1、 1 / 22 2020 年高考（北京卷）名师押题猜想试题 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合|03
2、Axx， 1AB =，则集合B可以是（ ） A1，2 B1，3 C0，1，2 D1，2，3 2在复平面内，复数56i，3 2i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数 是（ ） A84i B2 8i C42i D1 4i 3下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为0,的是（ ） A lg1yx B 1 2 yx C2xy D lnyx 4下列选项中，说法正确的是（ ） A“ 2 000 0xRxx，”的否定是“ 2 00 0xRxx，” B若向量ab ，满足0a b ，则a与b的夹角为钝角 C若 22 ambm，则ab D“xABU”是“xAB”的必要条件 5 已知直线 l：
3、 ym （x2） +2 与圆 C： x2+y29 交于 A， B 两点， 则使弦长|AB|为整数的直线 l 共有 （ ） A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 2 / 22 6函数 ( )sinf xx的部分图象如图所示，则 f x的单调递增区间为（ ） A 51 , 44 kkkZ B 51 2,2, 44 kkkZ C 51 , 44 kkkZ D 51 2 ,2, 44 kkkZ 7如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 2 3 B 4 3 C3 D 3 2 8设 f x是定义在R上的奇函数，且 3 2 fxf x ，当10x
4、时， 3 log63f xx则 2020f的值为（ ） A-1 B-2 C1 D2 9已知数列 n a是等比数列，前n项和为 n S，则“ 315 2aaa”是“ 21 0 n S ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 一辆邮车从A地往B地运送邮件， 沿途共有n地， 依次记为 1 A， 2 A， n A（ 1 A为A地， n A为B地） 从 1 A地出发时，装上发往后面1n地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装 3 / 22 上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达 1 A， 2 A， n A各地装卸完毕
5、后剩余的邮件数记为 (1,2, ) k a kn，则 k a的表达式为（ ） A( 1)k nk B(1)k nk C()n nk D()k nk 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 11已知向量1,1 ,3,abm ，若向量2ab与向量b共线，则实数m 12已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点和点2 ,Pa b为某个等腰三角形的三个顶点，则双 曲线 C 的离心率为 13已知, ,a b c分别为ABC内角 , ,A B C的对边， 2 2cab且 1 sinsin 2 AC，则cos A _
6、14已知抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，则F的坐标为_；过点F的直线交抛物线C于,A B两 点，若4AF ，则AOB的面积为_ 15如果方程 2 4 x y|y|1 所对应的曲线与函数 yf（x）的图象完全重合，那么对于函数 yf（x）有如下 结论： 函数 f（x）在 R 上单调递减； yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1； 函数 f（x）的值域为（，2； 函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点 其中正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或者选错得 0 分，其他得 3 分 四、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，AB平面 1111 ,22,3BBC C ABBBBCBC，点 E 为 11 AC的中点 4 / 22 (I)求证： 1 C B 平面 ABC； (II)求二面角A BCE的大小 17 （本小题 14 分） 从前n项和 2 () n Snp pR， 1 3 nn aa ， 6 11a 且 12 2 nnn aaa ， 这三个条件中任选一个， 补充到下面的问题中，并完成解答 在数列 n a中， 1 1a ，_，其中 * nN （）求 n a的通项公式； （）若 1, , nm a a a成等比数列
8、，其中 * ,m nN，且1mn，求m的最小值 5 / 22 18 （本小题 14 分） 由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名成员每天行走的步数，其 中某一天的数据记录如下： 5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850 对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 步数分组统计表（设步数为x） 组别 步数分组 频数 A 55006500x 2 B 6500
9、7500x 10 C 75008500x m D 85009500x 2 E 950010500x n （）写出 ,m n的值，并回答这 20 名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别； （）记C组步数数据的平均数与方差分别为 1 v， 2 1 s，E组步数数据的平均数与方差分别为 2 v， 2 2 S，试 分别比较 1 v与以 2 v， 2 1 s与 2 2 s的大小；(只需写出结论) （）从上述,A E两个组别的数据中任取 2 个数据，记这 2 个数据步数差的绝对值为，求的分布列和 数学期望 6 / 22 19 （本小题 15 分） 设函数 cos x f xaex，其中aR
10、 （）已知函数 f x为偶函数，求a的值； （）若1a ，证明：当0x时， 2f x ； （）若 f x在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围 20 （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设,A B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足为E，连接BE并 延长交椭圆于点D，证明：ABD是直角三角形 7 / 22 21 （本小题 14 分） 已知集合 12 |,0,1 ,1,2, nn SX Xx xxin(2)n ，对于 12 , nn Aa aaS， 12 , nn Bb
11、 bbS，定义 A 与 B 的差为 1122 , nn ABababab；A 与 B 之间的距离为 1122 ( , ) nn d A Bababab （I）若(0,1)AB，试写出所有可能的 A，B； （II）, , n A B CS，证明： （i）(,)( ,)d AC BCd A B； （ii）( , ),d A B( ,),d A C( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数； （III）设 n PS，P中有 m（2m，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 p d，证 明： (1) 2 p n m d m 8 / 22 2020 年高考（北京卷）名师押题猜想试题 数
12、学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合|03Axx， 1AB =，则集合B可以是（ ） A1，2 B1，3
13、C0，1，2 D1，2，3 【答案】B 【解析】 1AB =，则集合B中一定有元素1，又|03Axx，B集合中一定没有元素2，B 可以是 1 3，故选 B 2在复平面内，复数56i，3 2i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数 是（ ） A84i B2 8i C42i D1 4i 【答案】C 【解析】复数56i，3 2i对应的点分别为A，B，在复平面内点A的坐标为5,6A，点B的坐标 为3, 2B，又C为线段AB的中点，点C的坐标为 53 62 ,(4,2) 22 ，点C对应的复数是 42i，故选 C 3下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为0,的是（ ） 9 / 22
14、 A lg1yx B 1 2 yx C2xy D lnyx 【答案】B 【解析】对于A， lg1yx 图象如下图所示： 则函数 lg1yx 在定义域上不单调，A错误；对于B， 1 2 yxx 的图象如下图所示： 则yx在定义域上单调递增，且值域为0,，B正确；对于C，2xy 的图象如下图所示： 则函数2xy 单调递增，但值域为0,，C错误；对于D，lnyx的图象如下图所示： 则函数lnyx在定义域上不单调，D错误故选B 4下列选项中，说法正确的是（ ） A“ 2 000 0xRxx，”的否定是“ 2 00 0xRxx，” B若向量ab ，满足0a b ，则a与b的夹角为钝角 10 / 22 C
15、若 22 ambm，则ab D“xABU”是“xAB”的必要条件 【答案】D 【解析】选项 A 根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，因此 A 不正确；选 项 B若向量ab ，满足0a b ， 则a与b的夹角为钝角或平角， 因此不正确； 选项C 当m=0时， 满足am2bm2， 但是 ab 不一定成立，因此不正确；选项 D 若“xAB”，则xA且xB，一定可以推出 “xABU”，因此“xABU”是“xAB”的必要条件，故正确，故选 D 5 已知直线 l： ym （x2） +2 与圆 C： x2+y29 交于 A， B 两点， 则使弦长|AB|为整数的直线
16、l 共有 （ ） A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 【答案】C 【解析】根据题意，直线恒过点 M（2，2） ，圆 C：x2+y29 的圆心 C 为（0，0） ，半径 r3，则 CM2 2 当直线与 CM 垂直时，M 为|AB|中点，此时|AB|2 982，符合题意，此时直线有一条，当直线过圆心 C 时，|AB|2r6，满足题意，此时直线有一条，则当|AB|3，4，5 时，各对应两条直线，综上，共 8 条 直线，故选 C 6函数 ( )sinf xx的部分图象如图所示，则 f x的单调递增区间为（ ） A 51 , 44 kkkZ B 51 2,2, 44 kkkZ C 51 , 44 k
17、kkZ D 51 2 ,2, 44 kkkZ 【答案】D 【解析】由图象知 51 =1 244 T ，2T ， 2 2 ，又图象过点 3 ( , 1) 4 ， 3 1sin() 4 ， 11 / 22 故可取 3 4 ， 3 ( )sin() 4 f xx ，令 3 22, 242 kxkkZ ，解得 51 22, 44 kxkkZ，函数的单调递增区间为 51 2 ,2, 44 kkkZ ，故选D 7如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 2 3 B 4 3 C3 D 3 2 【答案】D 【解析】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥
18、PABC，如图 可知3,1,ABBCABBC，点P到平面ABC的距离为3h， 113 3 1 222 ABC SAB BC， 11 33 3 33 22 P ABCABC VSh，故选 D 8设 f x是定义在R上的奇函数，且 3 2 fxf x ，当10x 时， 3 log63f xx则 2020f的值为（ ） A-1 B-2 C1 D2 12 / 22 【答案】B 【解析】 f x是奇函数， f x关于0,0对称，又 3 2 fxf x ， f x关于 3 4 x 对称， 函数 f x的一个周期为 3 403 4 ， 20201 3 67311ffff 3 log 92 ， 故选 B 9已
19、知数列 n a是等比数列，前n项和为 n S，则“ 315 2aaa”是“ 21 0 n S ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】数列 n a是等比数列，前n项和为 n S 若 315 2aaa，由等比数列的通项公式可得 111 24 2aaqa q，化简后可得 2 1 2 10qa 2 2 10q ，不等式的解集为 1 0a ； 若 21 0 n S ，当公比1q 时， 21 0 n S 则 1 0a ，可得 315 2aaa； 当公比1q 时，由 21 0 n S 则 1 0a ，可得 315 2aaa 综上可知，“ 31
20、5 2aaa”是“ 21 0 n S ”的充分不必要条件，故选 B 10 一辆邮车从A地往B地运送邮件， 沿途共有n地， 依次记为 1 A， 2 A， n A（ 1 A为A地， n A为B地） 从 1 A地出发时，装上发往后面1n地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装 上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达 1 A， 2 A， n A各地装卸完毕后剩余的邮件数记为 (1,2, ) k a kn，则 k a的表达式为（ ） A( 1)k nk B(1)k nk C()n nk D()k nk 【答案】D 【解析】根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了 (2
21、1) (1)(2)() 2 nkk nnnk 件邮件，需 要卸下 (1) 123(1) 2 kk k 件邮件，则 (21)(1) () 22 k nkkkk ak nk ，故选 D 13 / 22 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 11已知向量1,1 ,3,abm ，若向量2ab与向量b共线，则实数m 【答案】3 【解析】1,1 ,3,abm ，故可得25,2abm，又向量2a b 与向量b共线，故可得 532mm ，解得3m 12已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点和点2 ,Pa b为某个等
22、腰三角形的三个顶点，则双 曲线 C 的离心率为 【答案】 102 2 【解析】由题设双曲线的左、右焦点分别为 1 ,0Fc， 2 ,0F c， 左、右焦点和点2 ,Pa b为某个等腰三角形的三个顶点， 当 122 FFPF时， 2 2 22cacb ，由 222 bca可得 22 2430caca，等式两边同除 2 a可得 2 2430ee，解得 102 1 2 e （舍） ； 当 121 FFPF时， 2 2 22cacb ，由 222 bca可得 22 2430caca，等式两边同除 2 a可得 2 2430ee，解得 102 2 e ，故答案为： 102 2 13已知, ,a b c分别
23、为ABC内角 , ,A B C的对边， 2 2cab且 1 sinsin 2 AC，则cos A _ 【答案】 7 8 【解析】 由正弦得sin,sin 22 ac AC RR ， 故 1 222 ac RR （R为外接圆的半径） ， 故2ca， 又 2 2ca b， 故2ba，由余弦定理可得 2222 2 77 cos 288 bcaa A bca 14已知抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，则F的坐标为_；过点F的直线交抛物线C于,A B两 14 / 22 点，若4AF ，则AOB的面积为_ 【答案】(1 0) , 4 3 3 【解析】由抛物线 2 4Cyx：可得2p ，故焦点坐标1,0 设
24、 00 ,A x y，则 00 14 2 p AFxx ，故 0 3x 根据抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，则 0 2 3y ， 故 2 3 3 3 1 AB k ，故直线:31AB yx 由 2 4 31 yx yx 可得 2 31030xx，故 3 2 3 x y 或 1 3 2 3 3 x y ， 12 34 3 12 3 233 AOB S 15如果方程 2 4 x y|y|1 所对应的曲线与函数 yf（x）的图象完全重合，那么对于函数 yf（x）有如下 结论： 函数 f（x）在 R 上单调递减； yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1； 函数 f（x）的值域为（，2；
25、 函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点 其中正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或者选错得 0 分，其他得 3 分 【答案】 【解析】 当 y0 时， 方程 2 4 x y|y|1 化为 2 2 1 4 x y（y0） ； 当 y0 时， 方程 2 4 x y|y|1 化为 2 2 1 4 x y （y0） 作出函数 f（x）的图象如图： 15 / 22 由图可知，函数 f（x）在 R 上不是单调函数，故错误；yf（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值 为 1，故正确；函数 f（x）的值域为（，1，故错误；双曲线 2 2 1 4 x
26、y的渐近线方程为 y 1 2 ， 故函数 yf（x）与 yx 的图象只有 1 个交点，即函数 F（x）f（x）+x 有且只有一个零点，故正确故 答案为： 四、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，AB平面 1111 ,22,3BBC C ABBBBCBC，点 E 为 11 AC的中点 (I)求证： 1 C B 平面 ABC； (II)求二面角A BCE的大小 【解析】(I)ABQ平面 11 ,BB C C 1 C B 平面 11 CBBC， 1 ABC B， 在 1 CBC中， 111
27、 2,1,3CCBBBCBC， 222 11 BCBCCC， 1 BCC B，ABBCB， 1 C B平面 ABC (II)由(I)知 11 ABC BABCBBCC B，则建立空间直角坐标系Bxyz，则 16 / 22 1 (0,0,0),(, 3,1),(1,0,0) 2 BEC-， 1 (1,0,0),(, 3,1), 2 BCBE= - 设平面BEC的法向量为( , , )nx y z，故 0 0 n BC n BE ， 0 1 30 2 x xyz 令3y ，0,3,3xyz=-， (0, 3, 3)n=-，又平面BAC的法向量为(0,1,0)m ， 1 cos, 2 m n m n
28、 m n = 由题知二面角A BCE为锐二面角，二面角A BCE的大小为 3 17 （本小题 14 分） 从前n项和 2 () n Snp pR， 1 3 nn aa ， 6 11a 且 12 2 nnn aaa ， 这三个条件中任选一个， 补充到下面的问题中，并完成解答 在数列 n a中， 1 1a ，_，其中 * nN （）求 n a的通项公式； （）若 1, , nm a a a成等比数列，其中 * ,m nN，且1mn，求m的最小值 【解析】选择： （）当1n 时，由 11 11aSp ，得0p 当2n时，由题意，得 2 1 n Sn， 1 212 nnn aSSnn 经检验， 1 1
29、a 符合上式，21 n annN ； 17 / 22 （）由 1 a、 n a、 m a成等比数列，得 2 1nm aaa，即 2 21121nm 化简，得 2 2 11 2212 22 mnnn ， m、n是大于1的正整数，且mn，当2n时，m有最小值5 选择： （） 1 3 nn aa ， 1 3 nn aa 数列 n a是公差3d 的等差数列 1 11 3132 n aandnnnN ； （）由 1 a、 n a、 m a成等比数列，得 2 1nm aaa，即 2 32132nm 化简，得 2 2 22 3423 33 mnnn ， m、n是大于1的正整数，且mn，当2n时，m取到最小值
30、6； 选择： （）由 12 2 nnn aaa ，得 121nnnn aaaa ，数列 n a是等差数列， 设等差数列 n a的公差为d，又 1 1a ， 61 511aad， 2d 1 121 n aandnnN ； （） 1 a、 n a、 m a成等比数列， 2 1nm aaa，即 2 21121nm 化简，得 2 2 11 2212 22 mnnn ， m、n是大于1的正整数，且mn，当2n时，m有最小值5 18 （本小题 14 分） 由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名成员每天行走的步数，其 中某一天的数据记录如下： 5860 6520 73
31、26 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850 对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 步数分组统计表（设步数为x） 18 / 22 组别 步数分组 频数 A 55006500x 2 B 65007500x 10 C 75008500x m D 85009500x 2 E 950010500x n （）写出 ,m n的值，并回答这 20 名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别； （）记C组步数数据的平均
32、数与方差分别为 1 v， 2 1 s，E组步数数据的平均数与方差分别为 2 v， 2 2 S，试 分别比较 1 v与以 2 v， 2 1 s与 2 2 s的大小；(只需写出结论) （）从上述,A E两个组别的数据中任取 2 个数据，记这 2 个数据步数差的绝对值为，求的分布列和 数学期望 【解析】 （）利用对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，得到4m，2n，利用中位数定义能求出这 20 名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组 （）由平均数与方差的性质得 12 vv， 22 12 ss （）的可能取值为 0，600，3400，4000，易得 1111 0,600,340
33、0,400 6633 0PPPP， 则的分布列为： 0 600 3400 4000 P 1 6 1 6 1 3 1 3 的数学期望为 11117700 060034004000 66333 E 19 （本小题 15 分） 设函数 cos x f xaex，其中aR （）已知函数 f x为偶函数，求a的值； 19 / 22 （）若1a ，证明：当0x时， 2f x ； （）若 f x在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围 【解析】 （）解：函数 yf x为偶函数， fxf x，即coscos xx aexaex ， 整理得0 xx a ee对任意的xR恒成立， 0a ； （）证明：当1a
34、时， cos x f xex，则 sin x fxex， 0x，则e1 x ，1 sin1x ， sin0 x fxex， 函数 cos x f xex在0,上单调递增， 当 0x时， 02f xf； （）解：由 cos0 x f xaex，得 cos x x a e ，设函数 cos x x h x e ，0,x， 则 2sin sincos4 xx x xx h x ee ，令 0h x ，得 3 4 x 随着x变化， h x 与 h x的变化情况如下表所示： x 3 0, 4 3 4 3 , 4 h x 0 h x 极大值 函数 yh x在 3 0, 4 上单调递增，在 3 , 4 上单
35、调递减 又01h， he ， 33 44 2 2 h ee ，且 3 4 0h eh ，如下图所示： 20 / 22 当 3 4 2 , 2 aee 时，方程 cos x x a e 在区间0,内有两个不同解，因此所求实数a的取值范围为 3 4 2 , 2 ee 20 （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设,A B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足为E，连接BE并 延长交椭圆于点D，证明：ABD是直角三角形 【解析】 （1）依题意可得 2 2, 2 c b a ， 222
36、2 222 21 2 caba aaa ， 得2a，椭圆的方程是 22 1 42 xy （2）设 11 ,A x y，,y DD D x，则 11 ,Bxy， 1,0 E x， 直线BE的方程为 1 1 1 2 y yxx x ，与 22 1 42 xy 联立得 222 2 111 2 11 140 22 yyy xx xx ， D x， 1 x是方程的两个解， 2 1 2 2 1 11 22 2 11 1 2 1 4 8 2 2 1 2 D y y xxx xyy x ， 又 22 11 1 42 xy ， 2 1 1 2 1 8 38 D y xx y ，代入直线方程得 3 1 2 1 3
37、8 D y y y ， 21 / 22 3 1 1 22 111 22 111 11 2 1 3824 1 8 38 ABAD y y yyy kk yxx xx y ，ABAD，即ABD是直角三角形 21 （本小题 14 分） 已知集合 12 |,0,1 ,1,2, nn SX Xx xxin(2)n ，对于 12 , nn Aa aaS， 12 , nn Bb bbS，定义 A 与 B 的差为 1122 , nn ABababab；A 与 B 之间的距离为 1122 ( , ) nn d A Bababab （I）若(0,1)AB，试写出所有可能的 A，B； （II）, , n A B C
38、S，证明： （i）(,)( ,)d AC BCd A B； （ii）( , ),d A B( ,),d A C( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数； （III）设 n PS，P中有 m（2m，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 p d，证 明： (1) 2 p n m d m 【解析】 （I）解：根据定义及0,1AB，可知有以下四种情况： 0,0 ,0,1AB；0,1 ,0,0AB； 1,0 ,1,1AB；1,1 ,1,0AB （）令 121212 , nnn Aa aaBb bbCc cc， （i）证明：对1,2,in， 当0 i c 时，有 iiiiii acbc
39、ab， 当1 i c 时，有11 iiiiiiii acbcabab 11222222 ,d A C BCacbcacbc 1122 , nnnnnn acbcabababd A B （）证明： 22 / 22 设 12 , n Aa aa， 12 , n Bb bb， 12 , nn Cc ccS， ,d A Bk，,d A Cl，,d B Ch 记0,0,0 n OS，由（I）可知， ,d A Bd AA BAd O BAk， ,d A Cd AA CAd O CAl， ,d B Cd BA CAh， 1,2, ii bain中 1 的个数为 k， 1,2, ii cain的 1 的个数为
40、 l 设 t 是使1 iiii baca成立的 i 的个数，则2hlkt 由此可知，k，l，h 三个数不可能都是奇数， 即,d A Bd A Cd B C三个数中至少有一个是偶数 （）记 , ,d A BA BP 为 P 中所有两个元素间距离的总和， 设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 i t个 1， i m t个 0， 则 1 , n ii i d A BtmtA BP m 为奇数， 2 1 1,2, 4 ii m t mtin ， 且 1 2 i m t 或 1 2 m 时，取等号 2 1 , 4 n m d A BA BP 2 22 1 11 , 42 p mm n m mn dd A BA BP CCm
