1、17.3(1)在一维无限深势阱在一维无限深势阱 中有两中有两 个自旋个自旋 的全同粒子，粒子间不存在相互的全同粒子，粒子间不存在相互 作用，写出体系最低两个能级，指出简并度，作用，写出体系最低两个能级，指出简并度，并写出相应的波函数；并写出相应的波函数；(2)同同(1)，但粒子具有自旋，但粒子具有自旋 ；(3)同同(2)，但粒子间存在同自旋有关的相互作用，但粒子间存在同自旋有关的相互作用 势势 。这类题要注意：这类题要注意：（1 1）是否全同粒子体系？）是否全同粒子体系？（2 2）何种全同粒子体系、）何种全同粒子体系、（3 3）波函数分成几部分？对称性如何？）波函数分成几部分？对称性如何？（4
2、 4）能量分成几部分？各为多少？）能量分成几部分？各为多少？（5 5）何时自旋对能量有贡献？贡献多少？）何时自旋对能量有贡献？贡献多少？2解：解：先写出单粒子态能量与波函数先写出单粒子态能量与波函数（1）当当s=0时，玻色子，全波函数交换对称时，玻色子，全波函数交换对称.故只需看位置空间的波函数对称性即可。故只需看位置空间的波函数对称性即可。此时要求位置空间波函数是交换对称的。此时要求位置空间波函数是交换对称的。由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考虑最低的能量，无非两种情况虑最低的能量，无非两种情况1）两个粒子都在）两个粒子都在n=1态态2）一个粒子
3、在）一个粒子在n=1态，一个粒子在态，一个粒子在n=2态态31）两个粒子都在）两个粒子都在n=1态时态时对应的对称波函数为对应的对称波函数为能级简并度能级简并度2）一个粒子在）一个粒子在n=1态，一个粒子在态，一个粒子在n=2态时态时对应的对称波函数为对应的对称波函数为能级简并度为能级简并度为4（2）当当s=1/2时，费米子，全波函数交换反对称时，费米子，全波函数交换反对称由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考虑最低的能量，无非两种情况虑最低的能量，无非两种情况两个粒子都在两个粒子都在n=1态态1）当自旋波函数反对称时，）当自旋波函数反对称时，则要求位
4、置空间波函数是交换对称的。则要求位置空间波函数是交换对称的。能量为：能量为：波函数为：波函数为：这个能级简并度为：这个能级简并度为：5一个粒子在一个粒子在n=1态，一个粒子在态，一个粒子在n=2态态能量为：能量为：波函数为：波函数为：2）当自旋波函数对称时，）当自旋波函数对称时，此时只有一种情况，即俩个粒子分别在此时只有一种情况，即俩个粒子分别在n=1,n=2态，波函数为态，波函数为则要求位置空间波函数是交换反对称的。则要求位置空间波函数是交换反对称的。这个能级不这个能级不止止有此一个状态，下述有此一个状态，下述也也是。是。6故此能级的简并度（故此能级的简并度（加加上前上前面面一个）是：一个）
5、是：由于自旋对能量没有贡献，能级仍是：由于自旋对能量没有贡献，能级仍是：（3）当当s=1/2时，费米子，全波函数交换反对称时，费米子，全波函数交换反对称.但两个粒子有相互作用但两个粒子有相互作用对能量的贡献是：对能量的贡献是：7两个粒子都在两个粒子都在n=1态，则波函数为态，则波函数为1)1)对两个对两个s=1/2的全同费米子，当自旋波函数的全同费米子，当自旋波函数取反对称态取反对称态 时，时，,位置空间部分取对位置空间部分取对称态，此时有两种情况称态，此时有两种情况对应的能量为对应的能量为两个粒子分别在两个粒子分别在n=1和和n=2态，则波函数为态，则波函数为简并度为简并度为82)2)对两个
6、对两个s=1/2的全同费米子，当自旋波函数的全同费米子，当自旋波函数取对称态取对称态 时，时，,位置空位置空间部分取反对称态，此时只有间部分取反对称态，此时只有反对称态为反对称态为此时能量为此时能量为对应的能量为对应的能量为简并度为简并度为9但显然但显然故故 是另一较低能级，非简并。是另一较低能级，非简并。简并度为简并度为总之，当两个粒子有相互作用时，两个最低总之，当两个粒子有相互作用时，两个最低能级都是非简并的，所对应的自旋态是能级都是非简并的，所对应的自旋态是107.4 设绝对零度时，在三维各向同性谐振子势设绝对零度时，在三维各向同性谐振子势 中有中有20个自旋为个自旋为 的质量为的质量为
7、 的全同粒子的全同粒子 组成的体系。忽略粒子之间的相互作用，已知组成的体系。忽略粒子之间的相互作用，已知 这这20个粒子的平均能量为个粒子的平均能量为3 eV。(1)如果同样温度下该势场中有如果同样温度下该势场中有12个这样的粒子个这样的粒子 组成的体系，其平均能量是多少？组成的体系，其平均能量是多少？(2)如果同样温度下该势场中有如果同样温度下该势场中有12个自旋为个自旋为 的质量仍为的质量仍为 的全同粒子组成的体系，其平均的全同粒子组成的体系，其平均 能量是多少？能量是多少？提示提示:(1):(1)按照按照Pauli不相容原理，分能级进行讨论不相容原理，分能级进行讨论,同时考虑简并度；同时
8、考虑简并度；(2)(2)对应玻色子对应玻色子,不受上述原理限制不受上述原理限制,平均能平均能 量按照常规法求。量按照常规法求。11解解:(1)(1)对三维各向同性谐振子，其能级表对三维各向同性谐振子，其能级表达达式为式为对自旋为对自旋为1/21/2的费米子，每一个量子态只的费米子，每一个量子态只能容能容纳纳一个粒子。一个粒子。在绝对零度下，粒子在绝对零度下，粒子尽尽可能占据最低能级可能占据最低能级按照上述原则，看按照上述原则，看2020个粒子平均能量是个粒子平均能量是如何如何获获得的。得的。1 1）基态）基态由自旋由自旋 引起引起二二重简并重简并能量是能量是容纳容纳 2 个粒子。个粒子。122
9、 2）第一激发态）第一激发态由自旋由自旋 引起六重简并引起六重简并能量是能量是容纳容纳 6 个粒子。个粒子。3 3）第）第二二激发态激发态由自旋由自旋 引起十二重简并引起十二重简并能量是能量是容纳容纳 12 个粒子。个粒子。2+6+12=20 个粒子。个粒子。13从从而算得而算得对于对于12个这样的粒子组成的体系，其平均能量为个这样的粒子组成的体系，其平均能量为(2)(2)对于绝对零度下的对于绝对零度下的12个玻色子个玻色子，由于它们不受，由于它们不受不相容原理的限制，可以同时处在基态不相容原理的限制，可以同时处在基态,平均能量平均能量就是基态能量就是基态能量上述上述2020个粒子的平均能量是
10、个粒子的平均能量是147.7 两个两个质量为质量为 的粒子处于边长为的粒子处于边长为 的的 立方体盒中立方体盒中,粒子间的相互作用势粒子间的相互作用势 可视为可视为微扰微扰。在下列条件下，用一级微扰方。在下列条件下，用一级微扰方 法计算体系的法计算体系的最低能量最低能量；(1)粒子非全同；粒子非全同；(2)零自旋的全同粒子；零自旋的全同粒子；(3)自旋为自旋为 的全同粒子，并处于总自旋的全同粒子，并处于总自旋 的态上。的态上。分析：分析：首首先可以发先可以发现现，自旋对能量没有贡献。，自旋对能量没有贡献。但当考虑非零自旋时，自旋对波函数有贡献。但当考虑非零自旋时，自旋对波函数有贡献。15解：解
11、：（1 1）对非全同粒子，）对非全同粒子，不考虑自旋体系，立方不考虑自旋体系，立方 势阱的单粒子能级与波函数可以写为势阱的单粒子能级与波函数可以写为两个粒子都处于基态两个粒子都处于基态 态，其能级和波函数态，其能级和波函数可以表示为可以表示为16此能级是非简并的，一级此能级是非简并的，一级修修正可由非简并微扰论给出正可由非简并微扰论给出故一级故一级近似近似能量为能量为http:/www.integral- 2）对零自旋的全同粒子，）对零自旋的全同粒子，自旋对能级和波函数自旋对能级和波函数都没有贡献。只是都没有贡献。只是要求波函数对交换两个粒子的要求波函数对交换两个粒子的位置满足交换对称性要求。
12、位置满足交换对称性要求。实实际际上，上述零级波函数是满足这个要求的。上，上述零级波函数是满足这个要求的。故故结结论没有变化。论没有变化。（3 3）当体系由两个自旋为）当体系由两个自旋为1/21/2的粒子的粒子组成时，组成时，要求要求波函数满足交换反对称。波函数满足交换反对称。但粒子处在总自旋但粒子处在总自旋s=1s=1的自旋三重态，自旋波函的自旋三重态，自旋波函数是交换对称的，故要求位置空间的波函数是交换数是交换对称的，故要求位置空间的波函数是交换反对称的。反对称的。问题：问题：两个粒子能否处于同一个单粒子态上？两个粒子能否处于同一个单粒子态上？回答回答：显然不行，这样没法显然不行，这样没法构
13、构成反对称位置空间成反对称位置空间 波函数波函数故当体系处于故当体系处于最低能量态最低能量态时时位置空间波函数可写为位置空间波函数可写为18而考虑自旋而考虑自旋后后，体系的，体系的波函数可写为波函数可写为此能级是三重简并的，一此能级是三重简并的，一般般用简并微扰来处理。用简并微扰来处理。但由于微扰算符中的但由于微扰算符中的函数只对空间部分函数只对空间部分起作用，自旋波函数又是相互正交的，故微扰起作用，自旋波函数又是相互正交的，故微扰矩阵的非对角矩阵的非对角元元都是零：都是零：19可以用非简并微扰来处理能量的一级可以用非简并微扰来处理能量的一级修修正正故一级故一级近似近似能量为能量为207.9
14、一体系由两自旋一体系由两自旋 质量为质量为 的粒子组成，两的粒子组成，两 粒子间存在相互作用势粒子间存在相互作用势 ，其中，其中 是正实数，是正实数，是粒子是粒子1与与2的自旋，的自旋，是两是两 个粒子间的距离。个粒子间的距离。（1）在质心系中写出体系的哈密顿量，证明体）在质心系中写出体系的哈密顿量，证明体 系的总自旋系的总自旋 与与 是守恒量是守恒量 （2）令体系的波函数）令体系的波函数 其中其中 是是 与与 的共同本征函数，给出的共同本征函数，给出 满足的方程，并分别在满足的方程，并分别在 与与 的情况下求出的情况下求出 体系的能量体系的能量 21（3）设两粒子是非全同的，求出体系的基态能
15、）设两粒子是非全同的，求出体系的基态能 量，并指出其简并度量，并指出其简并度 （4）设两粒子是全同的，求出体系的基态能设两粒子是全同的，求出体系的基态能 量，并指出其简并度量，并指出其简并度分析：分析：这里涉及自旋角动量耦合问题，试图通过此题把握这里涉及自旋角动量耦合问题，试图通过此题把握全同和非全同粒子、位置空间和自旋空间波函数、全同和非全同粒子、位置空间和自旋空间波函数、对称和反对称波函数的差别以及守恒量和简并度的对称和反对称波函数的差别以及守恒量和简并度的概念。概念。22解：解：由于相互作用势涉及由于相互作用势涉及相对位置相对位置 故故（1）证明算符是守恒量，应先写出证明算符是守恒量，应
16、先写出Hamilton量。量。但但所以所以23由由显然显然故故是守恒量。是守恒量。（2）给出体系的波函数满足的方程。将给出体系的波函数满足的方程。将代入定态方程代入定态方程得得 满足的方程满足的方程24问题：问题：哪里去了？哪里去了？对双自旋对双自旋1/2粒子，粒子，S=0,1当当S=0时，时，方程变为方程变为特点：特点：三维谐振子三维谐振子故定态方程可以写为以下形式故定态方程可以写为以下形式25其中其中定态能量易写为定态能量易写为当当S=1时，时，方程变为方程变为26同样定态能量可写为同样定态能量可写为其中其中（3）假设粒子是非全同的）假设粒子是非全同的，就不用考虑因粒子交换，就不用考虑因粒
17、子交换 所引起的波函数的空间对称性所带来的能量变化所引起的波函数的空间对称性所带来的能量变化基态肯定是基态肯定是N=0的态的态，但因，但因 ，故，故S=1能量能量最低。最低。可见，不管总自旋是多少，定态能量只与可见，不管总自旋是多少，定态能量只与ni有关。有关。27（4）两粒子自旋）两粒子自旋S=1/2的全同粒子的全同粒子，对交换两粒子的全部坐标是反对称的。根据对交换两粒子的全部坐标是反对称的。根据已经知道，已经知道，S=0时，时，是反对称的，所以是反对称的，所以 对交换对交换 是对称的；是对称的；S=1时，时，是对称的，所以是对称的，所以 对交换对交换 是反对称的；是反对称的；S=0的最低能
18、量是的最低能量是(n1n2n3)=(000)态的态的而位置空间部分波函数的对称性决定了谐振而位置空间部分波函数的对称性决定了谐振子最低能级能量量子数取值，即子最低能级能量量子数取值，即28而而S=1的最低能量是的最低能量是 (n1n2n3)=(100)，(010)，(001)三个态所共有的三个态所共有的显然显然 ，故体系的基态能量是，故体系的基态能量是由于对此基态是由于对此基态是（n1n2n3）有三个，而每个）有三个，而每个（n1n2n3）又对应）又对应3个自旋三重态，故基态能量个自旋三重态，故基态能量的简并度为的简并度为297.10 设有两个质量为设有两个质量为 的一维全同粒子，它们之间的一
19、维全同粒子，它们之间 的相互作用为的相互作用为 (1)若粒子自旋为若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的，写出它们的相对运动态的 能量和波函数；能量和波函数；(2)若粒子自旋为若粒子自旋为S=，写出它们的相对运动，写出它们的相对运动 基态及第一激发态的能量和波函数。基态及第一激发态的能量和波函数。分析：无外磁场，无须考虑自旋对能量的贡献！分析：无外磁场，无须考虑自旋对能量的贡献！另外，当自旋为另外，当自旋为0 0时，自旋波数是交换对时，自旋波数是交换对 称的，故要求空间波函数交换对称。称的，故要求空间波函数交换对称。30解：解：（1 1）当粒子的自旋为）当粒子的自旋为0 0时时，只需考虑位置空
20、，只需考虑位置空间的波函数是交换对称的就可以。间的波函数是交换对称的就可以。先求看体系的波函数。先求看体系的波函数。体系的哈密顿量为体系的哈密顿量为作变量代换，将两体问题化为单体问题作变量代换，将两体问题化为单体问题引入质心坐标引入质心坐标 X与相对坐标与相对坐标x：则哈密顿量变为则哈密顿量变为31我我们只关心相对运动，其哈密顿量变为们只关心相对运动，其哈密顿量变为这显然是一维这显然是一维线线性谐振子体系，其相对运动的性谐振子体系，其相对运动的能量及波函数分别为能量及波函数分别为由于位置空间的波函数要求满足交换对称性，即由于位置空间的波函数要求满足交换对称性，即所以量子数所以量子数n只能取只能
21、取偶偶数数n=0,2,4,32（2 2）当粒子的自旋为）当粒子的自旋为1/2时，时，全波函数要求是交全波函数要求是交换反对称的，而位置空间波函数的交换对称性则换反对称的，而位置空间波函数的交换对称性则由一维谐振子波函数的由一维谐振子波函数的奇偶奇偶性反性反映映出来。出来。其相对运动能量与自旋没有关系其相对运动能量与自旋没有关系位置空间的波函数为位置空间的波函数为偶宇偶宇称时，自旋波函数称时，自旋波函数必必须是须是交换反对称波函数；反之交换反对称波函数；反之亦亦然。然。从从而体系波函数为而体系波函数为33其中自旋波函数意其中自旋波函数意义义同前定同前定义义体系的基态能量及波函数为体系的基态能量及
22、波函数为第一激发态能量及波函数为第一激发态能量及波函数为347.11 氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚 一个电子，可将这些电子看成是束缚在一个尺一个电子，可将这些电子看成是束缚在一个尺 度为晶格常数的三维无限深势阱中，晶体处于度为晶格常数的三维无限深势阱中，晶体处于 室温。试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁室温。试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁 波的最长波长。已知波的最长波长。已知晶格常数晶格常数电子质量电子质量分析：（分析：（1 1）束缚电子可以）束缚电子可以认认为是可分为是可分辨辨的。的。（2 2）最长波长对应最）最长波长对应最小频小频率（
23、吸收能量）率（吸收能量）35解：解：电子是可分电子是可分辨辨的，不考虑全同性原理。通过的，不考虑全同性原理。通过 能级表能级表达达式求最式求最小小吸收的能量吸收的能量这是个三维立方势阱问题，其能级表这是个三维立方势阱问题，其能级表达达式为式为最最小小吸收能量是基态吸收能量是基态到到第一激发态的能量只差第一激发态的能量只差能量只差为能量只差为根据根据求电磁波的最长波长。求电磁波的最长波长。36补充题：补充题：1.1.设有两个电子，自旋态分别是设有两个电子，自旋态分别是证明两电子处于自旋单态及自旋三重态的几率分证明两电子处于自旋单态及自旋三重态的几率分别为别为(提示：将两电子自旋态向提示：将两电子
24、自旋态向 的共同本征态的共同本征态 展开展开)37分析分析：关键是给出目前两个电子所处的状态，这是任意态关键是给出目前两个电子所处的状态，这是任意态中的一个。中的一个。证明证明：不妨设目前两个电子所处状态为不妨设目前两个电子所处状态为按照提示，则有按照提示，则有38其中其中由此得出由此得出39所以两电子处于自旋单态的几率为所以两电子处于自旋单态的几率为而根据归一性的要求，两电子处于自旋三重态的几而根据归一性的要求，两电子处于自旋三重态的几率为率为40 2 2、设粒子自旋为设粒子自旋为1 1，荷电，荷电 ，处于沿，处于沿 方向的均匀磁场中，方向的均匀磁场中，体系的哈密顿算符为体系的哈密顿算符为
25、式中式中 的矩阵表示为的矩阵表示为 设在设在 时刻，自旋沿时刻，自旋沿 轴投影为轴投影为 （即处在初态（即处在初态 的本的本 征态）。征态）。（1 1）求任意时刻）求任意时刻 系统的自旋波函数；系统的自旋波函数；（2 2）求）求 随时间的变化。随时间的变化。41则则求出求出 再由归一化条件得再由归一化条件得 解：解：（1 1）设在）设在 表象，表象，粒子初态粒子初态由题设由题设其实这个初态是其实这个初态是可以可以直接直接写出的。写出的。42其中其中 满足满足（2 2）所以所以43由归一化条件得由归一化条件得 解：在解：在 表象表象 令令3 3、在自旋态在自旋态 中测中测 几率为几率为1/31/
26、3，测，测 几率几率 为为1/61/6，求，求 。又又所以所以444 4、对于对于s=s=1/2自旋的粒子，证明对任何自旋态自旋的粒子，证明对任何自旋态 的平的平 均值不能同时为零。均值不能同时为零。而在此态下而在此态下证明：设在证明：设在 表象中表象中显然显然不能同时成立不能同时成立得证。得证。由此得由此得从从而有而有又由归一化条件又由归一化条件45考研试题讲解考研试题讲解一、简答题一、简答题答：表象变换改变算符、波函数表达形式，不改变算符本征值、力学量取值几率及平均值。1.试述表象变换对算符、波函数、算符本征值、力学量取值几率及平均值的影响。答：节点数分别为1，2，1。463.列举物理学上
27、导致量子力学产生的三个实验发现。答：黑体辐射、光电效应、Rutherford 散射、Davisson-Germer电子衍射实验等任先三个。4.用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态能级低于相应的共振能级。476.二维各向同性谐振子与三维各向同性谐振子第N能级的简并度分别是多少，给定角动量l的一般中心力场的能级简并度是多少？48二、证明题二、证明题1.在球极坐标系下写出中心力场的定态薛定谔方程，并证明在中心力场中运动的粒在球极坐标系下写出中心力场的定态薛定谔方程，并证明在中心力场中运动的粒子角动量守恒。子角动量守恒。4950515253三、计算题三、计算题54t时刻体系的状态波函数为：时刻体系的状态波函数为：5556575859有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人、天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。苦心人、天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。预祝同学们考研取得好成绩！
