1、3 59 151.1.在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出能求出1818与与3030的最大公约数吗？的最大公约数吗？18 30231818和和3030的最大公约数的最大公约数是是2 23=6.3=6.先用两个数公有的先用两个数公有的质因数质因数连续去除连续去除,一直除到所得一直除到所得的商是互质数为止的商是互质数为止,然后然后把所有的除数连乘起来把所有的除数连乘起来.2.2.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大
2、公约数？比如求数？比如求82518251与与61056105的最大公约数的最大公约数?新课引入新课引入1.1.辗转相除法辗转相除法:求两个正数求两个正数82518251和和61056105的最大公约数。的最大公约数。分析：分析：82518251与与61056105两数都比较大，而且没有明显的两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数即可求出最大公约数.解：解：82518251610561051 121462146注：注：8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约的公约数，求数
3、，求8251和和6105的最大公约数，只要求出的最大公约数，只要求出6105和和2146的公约数就可以了。的公约数就可以了。案例案例1 辗转相除法与更相减损术辗转相除法与更相减损术例题剖析例题剖析求两个正数求两个正数82518251和和61056105的最大公约数。的最大公约数。解：解：82518251610561051 12146;2146;则则3737为为82518251与与61056105的最大公约数。的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前30030
4、0年左右首先提出的。年左右首先提出的。6105214621813;214618131333;18133335148;333148237;1483740.第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公约数等于的最大公约数等于m；否则转到第二步否则转到第二步.第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m.诱思探究诱思探究（2）算法步骤）算法步骤（1）算法分析：）算法分析：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用
5、较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。你能写出利用辗转相除法求最大公约数的程序吗？你能写出利用辗转相除法求最大公约数的程序吗？开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND
6、（3）程序框图）程序框图（4）程序）程序利用辗转相除法求两数利用辗转相除法求两数40814081与与2072320723的最大公约数的最大公约数.课堂练习课堂练习解：解：20723=40815+318;4081=31812+265;318=2651+53;265=535+0.所以所以4081与与20723的最大公约数为的最大公约数为53.2.2.更相减损术更相减损术:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母半之，不可半者
7、，副置分母子之数，以少减多，子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用断它们是否都是偶数。若是，用2 2约简；若不是，执约简；若不是，执行第二步。行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。就是所求的最大
8、公约数。用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数.解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，并以大数减小数，并辗转相减，辗转相减，所以，所以，9898与与6363的最大公约数是的最大公约数是7 7。986335;633528;35287;28721;21714;1477.例题剖析例题剖析2用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272的最大公约数。的最大公约数。课堂练习课堂练习解：解：把把8484与与7272分别除以分别除以2 2得：得：4242，363621-18=318-3=1515-3=1212-3
9、=99-3=66-3=3所以所以84与与72的最大公约数为的最大公约数为12.再分别除以再分别除以2得：得：21，18辗转相除法与更相减损术的比较有何区别？辗转相除法与更相减损术的比较有何区别？（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果）从结果体现形式来看，辗
10、转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到与差相等而得到.诱思探究诱思探究2如何求如何求324、243、135这三个数的最大公约数。这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。最大公约数的最大公约数即为所求。诱思探究诱思探究3课堂小结课堂小结 本节课学习的主要内容：本节课学习的主要内容：1.了解辗转相除法与更相减损术求两个正整数的了解辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数的算理；最大公约数的算理；2.能用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的能用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数。最大公约数。课外作业课外作业1.课本第课本第48页页A组组12.预习课本预习课本3739内容内容
