1、例析立体几何中的排列组合问题春晖中学 过月圆在数学中,排列、组合无论从内容上还是从思想方法上,都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势,体现了考试大纲要求的在知识交汇处命题的指导思想,应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型,解决这类问题的基本方法是以点带面法,下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点11 共面的点例1(1997年全国高考(文)四面体的一个顶点为A,从其它顶点与棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有( )A30种 B33种 C36种 D39种解析:四面体有4个顶点,6条棱有6个中点,每个面上的6个点共面。
2、点A所在的每个面中含A的4点组合有个,点A在3个面内,共有个组合;点A在6条棱的3条棱上,每条棱上有3个点,这3点与这条棱对棱的中点共面。所以与点A共面的四点组合共有个。答案:B点评:此题主要考查组合的知识和空间相像能力;属97文科试题中难度最大的选择题,失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。12 不共面的点例2(1997年全国高考(理)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )A150种 B147种 C144种 D141种解析:从10 个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类:第一类,取出的4个点位于四面体的同一
3、个面内,有种;第二类,取任一条棱上的3个点及对棱的中点,这4点共面有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形,它的4个顶点共面,有3种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同取法共有种。答案:D。点评:此题难度很大,是当时高考中得分最低的选择题,对空间想像能力要求高,很好的考察了立体几何中点共面的几种情况;排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2 直线例3(2005年全国高考卷(理)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( )A18对 B24对 C30对 D36对分析:选项数目不大,若不宜用公式直接求解,可考虑用树图法。解析:法一:一条底面棱有5条直线与其异面。例:与A
4、B异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线;例:与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线;例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数两遍。共有。 法二:一个四面体中有3对异面直线,在三棱柱的六个顶点中任取四个,可构成四面体的个数为:故共有异面直线。答案:D点评:解法一是例举法,把符合要求的所有的情况全列出来,列举时一定要按一定的次序进行,以防遗漏和重复,这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新,大智若愚之感,在近年高考中,这一方法经常用
5、到;解法二是利用影射,构造四面体解决的,有较高的技巧,在竞赛中时常出现。3 平面例4 、是两个平行平面,在内取4个点,在内取5个点,这9个点最多能确定多少个平面?解析:例5(2002年全国高考)从正方体的六个面中选3个面,其中有两个面不相邻的选法共有( )A8种 B12种 C16种 D20种解析:4 模型41 平面多边形例6(2004年高考湖南卷) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为( )A56 B52 C48 D40解析:由于正方体各个顶点的位置一样,故可研究一个顶点,比如B点。以B为直角顶点的三角形有:,共6个,故正方体中共有。答案:C点评:在中直角顶点只
6、有一个,从直角顶点出发考虑问题可避免重复,正方体中各顶点位置均等,抓住这一点也是问题解决得关键。42 空间多面体例7 从正方体的八个顶点中任取四个点,所取的四个点中能构成四面体的取法共有_。5 其它例8(2005年高考江苏卷)四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A96 B48 C24 D0解析:如图所示,与每条侧棱异面的棱分别为2条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个仓库中,计种。从而安全存放的不同放法种数为(种)答案:B点评本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数,