1、2.2.2第2章考点一考点二考点三把握热点考向应用创新演练理解教材新知22.2函数的奇偶性函数的奇偶性2 22 2 函数的简单性质函数的简单性质提示：提示：问题问题2：观察它们的图象有何对称性？：观察它们的图象有何对称性？问题问题3：填写下表：填写下表表一表一x3210123f(x)x2f(x)|x|9 4 1 0 1 4 93 2 1 0 1 2 3表二表二问题问题4：从上面两个表格中，可以得出什么结论？：从上面两个表格中，可以得出什么结论？提示：提示：表一中：表一中：f(x)f(x)，表二中：表二中：f(x)f(x)奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定
2、的定义域为义域为A，如果对任意的，如果对任意的xA，都有都有 ，那么，那么称函数称函数yf(x)是奇函数是奇函数一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为A，如果对，如果对任意的任意的xA，都，都有有 ，那么，那么称函数称函数yf(x)是偶函是偶函数数图象图象特点特点奇函数的图象关于奇函数的图象关于 对称对称偶函数的图象关于偶函数的图象关于 对称对称奇偶性奇偶性如果函数是奇函数或偶函数，就说函数如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶具有奇偶性性f(x)f(x)f(x)f(x)原点原点y轴轴 函数的奇偶性定义的理解函数的奇偶性定义的理解 (1)函数的奇偶性是相对于函数
3、的整个定义域来说的，函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的单调性是函数的“局部局部”性质，而奇偶性是函数的性质，而奇偶性是函数的“整体整体”性性质质 (2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性所以函数的定义域关于原点对称是函数就不具有奇偶性所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件具有奇偶性的前提条件 思路点拨思路点拨先确定函数的定义域，然后再先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断严格
4、按照函数奇偶性的定义来判断 一点通一点通 判断函数的奇偶性的步骤判断函数的奇偶性的步骤 (1)看函数的定义域是否关于原点对称看函数的定义域是否关于原点对称(若不对称则若不对称则为非奇非偶函数为非奇非偶函数)(2)判断判断f(x)与与f(x)的关系的关系 (3)根据定义，写出结论根据定义，写出结论 若若f(x)f(x)，则函数，则函数f(x)为奇函数为奇函数 若若f(x)f(x)，则函数，则函数f(x)为偶函数为偶函数 若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，则，则f(x)既是奇函数既是奇函数又是偶函数又是偶函数 若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，则，则f(x)为非奇非偶函为非奇非偶函
5、数数 解析：解析：利用函数奇偶性的定义知，为偶函数，利用函数奇偶性的定义知，为偶函数，为非奇非偶函数，只有为奇函数为非奇非偶函数，只有为奇函数答案：答案：2(2011广东高考改编广东高考改编)设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是函数和奇函数，则下列结论恒成立的是_|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数|f(x)|g(x)是偶函数是偶函数f(x)|g(x)|是奇函数是奇函数f(x)|g(x)|是偶函数是偶函数解析：解析：设设F(x)f(x)|g(x)|，由，由f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶上的偶函数和奇函数，得函数和奇函数，得F(x
6、)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)，f(x)|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒是偶函数，又可判断其他选项不恒成立成立答案：答案：当当x0，则则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当由知，当x(，0)(0，)时，都有时，都有f(x)f(x)，所以，所以f(x)为奇函数为奇函数 思路点拨思路点拨设设x0，则，则x0的解析式，然后用分段函数的形的解析式，然后用分段函数的形式写出式写出f(x)例例2已知已知f(x)是是R上的奇函数，当上的奇函数，当x(，0)时，时，f(x)2x(1x)，求，求f(x)一点通一点通 (1)利用函数的奇偶性求解函数
7、的解析式，主要利利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义求解一般分以下三个步骤：设用函数奇偶性的定义求解一般分以下三个步骤：设所求函数解析式中所给的区间上任一个所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区，即求哪个区间上的解析式，就设间上的解析式，就设x在哪个区间上把所求区间内在哪个区间上把所求区间内的变量转化到已知区间内利用函数奇偶性的定义的变量转化到已知区间内利用函数奇偶性的定义f(x)f(x)或或f(x)f(x)求解所求区间内的解析式求解所求区间内的解析式 (2)由奇函数的定义可知，奇函数由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在在x0处有处有定义时，一定有定义时，一定有
8、f(0)0.(3)根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出y轴轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到4设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)2x2x，则，则f(1)_.答案：答案：35(1)已知函数已知函数f(x)是奇函数，且是奇函数，且x3a1,3a5，则，则a的值为的值为_(2)已知函数已知函数f(x)x22mx1是偶函数，则是偶函数，则m的值为的值为_解析：解析：(1)f(x)是定义域为是定义域为3a1,3a5的奇函数，的奇函数，3a13a50.a1.(2)f(x)x22m
9、x1是偶函数，是偶函数，f(x)f(x)x22mx1x22mx1.m0.答案：答案：(1)1(2)06如图，给出偶函数如图，给出偶函数yf(x)的的局部图象，试作出它的局部图象，试作出它的y轴右侧的图象，并比较轴右侧的图象，并比较f(1)与与f(3)的大小的大小解：解：偶函数偶函数yf(x)在在y轴右侧图象上任一点轴右侧图象上任一点P(x，f(x)关于关于y轴的对称点为轴的对称点为P(x，f(x)，下图为补充完后的图，下图为补充完后的图象易知象易知f(1)f(3)例例3设定义在设定义在2,2上的奇函数上的奇函数f(x)在区间在区间0,2上上单调递减，若单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数，
10、求实数m的取值范围的取值范围 思路点拨思路点拨首先由奇偶性把不等式转化为首先由奇偶性把不等式转化为f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性转化为的形式，再利用单调性转化为x1，x2的大小关系注意函的大小关系注意函数的定义域数的定义域 一点通一点通解决有关奇偶性与单调性的综合问题，解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响掉函数定义域对参数的影响7设设f(x)是是R上的偶函数，且在上的偶函数
11、，且在(，0)上为减函数，上为减函数，若若x10，则，则f(x1)与与f(x2)的大小关系为的大小关系为_解析：解析：x1x20，x1x10.f(x)在在(，0)上为减函数，上为减函数，f(x)在在(0，)上是上是增函数，增函数，f(x2)f(x1)，又，又f(x)是是R上的偶函数，上的偶函数，f(x1)f(x1)故故f(x2)f(x1)答案：答案：f(x2)f(x1)8若函数若函数yf(x)是奇函数，且是奇函数，且yf(x)在在a，b(a0)上是上是单调递增的，则单调递增的，则yf(x)在在b，a上的单调性如何？上的单调性如何？并证明你的结论并证明你的结论解：解：yf(x)在在b，a上也是单
12、调递增的上也是单调递增的其证明过程如下：其证明过程如下：设设bx1x2a，则，则bx1x2a.又又yf(x)在在a，b上单调递增，上单调递增，f(x1)f(x2)而而yf(x)是奇函数，是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)，即，即f(x1)f(x2)故故yf(x)在在b，a上也是单调递增的上也是单调递增的 (2)图象法：奇图象法：奇(偶偶)函数的等价条件是它的图象关于原函数的等价条件是它的图象关于原点点(或或y轴轴)对称对称 (3)性质法：偶函数的和、差、积、商性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶偶)数个奇函数个奇函数的积、商数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；一个奇函数与一函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数个偶函数的积为奇函数点此进入
