1、三角形全等之截长补短(讲义)一、知识点睛截长补短:题目中出现_时,考虑截长补短;截长补短的作用是_二、精讲精练1. 已知:如图,在ABC中,1=2,B=2C求证:AC=AB+BD2. 如图,在四边形ABCD中,A=B=90,点E为AB边上一点,且DE平分ADC,CE平分BCD求证:CD=AD+BC3. 已知:如图,在正方形ABCD中,AD=AB,B=D=BAD=90,E,F分别为CD,BC边上的点,且EAF=45,连接EF求证:EF=BF+DE4. 已知:如图,在ABC中,ABC=60,ABC的角平分线AD,CE交于点O求证:AC=AE+CD5. 已知:如图,在ABC中,A=90,AB=AC,
2、BD平分ABC,CEBD交BD的延长线于点E求证:CE=BD【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分;把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系【精讲精练】1. 补短法:证明:如图,延长AB到E,使BE=BD,连接DEABD是BDE的一个外角ABD=EBDEBE=BDE=BDEABD=2EABD=2CE=C在ADE和ADC中ADEADC(AAS)AE=ACAC=ABBE=ABBD截长法:证明:如图,在AC上截取AF=AB,连接DF在ABD和AFD中ABDAFD(SAS)B=AFD,BD=FDB=2CAFD=2CAFD是DFC的一个外角AFD=C +FDCFDC=CDF=FCBD=FCAC=A
3、F+FC=AB+BD2. 证明:如图,在CD上截取CF=CBCE平分CBD1=2在CFE和CBE中CFECBE(SAS)CFE=BB=90CFE=DFE =90A=90DFE=ADE平分ADC3=4在DEF和DEA中DEFDEA(AAS)DF=ADCD=DF+CF =AD+BC3. 证明:如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AGD=ABC=90ABG=D=90在ABG和ADE中ABGADE(SAS)AG=AE,1=2BAD=90,EAF=452+3=451+3=45即GAF=45GAF=EAF在AGF和AEF中AGFAEF(SAS)GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE4. 证明:如图,
4、在AC上截取AF=AE,连接OFAD,CE为ABC的角平分线1=2,3=4在AEO和AFO中AEOAFO(SAS)5=6ABC=601+2+3+4=180-B =180-60 =1202+3=60AOC=180-60 =1205=6=7=8=60在OFC和ODC中OFCODC(ASA)CF=CDAC=AF+FC =AE+CD5. 证明:如图,延长CE,交BA的延长线于点FCEBDBEF=BEC=90BAC=90CAF=BAD=903=41=5在BAD和CAF中BADCAF(ASA)BD=CFBE平分ABC1=2在BEF和BEC中BEFBEC(ASA)EF=ECCE=CFCE=BD三角形全等之截
5、长补短每日一题1. (4月28日)在ABC中,ADBC于D,B=2C求证:CD=AB+BD2. (4月29日)如图,在ABC中,ABAC,1=2,P为AD上任意一点,连接BP,CP求证:AB-ACPB-PC3. (4月30日)已知:如图,1=2,P为BN上一点,且PDBC于点D,A+C=180求证:BD=AB+CD4. (5月2日)如图,在正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分DAE,连接EF求证:AE=BE+DF【参考答案】1. 证明:如图,在线段DC上截取DE=BD,连接AEADBCADB=ADE=90在ABD和AED中ABDAED(SAS)B=1,AB=AEB=2C1=2C1是
6、AEC的一个外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED=AE+BD=AB+BD(如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明)2. 证明:如图,在线段AB上截取AE=AC,连接PE则AB-AC=AB-AE=EB在AEP和ACP中AEPACP(SAS)PE=PC在PEB中,PB-PEEBPB-PCPB-PC(延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论)3. 证明:如图,在BC上截取BE=BA,连接PE在ABP和EBP中ABPEBP(SAS)A=3A+C=180,3+4=1804=CPDBCPDE=PDC=90在PDE和PDC中PDEPDC(AAS)DE=DCBD=BE+E
7、D=AB+CD(过点P作PFBA于F,也可进行证明)4. 证明:如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG四边形ABCD为正方形AB=AD,D=ABC=BAD=90ABG=D=90在ABG和ADF中ABGADF(SAS)1=2,5=GAF平分DAE1=31+5=903+G=901+3+4=902+3+4=902+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截长补短(随堂测试)6. 已知:如图,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,C=60,BD平分ABC求证:BC=AB+AD【参考答案】1. 证明略提示:在BC上截取BE=AB,证明ABDEBD,再证明CE=AD三角形全等
8、之截长补短(作业)1. 如图,在ABC中,BAC=60,ABC=80,AD是BAC的平分线求证:AC=AB+BD2. 如图,AC平分BAD,CEAB于E,B+D=180求证:AE=AD+BE3. 如图,在ABC中,A=100,ABC=40,BD是ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,连接EC求证:BC=AB+CE4. 如图,在梯形ABCD中,ADBC,CEAB于E,BDC为等腰直角三角形,BDC=90,BD=CD,CE与BD交于F,连接AF求证:CF=AB+AF【参考答案】1. 证明略提示:方法一:在AC上截取AE=AB,连接DE,证明ABDAED,再证明CE=DE;方法二:延长AB到E
9、,使BE=BD,证明ADEADC2. 证明略提示:在AE上截取AF=AD,证明CDACFA,再证明BE=FE3. 证明略提示:在BC上截取BF=BA,连接DF,证明ABDFBD,再证明DFCDEC4. 截长法:证明:如图,在CF上截取CM=BA,连接DMBDC为等腰直角三角形,BD=CD1=DCB=45CEAB,BDC=90CEB=BDC=902=34=5在ABD和MCD中ABDMCD(SAS)DA=DM,6=7ADBC7=1=456=458=457=8在ADF和MDF中ADFMDF(SAS)AF=MFCF=CM+MF=AB+AF补短法:证明:如图,延长BA交CD的延长线于点GBDC为等腰直角三角形GDB=BDC=90,5=45CEABCEB=BDC=901=23=4在GBD和FCD中GBDFCD(ASA)BG=CF,DG=DFADBC6=5=457=456=7在GDA和FDA中GDAFDA(SAS)AG=AFBG=AB+AGCF=AB+AF