1、 安庆市安庆市 2020 届高三第三次模拟考试届高三第三次模拟考试 数学（理科）试题数学（理科）试题 注意事项：注意事项： 1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号. 2.答题时， 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可选用铅 笔在答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域 作答，超出答题区域书写的答案无效 ，在试题卷、草稿纸上答题无
2、效 。 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案有一项是符合题目要求的，请把正确答案 的代号填在题后的括号内）的代号填在题后的括号内） 1.已知集合 12Ax x x， 11Bx x，则AB（ ） A.1,0 B.2,0 C.0,1 D.0,2 2.i是虚数单位，复数 2 2 ai z i 是纯虚数，则实数a（ ） A.1 B.1 C.4 D.4 3.函数sincosyxx在, 上的图象是（ ） A. B. C. D. 4.在如图所示的算法框图中，若输入
3、的 4 5 x ，则输出结果为（ ） A. 1 5 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 5.设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S.若 1718 SS，则在 18 a， 35 S， 1719 aa， 1916 SS这四个 值中，恒等于 0 的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.为了得到正弦函数sinyx的图象，可将函数sin 3 yx 的图象向右平移m个单位长度，或向左平 移n个单位长度（0m，0n） ，则mn的最小值是（ ） A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 3 7.如图， 网格纸上的小正方形的边长均为 1， 粗线画的是一个几何体的三视图，
4、则该几何体的体积是 （ ） A. 3 2 B.2 C.3 D. 9 2 8.设6log 2 1 a，12log 4 1 b，15log 5 1 c，则（ ） A.cba B.abc C.cab D.bac 9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不 报，则 4 位同学所报选项各不相同的概率等于（ ） A. 18 1 B. 32 3 C. 9 2 D. 9 8 10.在平行四边形ABCD中，22 3ABAD，E是BC的中点，F点在边CD上，且2CFFD，若 17 2 AE BF ，则DAB（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 1
5、1.双曲线C： 22 1 916 xy 的右支上一点P在第一象限， 1 F， 2 F分别为双曲线C的左、 右焦点，I为 12 PFF 的内心，若内切圆I的半径为 1，直线 1 IF， 2 IF的斜率分别为 1 k， 2 k，则 12 kk+的值等于（ ） A. 8 3 B. 8 3 C. 8 5 D. 8 5 12.定义在R上函数( )f x满足 1 1 2 f xf x， 且当0,1x时， 121f xx .则使得 1 16 fx 在,m 上恒成立的m的最小值是（ ） A. 7 2 B. 9 2 C.13 4 D.15 4 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包
6、括必考题和选考题两部分.第第 13 题题第第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第第 22 题题第第 23 题题 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）小题，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13.已知公比不为 1 的等比数列 n a，且 7 2 3 aa ， 546 32aaa，则数列的通项公式 n a _. 14.在 5 1axx展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为 8，则a_. 15.过抛物线 2 4yx焦点F的直线交抛物线于点A、B，交
7、准线于点P，交y轴于点Q，若PQFB， 则弦长AB _. 16.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有 阳马SABCD，SA平面ABCD，1AB ，3AD，3SA.BC上有一点E，使截面SDE的周 长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于_. 三、解答题： （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题： （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC中， 三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c， 若B为锐角， 且sin2sin3cosABA. （）求C； （）已知2a，8AB BC，求ABC的面积. 18.如图， 在三棱柱 11
8、1 ABCABC中， 1 90ACBCCB， 1 60A AC，D，E分别为 1 A A和 11 BC 的中点，且 1 AAACBC. （）求证： 1 /AE平面 1 BC D； （）求平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角的余弦值. 19.已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率是 2 2 ，原点到直线1 xy ab 的距离等于 2 3 3 ，又知 点0,3. （）求椭圆C的标准方程； （）若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线yxm对称，且328QA QB，求实数m的取值范围. 20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，
9、采集了 生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图： （） （1）设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的 次数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 改造前 a b 改造后 c d 试写出a，b，c，d的值； （2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ， 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产
10、维护费用包括正常维护费、保障维护费两种 对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天（ * Nk）进行维护.生产线在一个生产周期内设 置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护 费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2 万元.现制定生产线一个生产周期（以 120 天计）内 的维护方案：30T ，1k ，2，3，4. 以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的 分布列及
11、期望值. 21.已知函数 2 1 1 2 x fxexax，aR. （）若 f x为R上的增函数，求a的取值范围； （）若0a， 12 xx，且 12 4f xf x，证明： 12 2f xx. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号作答时请写清题号. 22.选修 44 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 33cos 3sin x y （其中为参数） ，以原点O为极点，以 x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4cos0. （）求曲
12、线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （）设点A，B分别是曲线 1 C， 2 C上两动点且 2 AOB ，求AOB面积的最大值. 23.选修 45 不等式选讲 已知函数 1 1 f xxmx m （其中实数0m）. （）当1m，解不等式 3f x ； （）求证： 1 2 1 f x m m . 参考答案参考答案 第第卷卷 一、一、选择题：选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B C C C A C C B D 1.B 解析： 1221Ax x xxx ， 1102Bx xx xx或， 所以0ABx x.故选 B. 2.A 解析：
13、222242 2225 aiiaa iai z iii ，因为z是纯虚数， 所以1a.故选 A. 3.B 解析：函数sincosyxx是奇函数，排除 A，D；当 4 x 时，0y ，排除 C. 故选 B. 4.B 解析： 4 5 x ，1n ； 3 5 x ，2n； 1 5 x ，3n； 2 5 x ，4n； 4 5 x ，5n； 故呈现以 4 为周期的特点，当2020n时，输出结果与4n时结果相同，为 5 2 x. 故选 B. 5.C 解析：设 n a的首项为 1 a，公差为d，由 1718 SS， 即 11 17 1618 17 1718 22 adad ，得 1 17ad ，所以18 n
14、 and， 135 17 22 n n nn n Snddd ， 所以 18 0a， 35 0S， 1719 2aaddd ， 1916 19161619 0 22 SSdd .故选 C. 6.C 解析：因为sin2 sin 33 xkx ， 5 sin2sin 33 xkx ，kZ， 所以 min 54 333 mn .故选 C. 7.C 解析：该几何体是四棱锥PABCD，其中3PA，底面是直角梯形，2ABAD，1BC ， 90ABCBAD. 体积 11 12233 32 V . 8.A 解 析 ：3l o g16l o g 2 2 1 a，3log112log 4 4 1 b，3log11
15、5log 5 5 1 c， 由 于 3log3log3log 542 ，故cba.故选 A. 9.C 解析：记事件A “4 名同学所报选项各不相同” ，事件B “已知甲同学报的项目其他同学不报” ， 31 4 4 3 4 A P B ， 4 4 4 4 A P AB ， 2 9 P AB P A B P B .故选 C. 10.C 解析：记ABa，ADb，则2 3a ，3b ， 1 2 AEab， 2 3 BFab ，所以 221221213 84cos4cos 233232 AE BFabababbDABDAB . 因为 17 2 AE BF ， 所以 1317 4cos 22 DAB ，
16、得 1 cos 2 DAB ，所以120DAB.故选 C. 11.B 解析：如图，设圆I与 12 PFF三边的切点分别为A，B，C，根据圆切线的性质和双曲线的定义，有 121212 26AFAFCFBFPFPFa-=-=-=. 又 12 210AFAFc+=，所以 1 8AF =，所以358 11 OFAFOA，即点A的横坐标为 3，所 以 () 3,1I.因为 ()1 5,0F -， ()2 5,0F，所以 8 3 2 1 8 1 21 kk.故选 B. 12.D 解析： 根据题设可知， 在区间,1n nnZ上， 11 1221 22 nn f xxn ， 所以当4n时， 1 16 fx .
17、作函数 yf x的图象，如图所示.在 7 ,4 2 上，由 11 127 816 f xx ，得 15 4 x . 由图象可知当 15 4 x 时， 1 16 fx . 第第卷卷 二、二、填空题：填空题： 13.解析：设公比为q，则 2 26 11 a qa q，所以 2 1 qa ， 4 1 3 1 5 1 32qaqaqa，故1q（舍）或2q， 所以4 1 a，故 1 2 n n a. 14.解析：方法一：设 5 65 6510 1axxa xa xa xa，则 6 1a ， 43 455 510aaCCa， 21 255 105aaCCa， 0 aa， 由 6420 3aaaa，得 1
18、2 a . 方法二：设 5 1fxaxx展开式x的偶数次幂项的系数之和为A，奇数次幂项的系数之和为B， 则 1 ABf x ABf ， 得 1 11161 2 Affa ，由8A得 1 2 a . 15.解析：设点B、F在准线上的射影分别是点G、K，根据抛物线的定义可知原点O是线段KF的中点， 所以Q是线段PF的中点，PQQF， 又P Q F B， 可得 2 3 PF PB ， 所以 2 3 KFPF GBPB .因为2KF ， 所以3GB ，所以可得点B的坐标为2,2 2（点B只能在第一象限） ，所以直线AB的方程为 2 21yx， 代 入 2 4yx， 可 求 得 点A的 横 坐 标 为
19、1 2 ， 所 以 13 1 22 AF ， 39 3 22 ABAFBF. 16.解析： 要使截面SDE的周长最短， 则EDSE最短， 将底面ABCD沿BC展开成平面图形ASCD（如 图） ，连接 SD ，交BC于E，则SEED SD ，此时，由1AB，3SA，则2SB，故3SA， 3ADAD ，故2BE，作/EF CD交AD于F，连接SF，则SE与CD所成角为SEF，易得 SFEF，由于22SE，1EF， 4 2 22 1 cos SE EF SEF. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题
20、考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作 答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.解析： （）由sin2sin3cosABA，得 31 sincossin 22 BAA sinsin 3 BA . 所以 3 BA ，或 2 33 BABA . 因为B为锐角，所以 3 BA ，即 3 BA ，故 2 3 C . （）由8AB BC，得cos8cos8caBcaB . 因为2a，所以cos4cB. 根据正弦定理， sinsin ac AC ，及 3 AB ， 2 3 C ，2a， 得 2 3 sin 3 2 c B ，
21、所以sin3 3 cB ， 31 cossin3 22 cBcB. 代入，得 1 2 3sin3 2 cB，所以sin2 3cB . 所以ABC的面积等于 11 sin2 2 32 3 22 acB . 18.解析： （）如图 1，取线段 1 BC的中点F，连接EF、DF. 因为E为 11 BC的中点，所以 1 /EF BB，且 1 1 2 EFBB. 又D为 1 A A的中点，所以 11 /AD BB，且 11 1 2 ADBB，所以 1 /EF AD，且 1 EFAD， 所以四边形 1 ADFE是平行四边形，所以 1 /AE DF. 又DF 平面 1 BC D， 1 AE 平面 1 BC
22、D，所以 1 /AE平面 1 BC D. （）作 1 AOAC于点O，因为 1 60A AC，所以 1 30AAO， 所以 1 11 22 AOA AAC，即O为AC的中点. 因为 1 90ACBCCB，所以BC 平面 11 A ACC，所以 1 BCAO，所以 1 AO 平面ABC.故可以 点O为原点，射线OA、 1 OA分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标 系，如图 2. 令 1 2AAACBCa， 则, 0 , 0A a，,2 ,0Baa， 1 0,0, 3Aa， 1 2 ,0, 3Caa， 13 ,0, 22 Daa ， 所以 33 , 2 , 22 B
23、Daaa ， 1 53 ,0, 22 C Daa . 设平面 1 BC D一个法向量为, ,mx y z，则 33 , , 2 ,0 22 53 , ,0,0 22 x y zaaa x y zaa ， 得 33 20, 22 53 0 22 xyz xz .取3x ，2 3y ，5z ，所以 3,2 3,5m . 又平面ABC的一个法向量为 1 0,0, 3OAa，设平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角为，则 1 1 5 310 cos 4403 mOAa am OA . 所以平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 10 4 . 19.解析： （）由 22 22 2 2
24、12 3 311 ab a ab ， ，得 2 4a ， 2 2b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 42 xy . （）根据题意可设直线AB的方程为yxn ，联立 22 , 1 42 yxn xy ， 整理得 22 34220xnxn，由 2 2 44 3 220nn ，得 2 6n . 设 11 ,A xxn， 22 ,B xxn，则 12 4 3 n xx， 2 12 22 3 n x x . 又设AB的中点为 00 ,M xxn，则 12 0 2 23 xxn x ， 0 3 n xn. 由于点M在直线yxm上，所以 2 33 nn m，得3nm，代入 2 6n ， 得 2 96m
25、 ，所以 66 33 m. 因为 11 ,3QAxxn， 22 ,3QBxxn， 所以 2 1212 233QA QBx xnxxn 2 2 2 42 433619 3 333 n n nnn n . 由328QA QB，得 2 36192813nnn ，所以133m ， 即 1 1 3 m . 又由得 61 33 m.故实数m的取值范围为 6 1 , 33 . 20.解析： （） （1）由茎叶图知30 2 3129 m. 根据茎叶图可得：5a，15b，15c，5d. （2）由于 2 2 40 5 5 15 15 106.635 20 20 20 20 K ，所以有99%的把握认为连续正常运行
26、时间有差异. （）生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为 4 1 p. 设一个生产周期内需保障维护的次数为次，则正常维护费为245 . 0万元，保障维护费为 2 0.21 0.10.1 2 万元. 故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为21 . 01 . 0 2 万元. 由于 1 4 4 B ，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则分布列为 X 2 2.2 2.6 3.2 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 则 81272731 22.22.63.24 2566412864256 E X 275
27、. 2 256 4 .582 256 44 .384 .1406 .237162 万元. 故一个生产周期内生产维护费的期望值为 2.275 万元. 21.解析： （） x fxexa ，若 f x为R上的增函数，则 0 x fxexa 恒成立，即 x xxa 恒成立.设 x F xex， 则 1 x F xe， 当,0x 时， 0Fx， 当0,x时， 0Fx ， 所以 F x在,0上单调递减， 在0,上单调递增， 所以 01F xF， 故1a ， 所以1a. （）若0a，由（）知 f x为R上的增函数.由于 02f，已知 21 xx ，且 12 4f xf x， 不妨设 12 0xx.设函数
28、hxfxfx，,0x ，则 222 11 112 22 xxxx h xexaxexaxeex ， 则 2 xx h xeex ， 设 xhx ，则 20 xx xee ，由于 ,0x ，所以 h x 为 ,0上的增函数，所以 00h xh ，所以 h x为,0上的减函数，所以 111 04h xf xfxh，所以 211 4f xf xfx， 而 f x为R上 的 增 函 数 ， 所 以 12 xx， 故0 21 xx. 从 而 12 02f xxf. 故 12 2f xx. （二）选考题：（二）选考题： 22.选修 44 坐标系与参数方程 解析： （）由条件知消去参数得到曲线 1 C的普通
29、方程为 2 2 39xy. 因4cos0可化为 2 4 cos0，又 222 xy，cosx，代入得 22 40xyx，于 是曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx. （）由条件知曲线 1 C， 2 C均关于x轴对称，而且外切于原点O， 不妨设 1, 0 2 A ，则 2, 2 B ， 因曲线 1 C的极坐标方程为6cos， 所以 1 6cos， 2 4cos4sin 2 ， 于是 12 11 6cos4sin6sin26 22 AOB S ， 所以当 4 时，AOB面积的最大值为 6. 23.选修 45 不等式选讲 解析： （）由条件知1m时， 1 2,1 2 131 1,1 222 11 2, 22 xx f xxxx xx 于是原不等式可化为 1 1 23 2 x x ； 1 1 2 3 3 2 x ； 1 2 1 23 2 x x 解得 7 1 4 x；解得 1 1 2 x；解得 51 42 x ， 所以不等式 3f x 的解集为 5 7 , 4 4 . （）由已知得 111 111 f xxmx m mmm m 1111 1111 xmxm mm mmm m 1111 2 11 mm mmmm 当且仅当1m时，等号成立，于是原不等式得证.
