = 2 1， 令 t= 2 1，t1，则 lnt= 2(1) 1 ， x1= 2
32、(1) ， 所以 x1+x2x1（t+1）= 2(21) ，故 x1+x24= 2(21) 4= 2 ( 1 2)， 令 g（t）t2lnt 1 ， 而() = 1 + 1 2 2 = (1)2 2 0，所以 g（t）在（1，+）上单调递增 又 t1，所以 g（t）g（1）0，而 lnt0， 故 x1+x24 21 （12 分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市 之间建一条直达公路，中间设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为 2m，现规划在每个路 口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为1 2 （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物
33、更受欢迎，得到的数据如表所示： A 市居民 B 市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有 99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性； 第 18 页（共 20 页） （2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及 数学期望； （3） 在所有的路口种植完成后， 选取 3 个种植同一种树的路口， 记总的选取方法数为 M， 求证：3Mm（m1） （m2） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.82
34、8 【解答】解： （1）本次实验中， = 1000(300250200250)2 500500550450 10.110.828， 故没有 99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性 （2）依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 故 ( = 0) = (1 2) 4 = 1 16 = ( = 4) ， ( = 1) = 4 3(1 2) 4 = 4 16 = 1 4 = ( = 3) ， ( = 2) = 4 2(1 2) 4 = 6 16 = 3 8， X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 故() = 4 1 2 = 2 （3）证明
35、：2m8，m4要证 3Mm（m1） （m2） ，即证 2 3； 首先证明：对任意 m，kN*，mk，有+1 证明：因为+1 = 10，所以+1 设 2m 个路口中有 p（pN，p2m）个路口种植杨树， 当p0，1，2时， = 2 3 22 3 = (22)(23)(24) 6 = 4 (1)(2)(23) 6 ， 因为 m4，所以 2m3m， 于是4 (1)(2) 6 = 4 323 当 p2m2，2m1，2m时， = 3 22 3 ，同上可得2 3 当 3p2m3 时， = 3 + 2 3 ，设() = 3 + 2 3 ，3 2 3， 当 3p2m4 时，( + 1) () = +1 3 +
36、 21 3 3 2 3 = 2 21 2 ， 第 19 页（共 20 页） 显然 p2mp1，当 p2mp1 即 mp2m4 时，f（p+1）f（p） ， 当 p2mp1 即 3pm1 时，f（p+1）f（p） ， 即 f（m）f（m+1）f（2m3） ；f（3）f（4）f（m） ， 因此() () = 2 3，即 23 综上， 2 3，即 3Mm（m1） （m2） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的
37、点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M
38、（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）用分析法证明：3 + 725； （2）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1= 2 3，满足 Sn+ 1 +2an（n2） ，计算，S1， S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式 【解答】解： （1）要证3 + 725，即证10 + 22120， 即证215，即证 2125，显然成立 故原式成立 第 20 页（共 20 页） （2）由题设得 Sn2+2Sn+1anSn0，当 n2（nN*）时，anSnSn1， 代入上式，得 Sn1Sn+2Sn+10 （*） S1a1= 2 3，Sn+ 1 =an2（n2，nN） ， 令 n2 可得，S2+ 1 2 =a22S2a12， 1 2 = 2 3 2，S2= 3 4 同理可求得 S3= 4 5，S4= 5 6 猜想 Sn= +1 +2，nN+
