1、 2.2.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程(1)隆隆 德德 中中 学学 【问题1】：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点平面内与两个定点 的距离的的距离的和和等于常等于常数（数（大于大于 ）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。21,FF21FF【问题2】：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？数学实验：数学实验：11取一条拉链；取一条拉链；22如图把它固定在板如图把它固定在板上的两点上的两点F F1 1、F F2 2；3 3 拉动拉链（拉动拉链（M M）。）。思考思考：拉链运动的轨迹：拉链运动的轨迹是什么？是什么？平面内与两定点平面内与两定点F F1
2、 1，F F2 2的距离的的距离的差差的绝对值等的绝对值等于常数于常数2a 2a 点的轨迹叫做双曲线。点的轨迹叫做双曲线。12()FF小于 F1,F2-焦点焦点设常数设常数|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a|F|F1 1F F2 2|-|-焦距焦距（设为（设为2c2c）【注意注意】：对于双曲线定义须抓住三点：对于双曲线定义须抓住三点：1、平面内的动点到两定点的、平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；距离之差的绝对值是一个常数；2、这个常数要小于、这个常数要小于|F|F1 1F F2 2|；3、这个常数是非零常数。、这个常数是非零常数。1F2FMoF2FM1
3、M即双曲线的左支即双曲线的左支即双曲线的右支即双曲线的右支即表示整个双曲线即表示整个双曲线【说明】2a12讨论：MFMF12(2).2aFF时，(1).20a 时，120MFMF1F2FM1212MFMFFF12MFF的轨迹即为的中垂线12,MFM F M的轨迹即为射线1F2FMM12(3)2aFFM时，的轨迹不存在 1、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|F|=2a|F|=2a|F1 1F F2 2|时时,M点的轨迹不存在点的轨迹不存在4、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a=0|=2a=0时，时，M点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线其中当其中当|MF
4、|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a时，时，M点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线中靠近中靠近F2的一支；的一支；当当|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=2a|=2a时，时，M点点轨迹是双曲线中靠近轨迹是双曲线中靠近F1的一支的一支.M点轨迹是在直点轨迹是在直线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线。结论：结论：如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOyxOy使使x x轴经过点轴经过点F F1 1、F F2 2且点且点O O与线段与线段F F1
5、 1、F F2 2的中点重合的中点重合.设设M(M(x x，y)y)是双曲线上任意一点，是双曲线上任意一点，|F|F1 1 F F2 2|=2c|=2c，F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0),(c,0),又又设点设点M M与与F F1 1,F,F2 2的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等于常数于常数2a.2a.122MFMFa,222221ycxMFycxMF.22222aycxycx由定义知由定义知1F2FMxyO由双曲线定义知由双曲线定义知,22acac即022ac因此得令),0(222bbac,222222bayaxb).0,0(12222babyax双曲线的
6、标准方程双曲线的标准方程.说明说明:1.焦点在焦点在x轴轴;2.焦点焦点F1(-c,0),F2(c,0);4.c2=a2+b2,c最大最大.).()(22222222acayaxac化简得：1F2FMxyO3.a,b无大小关系无大小关系;OyxF1F2M双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1.方程方程 (a 0,b 0)叫做双曲线的叫做双曲线的 标准方程标准方程.它所表示的双曲线的它所表示的双曲线的 焦点在焦点在x轴上。轴上。12222byax 2.方程方程 (a 0,b 0)也是双曲线的也是双曲线的 标准方程标准方程.它所表示的双曲线的它所表示的双曲线的 焦点在焦点在y轴上。轴上。12222b
7、xayOF2MxyF1定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c的关系的关系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab,0Fc0,Fc222cab谁正谁对应谁正谁对应 a).0,0(12222babxay).0,0(12222babyax双曲线的标准方程双曲线的标准方程：椭圆的标准方程椭圆的标准方程：0 12222babxay0 12222babyax2222221.,aabcccab椭圆中 最大在双曲线中 最大；相同点：1.,焦点坐标相同 焦距相等；2.,a b c焦大小满足勾股定理.不同点：2.,椭圆方程中双曲线中；3.判断焦点位置方法不同。,a b练习1.根据方
8、程，写出焦点坐标及的值:15151925)1(2222yxyx和143134)2(2222xyyx和3,5),0,4(ba焦点1,15),0,4(ba焦点3,2),0,1(ba焦点2,3),7,0(ba焦点例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上双曲线上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程.12122.13,4,25,3,30,6,3(4)5 0,(5,0),abxcbxaFFPF F练习 写出符合下列条件的双曲线的标准方程:（）焦点在 轴上（）焦点在 轴上（）焦点为 0,-
9、6、焦点（，）双曲线上一点 到的距离的差的绝对值等于8221916xy221169xy221927yx练习练习1判断下列方程是否表示双曲线，判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标若是，求出其焦点的坐标.12422yx12222yx12422yx369422 xy F1MF222193xykk说明方程表示的曲线(1)已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(0,-5),F2(0,5)，双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离的差的的距离的差的 绝对值等于绝对值等于6，求双曲线的标准方程，求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(0,-5),F2(0,5
10、),双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离的差等的距离的差等于于6，求双曲线的方程，求双曲线的方程.练习练习2 22222222111xyyxabab设或 2221xymn设，可避免讨论评评:待定系数法待定系数法曲线的标准方程.曲线的标准方程.,5)的双,5)的双4 49 9(),),2 24 4求经过两点(3,求经过两点(3,?例例2例例221255xy(3 2,2)求与椭圆求与椭圆共焦点且过点共焦点且过点的双曲线的方程的双曲线的方程.评评:确定双曲线标准方程的基本思路：确定双曲线标准方程的基本思路：“选标准，定参数选标准，定参数”待定系数法待定系数法222,;a b c练习练习3.
11、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 14,3,abx焦点在 轴上221169xy(2)焦点焦点(0,6),(),(0,6),),经过点经过点(2,5)2212016yx22121xymmm 方程表示双曲线，则的范围21mm 或练习练习6.1.求与双曲线 共焦点,且过点 的双曲线的方程.221164xy(3 2,2)2.已知双曲线与椭圆已知双曲线与椭圆 的焦点相同的焦点相同,且且它们的离心率之和为它们的离心率之和为14/5，求双曲线的方程，求双曲线的方程125922yx018022cossin1xy3.当当时时,方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？129P 34 254P 已知双曲线的焦点在y轴,且双曲线上两点（，）,，求双曲线的标准方程cba,定义定义图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标 关系关系012222babyax，0,12222babxay01，cF 02，cFcF，01cF，02222bac双曲线双曲线小结小结12122,02MFMFaaFF2210 xym nmn作业作业1.P54.1,2 2.求与双曲线求与双曲线 共焦点共焦点,且过点且过点 的双曲线的方程的双曲线的方程.221164xy(3 2,2)再见
