1、上海市2023届高三下学期3月月考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1已知集合，则_2已知i为虚数单位，则复数的虚部为_3已知幂函数的图像过点，则的值为_4已知，则_5已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_.6已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为_7若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是_8在平行六面体中，则异面直线与所成角的余弦值是_9下列说法中正确的是_设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；，10已知
2、抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是_11已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为_12已知对任意的，均有，则的最小值为_二、单选题13设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则14已知函数的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（）ABCD15已知正实数a，b满足，则的最小值为（）AB3CD16已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（）A1B2C3D无数个三、解答题17
3、已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.(1)求证：直线平面；(2)求点到平面的距离.18某学校为丰富学生的课外活动，计划在校园内增加宣外活动区域（如所示）已知教学楼用直线表示，且，ED是过道，A是之间的一定点路口，并且点A到的距离分别为2，6，B是直线上的动点，连接AB，过点A作且使得AC交直线于C，点B，C均在DE的右侧，设(1)写出活动区域的面积S关于角的函数表达式，并写出定义域；(2)求的最小值19携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其携号的各种服务2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动某运营商为提质量
4、保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人(1)完成列联表：对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；(3)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；附：0.010.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.78910.82820椭圆的焦点是一个等轴双曲
5、线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为(1)求椭圆与双曲线的标准方程；(2)点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；(3)过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由21若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”(1)若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；(2)若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；(3)，求证：
6、“”是“双切函数”的充要条件是“”试卷第3页，共4页参考答案：1【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，.故.故答案为：2【分析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】 故答案为：3【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.【详解】设幂函数为，由题意，解得，所以幂函数解析式为，所以.故答案为：4【分析】计算得到，利用换底公式计算得到答案.【详解】，故，.故答案为：5【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于的不等式，求解不等式，即可得到答案【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；若，直线方程可化为，此时若直线不经过第
7、二象限，则且，解得.综上满足条件的实数的范围是.故答案为：【点睛】本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为.6#【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值.【详解】因为，所以，则，由处的切线方程为，得切线的斜率为，所以，得，所以，当时，所以切点为，将代入切线方程得：，解得，所以.故答案为：7【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.【
8、详解】 ， ，即， ，即，设，则在上有实数根， ，在的图像有交点，如图由于由图象可知， ，即 故答案为：8【解析】利用、表示向量、，利用空间向量数量积计算出，即可得解.【详解】如下图所示：，所以，因此，异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值，方法如下：一是几何法：作证算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为.9【分析】根据二项分布的概率公式判断，根据正态分布的性质判断，根据条件概率判断，根据期望与方差的性质判断；【详解】解：对于：随机变量服从二项分布，则，故
9、正确；对于：随机变量服从正态分布且，则，故正确；对于：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则，所以，故正确；对于：，故错误故答案为：10#【分析】计算出，联立直线和抛物线得到与，结合求出，进而求出的面积.【详解】由题意可得，则，解得：，故直线的方程为联立整理设，则，因为，所以，所以，则，解得:，从而，故的面积是故答案为：11【分析】由题意可得，取倒化简可得，再利用裂项相消法即可得解.【详解】因为，可得，则有，所以，所以，则，因为正整数k使得对任意的正整数成立，所以，所以整数k的最小值为.故答案为：.12【分析】由题意，的图像始终在的上方或部分重合，结合图像可知，进而
10、得解【详解】,如图，作出的图像，因为，所以的图像始终在的上方或部分重合，所以时，若，则存在,根据图象，不满足题意，因此从而，当且仅当时取等号.故答案为：13B【详解】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系14B【分析】本题首先根据诱导公式和二倍角的正弦公式，化简得出，再根据平移的左正右负的原则得到的解析式，最后得到的单调增区间.【详解】函数的图像关于点对称，将函数向左平移单位的解析式是，令,，结合所给的选项，令，则的一个增区间为，故选：B.15C【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒
11、成立，进而求的范围，即可得结果.【详解】由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立，综上，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C16A【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则，解得或，解得或，得到，再计算最值得到答案.【详解】，当和时，函数单调递增；当时，函数单调递减.为函数的极小值，为函数的极大值，画出函数图像，如图所示：的值域为的子集，则，解得或；，解得或，故且，当，故；当，故，此时，不成立；当，不成立；综上所述：，故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的
12、最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用，得到，可以缩小范围，简化运算，是解题的关键.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，所以，在中，为的中点，为的中点，所以；又因为面，面，所以平面.（2）解：因为平面，为正方形，平面，所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量为，所以，即，令，则，即，设点P到平面MAC的距离为d，所以，所以，点到平面的
13、距离为.18(1)(2)【分析】（1）在中，求得，在中，求得，根据三角形的面积公式即可求解.（2）令，利用降次化一得到，根据正弦函数的性质可求得的取值范围，最终求得的范围，从而可解.【详解】（1）依题意得：点A到的距离分别为2，6即在中，即，在中，即，即.（2）由（1）知，设，当，即时，函数的最小值.19(1)表格见解析(2)有(3)分布列见解析，【分析】（1）分别求出对业务水平满意和对服务水平满意的人数，从而可得出列联表.（2）先求出计算得，对照附表参照值可得出答案.（3）由题意X的可能值为0，1，2，分别求出其概率，从而得出概率分布列，然后由公式可得出其数学期望.【详解】（1）有题意可得对
14、业务水平满意的有人，对服务水平满意的有人，得列联表对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300（2）计算得，所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关（3）X的可能值为0，1，2，所以X的分布列如下X012P则X的期望20(1)；(2)1；(3)是 ，【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得代入方程即可求解；（2）设点，利用斜率方程求得k1,k2,结合双曲线方程，即可求得k1k2；（3）法一：分两种情况讨论，当直线l的斜率为0，则，当直线l的斜率不为0，设直线方程并与椭圆方程联立
15、，结合韦达定理，然后根据，联立方程即可出.法二：直接设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，根据向量关系求出的表达式，设，整理得，再整体代入即可.【详解】（1）设椭圆的右焦点为（c,0）（c0），则,由题知，双曲线：,所以，即，因为的周长为，即，联立得，所以椭圆的方程为，双曲线的标准方程为（2）设双曲线上的点，则又（3）是；由题知直线l的斜率存在，法一：当直线l的斜率为0时，当直线l的斜率不为0时，设其方程为，解得，其中，且，由，所以点R在一条定直线上法二：依题可知:直线的斜率存在,设其方程为，所以,消元整理得,所以，由得,，所以，设，由得,所以，所以在定直线上.【点睛】方法点睛：本题采取设线法，
16、然后联立椭圆方程得到韦达定理式，通过向量运算得到其横坐标表达式，再通过向量关系代换整理成韦达定理比值式，再将得到的韦达定理式整体代入运算即可得到该定直线方程21(1)不是(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”；（2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”；（3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立.【详解】（1）根据“双切函数”的定义可知，若
17、是“双切函数”，则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，；易知为单调递增函数，所以不存在两个不相等的实数，使得；即不是“双切函数”.（2）由可得；显然为偶函数，且在上为单调递增；所以必存在两个不相等的实数，使得，且；不妨设两切点分别为，易知函数为奇函数，又；所以两切点关于原点对称；即此时切线斜率，即，解得或；即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”，此时，两点确定的直线方程即为“双切线”，由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”.故其“双切线”为.（3）充分性：若是“双切函数”，则需存在两个不相等的实数，使得；令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点；所以不单调，又，即，可得，即；所以充分性成立；必要性：若可得方程有两个不相等的实数根，所以函数在定义域內不单调，即存在两个不相等的实数满足，也即，即函数上一定存在两点是“双切点”，即是“双切函数”，所以必要性成立.因此，“”是“双切函数”的充要条件是“”答案第17页，共17页
