1、2023年中考九年级数学高频考点 专题训练-二次函数动几综合题1如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0， 32 ），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值2如图，抛物线y=ax25ax4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧
2、），交y轴于点C，过点C作CDAB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分EAF（1）此抛物线的对称轴是 ；（2）求该抛物线的解析式；（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求APF面积SAPF的最大值，以及此时点P的坐标；（4）点M是线段AB上一点（不与点A，B重合），点N是线段AD上一点（不与点A，D重合），则两线段长度之和：MN+MD的最小值是 3已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN点D是
3、直线MN上任意一点当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由4已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，OAB是等腰直角三角形（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和PAB的最大面积；若没有，请说明理由5已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，顶点为D（1）求这个
4、二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标6已知抛物线yax2+2x+c过A（1，0），C（0，3），交x轴于另一点B点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N（1）求抛物线的解析式；（2）连接AN，当ANC45时，求P点的横坐标；（3）如图2，过点N作NMy轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标7如图1，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为yx4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横
5、坐标分别为x1、x2且满足x1+x23（1）求抛物线的解析式；（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及QOB周长的最小值；（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PFx轴于F，交抛物线于G，且PFPG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）8如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A ，与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B， 二次函数 y=ax2+b
6、x+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 （1）求二次函数的表达式；（2）点 M 为一次函数下方抛物线上的点， ABM 的面积最大时，求点 M 的坐标； （3）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数的图象的另一交点为 D ，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且 PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标 9在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 的横坐标分别为 a 、 a+2 ，二次函数 y=-x2+(m-2)x+2m 的图像经过点 A 、 B ，且 m 满足 2a-m=d ( d 为常数).（1）若一次函数 y1=kx+b 的图像经过 A 、 B 两点.当 a=1
7、 、 d=-1 时，求 k 的值；若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围.（2）当 d=-4 且 a-2 、 a-4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（3）点 A 、 B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A 、 B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C 、 D ，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由.10已知，如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0
8、t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）求出S与t的函数关系式11在平面直角坐标系中，抛物线 y=-12x2+mx+m （m为常数）（1）当点 (m，-12) 在该抛物线上时，求m的值 （2）将抛物线在 x2m 的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G，当 -2x-1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围 （3）当该抛物线在 x2m 的部分图象的最高点到 y=-12 的距离为1时，求m的值 （4）当 m0 时，过点 A(1，-12) 作垂直于
9、x轴的直线交该抛物线于点B，在AB延长上取一点C，使 BC=13AB ，将线段AB绕点A顺时针旋转 90 得到线段AE，以AC、AE为邻边作矩形ACDE，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差 12如图，抛物线y12x22x6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点P作直线PDx轴交抛物线于点D，交直线BC于点E（1）求A、B两点的坐标，及直线BC的表达式；（2）若DE2PE时，求线段DE的长；（3）在（2）的条件下，若点Q是直线PD上的一个动点，点M是抛物线上的一个动点，是否
10、存在以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由13如图（1），已知抛物线y=ax2+bx3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D（1）求该抛物线的解析式（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？（3）如图（3），将ODB沿直线y=x+1平移得到ODB，设OB与抛物线交于点E，连接ED，若ED恰好将ODB的面积分为1：2两部分，请直
11、接写出此时平移的距离14如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tanCAB=3；双曲线y=kx(k0)经过抛物线y=ax2+bx+3的顶点D，点D的横坐标为1（1）求抛物线和双曲线的解析式（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标15已知：抛物线y2ax2ax3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标； （2）如图，当ACB
12、C时，求a的值和AB的长； （3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PHx轴于点H，交BC于点D，作PEAC交BC于点E，设ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标 16如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A(-2，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连
13、接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若CM+BH=MO，CPM=BAP，CM=EW，求点Q的坐标答案1（1）解： y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1)，m0，当y=0时， x1=-1，x2=3，A(1，0)，B(3，0)（2）解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-32， 解得 a=12b=-1c=-32，故 C1：y=12x2-x-32.如图：过点P作PQy轴，交BC于Q，由B. C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x-32，设 P(x，12x2-x-32)， 则 Q(x，12x-32)，PQ=12x-
14、32-(12x2-x-32)=-12x2+32x，SPBC=SPCQ+SPBQ=12PQOB=12(-12x2+32x)3=-34(x-32)2+2716，当 x=32 时， SPBC 有最大值， Smax=2716，12(32)2-32-32=-158，P(32，-158)；（3）解： y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m，顶点M坐标(1，4m)，当x=0时，y=3m，D(0，3m)，B(3，0)，DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1，MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4，BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9，当BDM为Rt时有： DM2+B
15、D2=MB2 或 DM2+MB2=BD2.DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=1(m0时，A（-1，0），D（1，0），MQ=AD=2，AQ=ND=k+3，OQ=k+4，点M的坐标为（-k-4，2），k(-k-4)+3=2，即k2+4k-1=0，解得k=5-2或k=-5-2（舍去），直线PC的解析式为y=(5-2)x+3，联立y=(5-2)x+3y=-x2+2x+3得x2+(5-4)x=0，解得x=4-5或x=0（舍去），点P的横坐标为4-5；同理当k+30时，可以求得点P的横坐标为 4+5，综上所述，点P的横坐标为4+5或4-5；（3）解：（1，32）
16、7（1）解：由直线BC：y=x-4，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），MN是线段OC的垂直平分线，MN/x 轴，M、N关于抛物线对称轴对称，抛物线对称轴为直线x=x1+x22=32，抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4)，将C(0，-4)代入，得：-4a=-4，解得：a=1，y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4， 故该抛物线解析式为y=x2-3x-4（2）解：如图，连接CQ，MN是线段OC的垂直平分线，CQ=OQ，当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，当x-4=-2时，解得：x=-2，Q(-2，
17、-2)，OB=OC=4，BC=OB2+OC2=42，QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=42+4；（3）解：设P(m，m-4)，且0m4，则F(m，0)，G(m，m2-3m-4)，PF=PG，-(m-4)=(m-4)-(m2-3m-4)，解得：m1=1，m2=4（舍），F(1，0)，P(1，-3)，FP=3如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧， 延长HQ交x轴于点N，FP=FQ=3，QH/FP，QF/HP，QNF=90，NFQ=ABC=45，NQ=NF=22FQ=322，ON=NF-OF=322-1=32-22，Q点在第三象限，Q1(2-322，-322 )；Q2(2+322，32
18、2)，Q3 (4，-3)，Q4(-12，-32)8（1）解： y=0.5x+2 交x轴于点 A ， 0=0.5x+2 ，x=-4 ，A(-4，0) ，直线 y=0.5x+2 与 y 轴交于点 B ，B 点坐标为 (0，2) ， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ， 可设二次函数 y=a(x-2)2 ，把 B(0，2) 代入得， a=0.5 ， 二次函数的表达式： y=0.5x2-2x+2 ；（2）解：作 MHAD 于 H，MG/y 轴交 AD 于点 G ， 则MGH=OBA，MHG=AOB=90，AOBMHG ，MHOA=MGAB ，设 M(t
19、，0.5t2-2t+2) ，则G（t， 0.5t+2 ），MG=(0.5t+2)-(0.5t2-2t+2)=-12t2+52t ，又AB= 42+22=25 ，OA=4，MH=425(-12t2+52t) ，SABM=12ABMH=1225425(-12t2+52t)=-t2+5t ，当 t=52 时， SABM 最大，此时， y=12254-252+2=18 ，M(52，18) ；（3）解：（）当点B为直角顶点时，过 B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1 点，则 RtAOBRtBOP1 ，如图1， AOBO=BOP1O ，42=2OP1 ，得 OP1=1 ，P1(1，0) ；（）当点D为直
20、角顶点时，作 P2DBD ，如图2，将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2-2x+2 联立，可得 D 点坐标为 (5，4.5) ，AD=(5+4)2+(4.5-0)2=952 ，DAP2=BAO，BOA=ADP2 ，ABOAP2D ，ABAP2=AOAD ，即 25AP2=4952 ，解得： AP2=11.25 ，则 OP2=11.25-4=7.25 ，故 P2 点坐标为 (7.25，0) ；（）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DEx 轴于点 E ，如图3，设 P3(a，0) ，则由 RtOBP3RtEP3D ，得 OP3DE=OBP3E ，a4.5=25-a ， 方程无解， 点 P3
21、不存在， 点 P 的坐标为 P1(1，0) 和 P2(7.25，0) 9（1）解：a=1，d=-1，2a-m=d ，m=2a-d=3 ，二次函数的表达式为 y=-x2+x+6 A 、 B 两点的横坐标分别为 a，a+2 ，当 a=1 时， A 、 B 两点的横坐标分别为 1，3 ，代入二次函数的表达式，得 A 、 B 两点的纵坐标分别为 6，0 ，即 A（1，6），B（3，0） 将点 A 、 B 的坐标分别代入 y1=kx+b ，得： k+b=63k+b=0 ，解得： k=-3b=9 ，k 的值为 -3 2a-m=d ，m=2a-d ，二次函数的表达式为 y=-x2+（2a-d-2）x+2（2
22、a-d） A 、 B 两点在二次函数的图象上，点 A 的坐标为 （a，a2-ad+2a-2d） ，点 B 的坐标为 （a+2，a2+2a-4d-8-ad） 在 y1=kx+b 中， y1 随 x 的增大而减小， aa2+2a-4d-8-ad ，解得： d-4（2）解： AB/x 轴理由如下：当 d=-4 时， A（a，a2+6a+8），B（a+2，a2+6a+8） a-2 、 a-4 ，A 、 B 两点的纵坐标相等且不为0横坐标不等，AB/x 轴（3）解：当点 A 运动到 y 轴上时， a=0 ，点 A 的对应点 C 的坐标为 （0，-2d） ，当点 B 运动到 y 轴上时， a=-2 ，点
23、B 的对应点 D 的坐标为 （0，-2d-8） ，|CD|=|-2d-（-2d-8）|=8 ，CD 的长不变10（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），把点A（1，1），B（3，1）代入得，a+b=-19a+3b=-1 ，解得： a=13b=-43 ，故抛物线解析式为y= 13 x2 43 x（2）解：点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，OP=2t，点P的坐标为（2t，0），A（1，1），AOC=45，点Q到x轴、y轴的距离都是 12 OP= 12 2t=t，点Q的坐标为（t，t）（3）解：如图，点Q与点A重合时，OP=12=2，t=22=1，点P与点C重合时，OP=3，t=32
24、=1.5，t=2时，OP=22=4，PC=43=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：0t1时，重叠部分的面积等于POQ的面积，S= 12 （2t） 2t2 =t2，1t1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，S=SOPQSAEQ= 12 （2t） 2t2 12 （ 2 t 2 ）2=2t1；1.5t2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积S=S梯形OABCSBGF= 12 （2+3）1 12 1（2t3）2=2（t2）2+ 52 ；所以，S与t的关系式为S= t2(0t1)2t-1(1t1.5)-2(t-2)2+52(1.5t2) 11（1）解：
25、将点(m， 12 )代入 y=-12x2+mx+m 得 -12=-12m2+m2+m 解得m1=m2=-1，m=-1； （2）解：抛物线的对称轴为直线x=m， 直线x=m关于y轴的对称的直线为x=-m，当 -2x-1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，-m-2 ， 解得1m0时，对称轴为 x=m ，抛物线在x2m的部分的最高点坐标为 (m，12m2+m) |12m2+m-(-12)|=1 解得 m=2-1 或 m=-2-1 (舍去)，综上所述，当m的值为 -32 或 2-1 时，抛物线在x2m的部分图象的最高点到 y=-12 的距离为1；（4）解：AB x 轴， xB
26、=1 代入 y=-12x2+mx+m=2m-12 ，AB=2m，BC= 13 AB= 23 m，C(1， 83m-12 )， yE=-12 ， xE=1+AB=1+2m ，E( 1+2m ， -12 )， 当抛物线的顶点在矩形的边AC上时，x=m=1 ，最大值为 y=-12+1+1=32 ，y=-12x2+x+1 ，E( 3 ， -12 )，即最小值为 -12 ，最大值与最小值的差为 32-(-12)=2 当抛物线的顶点在矩形的边CD上时，顶点坐标为( m ， 12m2+m )，依题意得： 83m-12=12m2+m ，整理得 3m2-10m+3=0 ，解得 m=13 或 m=3 ，当 m=1
27、3 时，顶点坐标为( 13 ， 718 )，131 ，则抛物线的顶点不在矩形的边CD上，不符合题意，舍去；当 m=3 时，顶点坐标为(3， 152 )，即最大值为 152 ，E(7， -12 )，即最小值为 -12 ，最大值与最小值的差为 152-(-12)=8 ；当抛物线的顶点在矩形的边DE上时， 则 m=1+2m ，解得 m=-1 ，不符合题意，综上，最大值与最小值的差为2或812（1）解：令y0，则 12x22x60， x12，x26A（2，0），B（6，0）令x0，则y6，C（0，6）设直线BC的表达式为ykxb将B（6，0），C（0，6）代入，得6k+b=0b=-6解得 k=1b=-
28、6直线BC的表达式为yx6；（2）解：设P（m，0），则E（m，m6），D（m， 12m22m6） DEm6（ 12m22m6） 12m23mPE0（m6）m6当DE2PE时， 12m23m2（m6），解得m14，m26（舍去）P（4，0）DE= 1242+34=4；（3）解：存在，点Q的坐标为：Q1（4，2），Q2（4，18），Q3（4，6）13（1）解：把y=0代入直线的解析式得：x+1=0，解得x=1，A（1，0）抛物线的对称轴为x=1，B的坐标为（3，0）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，C（0，3）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），将C（0，3）代入得：3a=3，解得a
29、=1，抛物线的解析式为y=x22x3（2）解：如图1所示：连结OP将x=0代入直线AD的解析式得：y=1，OD=1由题意可知P（t，t22t3）四边形DCPB的面积=ODB的面积+OBP的面积+OCP的面积，S= 12 31+ 12 3（t2+2t+3）+ 12 3t，整理得：S= 32 t2+ 92 t+6配方得：S= 32 （t 32 ）2+ 758 当t= 32 时，S取得最大值，最大值为 758 （3）解：如图2所示：设点D的坐标为（a，a+1），O（a，a）当DOE的面积：DEB的面积=1：2时，则OE：EB=1：2OB=0B=3，OE=1E（a+1，a）将点E的坐标代入抛物线的解析
30、式得：（a+1）22（a+1）3=a，整理得：a2a4=0，解得：a= 1+172 或a= 1-172 O的坐标为（ 1+172 ， 1+172 ）或（ 1-172 ， 1-172 ）OO= 2+342 或OO= 34-22 DOB平移的距离为 2+342 或 34-22 当DOE的面积：DEB的面积=2：1时，则OE：EB=2：1OB=0B=3，OE=2E（a+2，a）将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+2）22（a+2）3=a，整理得：a2a4=0，解得：a= -1+132 或a= -1-132 O的坐标为（ -1+132 ， -1+132 ）或（ -1-132 ， -1-132 ）O
31、O= -2+262 或OO= 2+262 DOB平移的距离为 -2+262 或 2+262 综上所述，当DOB沿DA方向平移 2+342 或 2+262 单位长度，或沿AD方向平移 34-22 或 -2+262 个单位长度时，ED恰好将ODB的面积分为1：2两部分14（1）解：令x=0得：y=3，点C的坐标为(0，3)，OC=3tanCAB=3，OCOA=3，即3OA=3，OA=1点A的坐标为(-1，0)抛物线的对称轴为x=1，点B的坐标为(3，0)将A(-1，0)，B(3，0)代入得：a-b+3=09a+3b+3=0，解得：a=-1，b=2，抛物线的解析y=-x2+2x+3将x=1代入得：y
32、=-1+2+3=4点D的坐标为(1，4)将(1，4)代入反比例函数的解析式得：4=k1，解得：k=4反比例函数的解析式为y=4x（2）解：如图1所示：连接BC，过点P作PEAB，交BC于点EAB=4，OC=3，SABC=12ABOC=1243=6设直线BC的解析式为y=kx+b，将(3，0)、(0，3)代入得：3k+b=0，b=3，解得b=3，k=-1，直线BC的解析式为y=-x+3设点P的坐标为(x，-x2+2x+3)，则E点的坐标(x，-x+3)PE=-x2+3x，SPBC=12PEOB=123(-x2+3x)=32x2+92xS四边形ABPC=-32x2+92x+6=-32(x-32)2
33、+758，将x=32代入抛物线的解析式得：y=154，P点坐标(32，154)，S四边形ABPC最大值=758（3）解：如图2所示：连接BC，过点O作OEBC，垂足为EQB=QC，点Q在BC的垂直平分线上OEBC，OB=OC，EC=BE，OE是BC的垂直平分线，点Q在OE上，OE垂直平分BC，直线OE的解析式为y=x将y=x与y=4x联立得y=xy=4x，解得x=2y=2或x=-2y=-2点Q的坐标为(2，2)或(-2，-2)，将y=x与y=-x2+2x+3联立得y=xy=-x2+2x+3，解得：x=1+132y=1+132或x=1-132y=1-132，点Q的坐标为(1+132，1+132)或(1-132，1-132)综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(-2，-2)或(1+132，1+132)或(1-132，1-132)15（1）解：y2ax2ax3（a+1）a（2x2
