1、二、一元二次方程（一） 课前预习1一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n
2、0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式是 （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。（二） 课题讲解1、基本概念【考点讲解】(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程 (2)一般表达式： (3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。【典型例题】例1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
3、）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。【针对性练习】1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。3、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=12、方程的解【考点讲解】概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足
4、，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。【针对性练习】1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知m是方程的一个根，则代数式 。3、已知是的根，则 。4、方程的一个根为（ ） A B 1 C D 5、若 。3、解法【考点讲解】方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法【典型例题】例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。【针对性练习】1、下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，【
5、典型例题】例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、已知,则的值为 。变式：已知,且,则的值为 。【针对性练习】1、以与为根的一元二次方程是（）A BC D2、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 3、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程：的解是 。5、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为
6、 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。【典型例题】例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、 已知为实数，求的值。例4、 分解因式：【针对性练习】1、试用配方法说明的值恒小于0。2、已知，则 .3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。4、如果,那么的值为 。类型四、公式法条件：公式： ,【典型例题】例1、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否
7、把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。【典型例题】例1、 已知，求代数式的值。例2、已知是一元二次方程的一根，求的值。4、根的判别式【考点讲解】根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。【典型例题】例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？【针对性练习】1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .3、当
8、取何值时，方程的根与均为有理数？5、方程类问题中的“分类讨论”【典型例题】例1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。6、应用解答题【考点讲解】“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”问题；“图表”类问题【典型例题】例1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？例2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？例3、A、B两地间的路程为36
9、千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.7、根与系数的关系【考点讲解】前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。【典型例题】例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【针对性练习】1、已知，求的值。2、已知是方程的两实数根，求的值。1、解方程： 2、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。
