1、全等三角形（1）知识要点1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2、全等三角形的对应边相等，对应角也相等。3、找全等三角形对应元素的方法：（1）对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；（2）从运动的角度出发，如果两个三角形通过平移、翻转、旋转等变换后能够完全重合，那么重合的部分即为对应元素；（3）两个全等三角形的公共边、公共角、有公共顶点的对顶角通常为对应元素。4、全等三角形的判定（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等。（2）SAS：有两边及其夹角对应相等的两个三角形相等。（3）ASA：有两个角
2、和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等。（4）AAS：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等。例1、如图，ABC中，AB=AC，M为BC中点，求证：AMBC ABCM证明：M为BC中点，=在ABM和 中，ACAB （）=AMC +AMC=180，AMC=AMBC 例1、如图，ABC中，AB=AC，M为BC中点，求证：AMBC ABCM证明：M为BC中点，BM =CM 在ABM和 ACM 中，ABACBMCMAMAM ABM ACM（SSS ）AMB =AMC AMB+AMC=180，AMC=90 AMBC 例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D ABCD例2、如图，AB=
3、CD，AD=BC，求证：B=D ABCD例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D ABCD证明：连结AC，在ABC和CDA中，ACACADBCCDABABC CDA（SSS）B=D 例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D ABCD证明：连结AC，在ABC和CDA中，ACACADBCCDABABC CDA（SSS）B=D 发展：同理可得，BAD=BCD，DAC=ACB，进而AD/BC，同理AB/CD 例3、如图，AB=CD，DE=AF，CF=BE，AFB=80，D=60，求B ABCDEF例3、如图，AB=CD，DE=AF，CF=BE，AFB=80，D=60，求B ABCDEF
4、解：CF=BE，CF+EF=BE+EF，即 CE=BF在ABF和DCE中，BFCEDEAFCDABABF DCE（SSS）A=DD=60，A=60AFB=80，AFB+A+B=180，B=40 例4、已知，如图，AD=AE，1=2，BD=CE，求证：ABE ACDABCDE12例4、已知，如图，AD=AE，1=2，BD=CE，求证：ABE ACDABCDE12证明：ADC+1=180，AEB+2=180，1=2，AEB=ADCBD=CE，BD+DE=CE+DE，即BE=CD在ABE和ACD中，CDBEACDAEBADAEABE ACD（SAS）例5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC，
5、AE=AC，求证：CD=BE ABCDE例5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC，AE=AC，求证：CD=BE ABCDE分析：只需证ACD AEB，而AD=AB，AE=AC，只需证它们的夹角DAC与BAE相等即可例5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC，AE=AC，求证：CD=BE ABCDE证明：ADAB，AEAC，DAB=CAE=90 DAB+BAC=CAE+BAC即DAC=BAE在ACD和 AEB中ACD AEB（SAS）CD=BEADABDACBAEACAE 例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CFAM于F，BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 BCM
6、FEA例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CFAM于F，BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 BCMFEA分析：要证AM是ABC的中线，即BM=CM，只需证，BEM CFM知道BE=CF，BME=CMF，BEM=CFM=90，得证例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CFAM于F，BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 BCMFEA证明：CFAM于F，BEAM于E，BEM=CFM=90在BEM和CFM中，BEM CFM（AAS）BM=CM，即AM是ABC的中线 BMECMFBEMCFMBECF 例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD交于点O，且AO
7、平分BAC，求证：OB=OC ABCDEO例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC ABCDEO分析：要证OB=OC，只需证AOB AOC而AO=AO，BAO=CAO，只需证B=C，或AOB=AOC,或AB=AC例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC ABCDEO证法1：AO平分BAC，BAO=CAO CDAB于D，BEAC于E，AOD+BAO=90,AOE+CAO=90AOD=AOE BOD=COEAOD+BOD=AOE+COE，即AOB=AOC在AOB和AOC中 AOB
8、 AOC（ASA）OB=OCBAOCAOAOAOAOBAOC 例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC ABCDEO证法2：CDAB于D，BEAC于E，C+CAD=90，B+CAD=90B=C AO平分BAC，BAO=CAO在AOB和AOC中 AOB AOC（AAS）OB=OCBCBAOCAOAOAO 例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ，求证：DE=BE分析：可以先证DPM ，得出 =，则DPE ，从而DE=BE ABCDEPQMN例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ，求证：DE=BE分析：可以先证D
9、PM BNQ ，得出 DP =BN ，则DPE BEN ，从而DE=BE ABCDEPQMN例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ，求证：DE=BE证明：AD/BC M=Q同理可得，1=2，3=4MN=PQ，MN+NP=PQ+NP，即MP=NQ在DPM和BNQ中，DPM BNQ （ASA）DP=BN1243 3ABCDEPQMN12MPNQMQ 例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ，求证：DE=BE证明：AD/BC M=Q同理可得，1=2，3=4MN=PQ，MN+NP=PQ+NP，即MP=NQ在DPM和BNQ中，DPM BNQ （ASA）DP=BN1243 3AB
10、CDEPQMN12MPNQMQ 1234DPBN 在DPE和BEN中，DPE BEN（ASA）DE=BE习题：1、如图，要使 ，请你增加一个条件是 （只需要填一个你认为合适的条件）（第1题）（第2题）2、如图所示，点F、C在线段BE上，且1=2，AC=DF，若使ABC DEF，则需补充一个条件是 .AEADABDACEABCDEABCDEF1 2习题：1、如图，要使 ，请你增加一个条件是 B=C （只需要填一个你认为合适的条件）（第1题）（第2题）2、如图所示，点F、C在线段BE上，且1=2，AC=DF，若使ABC DEF，则需补充一个条件是 BC=EF .AEADABDACEABCDEABCDEF1 23、如图，ABC中，AB=AC，BD平分ABC，E为BC上一点，A与DEC互补，若BC=11cm，则DEC周长为 ABCDE3、如图，ABC中，AB=AC，BD平分ABC，E为BC上一点，A与DEC互补，若BC=11cm，则DEC周长为 11cm ABCDE4、如图，1=2，CF=DE，AD=BC，求证：A=B 5、已知，如图，AE=CF，AD/BC，AD=CB求证：ADF CBE ABCD12EFABCEFD6、已知，如图，BC平分ABD，AB=DB，P为BC上任意一点，求证：CAP=CDP分析：要证CAP=CDP，应先证ABC ，得 ，进而有ACP ABCDP
