1、2020学年度第二学期高三年级一模考试 数学（理科）试卷（A卷） 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是( )A BC D2设是虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是（ ）A2011 B2012 C4022 D40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染
2、人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）平均数；标准差；平均数且标准差；平均数且极差小于或等于2；众数等于1且极差小于或等于1。ABCD5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为A1BC1的（ ）A垂心B内心C外心D重心16.设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是（ ）A B C D7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A16B4 C8D28已知函数图像的一部分（如图所示），则与的值分别为（ ）A B C D9. 双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线
3、与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）ABCD10. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 11.已知圆的方程，若抛物线过点A(0，1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(x0) D.1 (x0)12. 设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，则=（ ）A. B C D第卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间6，6，内任取一个元素
4、xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为 。14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 15. 在中，是边中点，角，的对边分别是，若，则的形状为 。16.在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17.（本题12分）在中，是角对应的边，向量,，且. （1）求角；（2）函数的相邻两个极值的横坐标分别为、，求的单调递减区间.18.（本题12分）已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将BA
5、E沿AE翻折成，F为的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）证明：；（3）求面所成锐二面角的余弦值.19.（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E.20.（本题12分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（）求椭
6、圆的方程；（）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.求直线是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。21. （本题12分）已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22. （本小题满分10分） 选修41：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两
7、点，D是圆上一点，且ABCD，DC的延长线交PQ于点Q（1） 求证：（2） 若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD.23(本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 （ab0，为参数），以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M 对应的参数= ，与曲线C2交于点D （1）求曲线C1，C2的方程；（2）A（1，），（2，+）是曲线C1上的两点，求 的值。24(本小题满分l0分) 选修45：不等式选讲已知关于x的不等式（其中）（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围201
8、32014学年度第二学期高三年级一模考试 数学（理科）答案一、选择题 （A）卷CACDD DBABC CC（B）CCADD BDACB CC二、填空题13、 14、 15、等边三角形 16. 2005三、解答题17、解:（1）因为，所以，故,. -5分（2）= -8分因为相邻两个极值的横坐标分别为、，所以的最小正周期为, 所以 -10分由所以的单调递减区间为. -12分18、解:（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=BC=a，ABE为等边三角形，则B1M=，又因为面B1AE面AECD，所以B1M面AECD，所以 -4分（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，O
9、E=OD所以FOB1E，所以。-7分(3)连结MD，则AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,所以1，,设面ECB1的法向量为，令x=1, ，同理面ADB1的法向量为， 所以，故面所成锐二面角的余弦值为.-12分19.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i0,1,2,3,4)，则（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 3分（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 7分（3）的所有
10、可能取值为0,2,4. 由于与互斥，与互斥，故， 。所以的分布列是024P随机变量的数学期望 12分20.解：（）因为点在椭圆上，所以， 所以， - 1分因为椭圆的离心率为，所以，即， - 2分解得， 所以椭圆的方程为. - 4分（）设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，所以， 因为为中点，所以，即.所以， - 8分因为直线，所以，所以直线的方程为，即 ，显然直线恒过定点. - 10分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. 综上所述直线恒过定点.- 12分21.解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以 故函数的解析式为 2分 （2）证明：当且时，设因为，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，所以 又因为，所以当时，此时单调递减，所以所以当时，即 6分（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（）当，时，在区间上单调递增，不满足最小值是（）当，时，在区间上单调递增，也不满足最小值是（）当，由于，则，故函数 是上的增函数所以，解得（舍去）（）当时，则当时，此时函数是减函数；当时，此时函数是增函数所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值 12分
