1、第 1 页 共 8 页梅州市高三总复习质检（2023.4）梅州市高三总复习质检（2023.4）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBBADDBA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9101112ADABDBCBC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.314.3315.3216.0.053，1853四、解答题：本题共 6 小题
2、，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）17.（本小题满分 10 分）解：（1）因为数列1nnaa是公比为2的等比数列，且212 11aa，.1 分所以111221nnnnaa，.2 分当2n时,11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 14322112222 nnnn.3 分又11a也满足上式,.4 分所以na的通项公式为.21nna.5 分（2）因为21212323nnnnnnba，.6 分则1123223nnnb，.7 分第 2 页 共 8 页则有12324621363nnbnnbnn1,Znn，当1n 时，11nn
3、aa，则有12aa，.8 分当2n 时，11nnaa，则有234aaa，.9 分故数列 nb中的最大项为2b，等于109.10 分18.（本小题满分 12 分）解：18.（本小题满分 12 分）解：（1）在RtACD中，2cos2242ADAC.1 分在ABD中，因为3424BAD，由余弦定理得，22232cos4BDABADAB AD232232()2.3 分52 3因此52 3BD.5 分（2）在RtACD中，cos2cosADAC.6 分在ABD中，因为2BAD，由余弦定理得，2222cos2BDABADAB AD234cos23 2cossin.7 分234cos2 3sin21 co
4、s22 3sin2432 2 3sin22cos25.8 分4sin 256，.9 分所以4sin 256BD.10 分所以当262，即6时，.11 分BD最长，max453BD.12 分第 3 页 共 8 页19.（本小题满分 12 分）解：19.（本小题满分 12 分）解：（1）在正棱柱111ABCABC中，因为点M为11AB的中点，所以111C MAB，.1 分又因为1A A平面111ABC，所以11AAC M，.2 分而1111AAABA，故1C M 平面11AAB B，过点A作AQBM交1BB于点Q，则有AQBM，1AQC M，且1BMC MM，得AQ 平面1BC M，即点Q即为所要
5、找的点.3 分易得：1ABQBB M，.4 分因此11BQABB MBB，即有214BQ，于是12BQ，所以1117422BQB BBQ，.5 分因此17BQQB.6 分（2）法一：连接C与AB的中点N，易知/CN平面1BC M，.7 分点C到平面1BC M的距离Ch等于点N到平面1BC M的距离Nh，.8 分又N为AB之中点，点N到平面1BC M的距离Nh等于点A到平面1BC M的距离Ah的一半，而由（1）知，当12BQ 时，AQ 平面1BC M，.10 分设AQBMH，则2228cos217122AhAHABBAQ，.11 分因此14 17217CNAhhh.12 分第 4 页 共 8 页
6、法二：,1BCOOAOBx yOABCz取中点以，所在直线分别为轴，过 作平面垂线为 轴建立空间直角坐标系。分1111113 10,1,)(04),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,4),(,4)223 3(3,1,).(0,2,4),(,0),222(,).2403330422QttABCMAQt C BC MBC Mnx y zn C Byzn C Mxy （1）设（所以分设面法向量则令，分，分111111(2 3,2,1)5/,/,(3,1,)=(2 3,2,1)611,.7221427.8122(0,0,4),.9|ccnAQBC MAQnAQnttB QAQBC MBQCCC
7、BC Mdn CCd 解得，分使平面即，令即，分解得分所以当时，平面分（）设点到平面的距离为分2221|444 17.1117|172 3214 17.1217nCBC M 分所以点到平面的距离为分第 5 页 共 8 页20.（本小题满分 12 分）20.（本小题满分 12 分）解：（1）补全的 22 列联表如下：一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200.2 分零假设为0H：性别与对活动的观感程度相互独立.3 分根据表中数据，计算得到22200(30 5590 25)30012.70655 145 120 80319，.4 分根据小概率值0.1的独立性检验，没有充分证
8、据推断0H不成立，因此我们可以认为0H成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.5 分（2）设一次摸球摸出 2 个红球的事件为 A，摸出 1 个红球的事件为 B，没摸出红球的事件为 C，则 2326C1C5P A，113326CC5C3P B，2326C1C5P C，.7 分由题意，X 可取 200，150，100，50，01112005525P X；31615025525P X，3311111002555525P X；3165025525P X，11105525P X，.9 分所以X的分布列为X200150100500P1256251125625125.10 分随机变量X的数学期望：1
9、61161()2001501005001002525252525E X .12 分第 6 页 共 8 页21.（本小题满分 12 分）解：21.（本小题满分 12 分）解：（1）因为12|2 3FF，得3c，.1 分又因为经过点(3,2)A，故122aAFAF2222(33)(20)(33)(20)422，.2 分得2222bca，.3 分所以E的方程为2212yx.4 分（2）证明：.设,H x y，11,M x y，22,N xy.则221112yx，222212yx，即221121yx，222221yx.5 分设PMMHPNHN，则1PMPNMHHN ，即112211222,12,1,x
10、yxyxx yyxx yy.6分整理得121212122(1)111xxyyxxxyyy，.7 分所以2222122 1xxx，2222121yyy.8 分将代入，得2222212211xxy.9 分将代入，得22221211xy，.10 分即42xy.11 分所以点H恒在定直线420 xy上.12 分第 7 页 共 8 页22.（本小题满分 12 分）22.（本小题满分 12 分）解：（1）当1a 时，1lnxf xex，函数 f x的定义域为0,.所以 11xfxex，.1 分因为 fx在0,上单调递增，且 10f.2 分所以当0,1x时，0,fx f x单调递减，当1,x时，0,fx f
11、 x单调递增.故 f x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.3 分（2）设 21cosg xf xx，0,x.则 22 ln(1)cosxg xeaxx，.4 分所以 22sin1xagxexx.5 分当0a 时，0gx，所以 g x在0,上单调递增，所以 0022 ln1 cos01g xgea，满足题意.6 分0a 时，设 h xgx，则 222cos0(1)xah xexx.所以 h x在0,上单调递增，即 gx在0,上单调递增.7 分因为 0022sin022geaa.8分（i）当01a时，0220gxga，g x在0,上单调递增，所以 0022 ln1 cos01g xgea，满足题意.9 分（ii）当 22sin01age，即1ae时，对任意的0,x，0gx，所以 g x在0,上单调递减，此时 0022 ln1 cos01g xgea，不合题意.10 分第 8 页 共 8 页（iii）当11ae时，因为 gx在0,上单调递增.且 2022201aggae，所以00,x，使00gx，且当00,xx时，gx单调递减.此时 0022 ln1 cos01g xgea，不合题意.11 分综上，实数a的取值范围为,1.12 分
