1、高二全能知识竞赛 数学试题时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合，则（ ） A. B. C. D.2、等于（ ） A.-1 B. 1 C. D.3、将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象的一条对称轴方程是（ ）A. B. C. D.4、若p：= +2k，kZ，q：y=cos（x+）（0）是奇函数，则p是q的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要的条件5、设 a0,b0,且不等式恒成立,则实数 k 的最小值等于（ ）A.0 B.4 C.-4 D.-2 6、函数的图象可能是（ ）7、已知一个确定的二面
2、角和是空间的两条异面直线,在下面给出的四个条件中,能使和所成的角也确定的是 （ ）A./且/ B./且 C.且 D.且 8、已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为（ ）A B C D9、 设实数x，y满足约束条件，则z= 的最大值为（）A B C D310、若为锐角，且满足，则（ ） A. B. C. D.11等差数列的前项之和分别为若，则的值为（）. .12.设函数的定义域为D,若对于任意，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ） A. B. -4027 C. 4027 D.-8
3、054二、填空题（共4小题，共20分）13直线l过点P (1，2)且点A(2，3)和点B(4，6)到直线l的距离相等，则直线l的方程为 。14正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ，该正四面体的体积为16已知数列an满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an + sin2 ，则该数列的前10项和为 三、解答题（共6道大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 =（1）求角C的大小；（2）若c=2，求AB
4、C面积最大值 (本小题满分10分)18、 (本小题满分12分)已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16，(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围. 19(本题 12 分)已知函数，且. (1)若，求实数a的值； (2)若或，求实数a的取值范围. 20.（满分12分）已知圆，圆，以及直线（1）求圆被直线截得的弦长；（2）当为何值时，圆与圆的公共弦平行于直线；（3）是否存在，使得圆被直线所截的弦中点到点的距离等于弦长度的一半？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由21、（本小题满分12分）如图，四棱锥中， 侧面为等边三角形， ，。（1）证明：；（2
5、）求二面角的平面角的正弦值。22（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； （3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值。 高二全能知识竞赛 数学答案 一选择题BBABC BDCBD CD填空题13，x+2y-3=0或x=-1，14，15， 16，7717，【解答】解：（1）=，sinBcosC2sinAcosC=cosBsinC，sinA=2sinAcosC，sinA0，（2），可得：ab4，即：ABC面积的最大值为，但且仅当ABC为等边三角形时成立18 【解】(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4
6、，不等式g(x)0的解集为x|2x2时，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)对一切x2，均有不等式m成立，而(x1)2222(当且仅当x3时等号成立)，实数m的取值范围是(，2 经检验符合题意 ， ()设由于或 当时，总有不符合题意 当时，由的图像可得 或成立则 ()解法 2:设由于或 当时，总有不符合题意 当时，若 若，则 则 综上 20.解：（1）因为圆的圆心，半径，所以，圆心到直线的距离：，由勾股定理可知，圆被直线截得的弦长为4分（2）圆与圆的公共弦方程为，因为该公共弦平行于直线，令，解得：经检验符合题意，故所求；7分（3）假设这样实数存在设
7、弦中点为，由已知得，即所以点在以弦为直径的圆上10分设以弦为直径的圆方程为：，则消去得：，因为所以方程无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在12分 21. 答案：（1）略 （2）（1） 解：取的中点，连结，,则四边形为矩形。即：，,因为侧面为等边三角形，,所以，且又因为，所以，所以，而，所以。 -5分 （2）过点作于，因为，所以， 又因为，即，由平面与平面垂直的性质，知,在中，由，得，所以。过点作 于，取中点,连结，则为二面角的平面角，因为 ，所以，所以,在中，由，求得。在中， ,所以 。由，得 ，即，解得，所以,故二面角的平面角的正弦值为。 -12分22. 答案：（1） （2） （3）（1）解析：（1） -3分（2）由可知，代入可得：时，代入可得：而，即是公比为的等比数列。在中，令可得： -8分（3）可知为递减数列为递增数列即的最大值为 -12分
