1、第二次联合诊断检测（数学）参考答案 第 1 页 共 5 页2023 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第二次联合诊断检测 数学参考答案 一、单选题 18 CADA CBCA 第 8 题提示：当ex ay与lnyx相切或相离时存在公切线，由于当0a时，x aye是xye向右平移a个单位得到的，当0a时，x aye是xye向左平移a个单位得到的，只需考虑ex ay与lnyx相切时a的取值，设此时切点横坐标为0 x，公切线斜率相等001xaex，函数值相等有00lnxaex，联立可知0 x，lna，故所求a的范围是(ln，二、多选题 9.BCD 10.BCD 11.AB 12.BCD 第 11 题
2、提示：由ACBD于点O，OAOCOD，ACD为等腰直角三角形，A 正确；由题知BD 平面APC，所以平面PAC 平面ABCD，B 正确；过P作PHAC于H，则PH 平面ABCD，若APCP，则H不为点O，C 错误；设H到 AB BC CD DA，距离分别为1234,d d d d，若P到 AB BC CD DA，距 离 均 相 等，则222222221234dPHdPHdPHdPH，即1234dddd，故点H为DABDCB，角平分线的交点，当ADAB时，H不在DAB的平分线上，矛盾，D 错误 第 12 题提示：(0,1x时，ln(1)0 x，sin0 x，且都单调递增，故()f x在(0,1上
3、单调递增.又()f x为奇函数，(0)0f，()f x在 1,1上单调递增.又()(2)f xf x，将()f x在 1,1上的图象关于x轴对称，再向右平移2个单位即得()f x在1,3上的图象，且()(4)f xf x，周期为4，其大致图象如图，(2023)f x为偶函数()f x关于2023x 对称，C 正确；11(1)ln2sin1ln22fe，1()2f x 在 2,6上有4个零点，它们的和为12，D 正确 三、填空题 13.67 14.10 xy 或10 xy 15.163 16.（1）92；（2）(1)2k k 第 16 题提示：观察图形可知，第n行第k列的图形点数为(1)21(1
4、)(21)(1)12knknnkn 第二次联合诊断检测（数学）参考答案 第 2 页 共 5 页第 3 行第 8 列的点数为92，1(1)2(1)(1)2(1)222nnknkknkkkaa 四、解答题 17（10 分）解：（1）设公比为q，由题142332a aa a，14,a a是方程214320 xx的两根，10a，12a，416a ，2q 111(1)2nnnnaa q 5 分（2）2nnnb，设nb的前n项和为nT 231123122222nnnnnT 234111231222222nnnnnT 两式相减得231111111212222222nnnnnnT 222nnnT 10 分 1
5、8.（12 分）解：（1）由题可得下表 满意 不满意 合计 在校学生 10 40 50 非在校学生 40 10 50 合计 50 50 100 设零假设0H：学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校无关 220.001100(40 40 10 10)3610.828=50 50 50 50 依据小概率值0.001的独立性检验，推断0H不成立，即认为学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关，此推断犯错误的概率不大于0.0016 分（2）由题抽取一名学生回答不满意的概率估计为5011002，X的可能值为1,2,4,5 1(1)2P X，1 11(2)2 24P X，1 1 1 11(4
6、)2 2 2 216P X 3(5)1(1)(2)(4)16P XP XP XP X ，所以X的分布列为 X 1 2 4 5 P 12 14 116 316 第二次联合诊断检测（数学）参考答案 第 3 页 共 5 页111335124524161616EX 12 分 19.（12 分）解：（1）2 coscos(1cos2)3aABbAc，22 coscos2 cos3aABbAc，由正弦定理22sincoscos2sincos3sinAABBAC 2cos(sincossincos)3sinAABBAC，2cossin()3sinAABC 2cossin3sinACC，3cos2A，6A 6
7、 分（2）由题1sin142bcAbc 222222cos4 324 384 3abcbcAbcbc 周长284 342 234abcabc（或 624）等号成立时2 23a（或62），2bc 12 分 20.（12 分）解：（1）由BC 平面BDE，BD平面BDE知BCBD 在矩形EFBC由,BFCE ECEF，1,2,3EFFBEC知2BC 设(02)ABxx，则2,1AFDEx CDx 故22221BDABADx，22(1)CDx 由勾股定理：2222221(2)(1)BDBCCDxx，解得1x，AB的长度为1 5 分（2）因为EDAD，,EDDC ADDCD AD DC平面ABCD，所
8、以ED 平面ABCD.结合DADC知：,DA DC DE两两相互垂直；故以D为原点，,DA DC DE 为 x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.所以()0 0 0D,()1 0 0A,()11 0B,()0 2 0C,()0 0 1E,1,0,1F.所以()()()()0111 0 011 00 21BF,EF,BC,EC,=-=-=-.（7 分）设1111,nx y z为平面BCE的一个法向量，所以11111100020n BCxyn ECyz ，取11x，则11,1,2n；B A D C第二次联合诊断检测（数学）参考答案 第 4 页 共 5 页设2222,nxyz 为平面BEF的一个法向
9、量，所以2222200nEFxnBFyz ，取21y，则20,1,1n 记所求二面角大小为，则121233cos262n nnn ；所求二面角大小为5612 分 21.（12 分）解：（1）当1km时，直线:1l yx，椭圆上顶点为(0,1),1b，连结11,AF BF，有1122|4AFBFAFBFa，而2ABF的周长为4a，所以l经过1F，故1(1,0)F，所以21 12a ，所以22:12xCy4 分（2）联立直线l与C的方程，有222(12)4220kxkmxm，设1122(,),(,)A x yB xy，有2121222422,1212kmmxxx xkk，有222(,)1212km
10、mDkk，由D在圆2234xy上，有222223()()12124kmmkk，整理有22223(12)4 16kmk，原点O到直线l的距离2|1mdk，22222 2 12|112kmABkk，所以OAB的面积22222(12)12OABmkmSk，法一：222222222(12)2(12)2122(12)2OABmkmmkmSkk 等号成立时22212mkm，结合22223(12)4 16kmk解得212k，21m OAB面积的最大值为2212 分 法二：22222(12)12OABmkmSk22223(12)(101)8(14)kkk 令21(01)14ttk，32(1)(53)322OA
11、BStt，第二次联合诊断检测（数学）参考答案 第 5 页 共 5 页等号成立时13t，212k，21m OAB面积的最大值为2212 分 22.（12 分）解：（1）()2axfxae，当0a时，()f x无极值；当0a时，由()0fx得12lnxaa，()f x在12(,ln)aa单调递减，在12(ln,)aa为单调递增，当0a时，()f x极小值为22(1 ln)aa5 分（2）即0 x，关于x的不等式2210axexax 恒成立，设2()21axg xexax，则()22axg xaeax，2()2axgxa ea，（i）当0a 时，()0gx，()g x单调递增，(0)20ga，x 时
12、，()g x 存在00 x，使得0()0g x，()g x在0(0,)x上单调递减 当0(0,)xx时，()(0)0g xg矛盾（ii）当0a 时，令()0gx，解得12lnxaa ()g x在12(,ln)aa上单调递减，在12(ln,)aa上单调递增 若12ln0aa即2a 时，()g x在(0,)上单调递增 2()(0)20g xgaa，()g x在(0,)上单调递增，()(0)0g xg，满足条件 若02a时，()g x在12(0,ln)aa上单调递减，此时2()(0)20g xgaa()g x在12(0,ln)aa上单调递减，()(0)0g xg，矛盾 综上，实数a的取值范围2,12 分
