1、2020年高一数学上期末试题(及答案)一、选择题1设集合，则（ ）ABCD2在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）ABCD3若是的增函数,则的取值范围是( )ABCD4对于函数，在使恒成立的式子中，常数的最小值称为函数的“上界值”，则函数的“上界值”为（ ）A2B2C1D15已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为A，2B，C，2D，46若二次函数对任意的，且，都有，则实数的取值范围为（）ABCD7已知函数，则的图象大致为（ ）ABCD8下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD9偶函数
2、满足，且当时，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是 ( )ABCD11若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为( )ABCD12下列函数中，在区间上为减函数的是ABCD二、填空题13已知，则不等式的解集为_14已知函数（，为常数），若，则的值为_15如果函数是幂函数，且图像不经过原点，则实数_.16已知，其中是方程的解，是方程的解，如果关于的方程的所有解分别为，记，则_17如图，矩形的三个顶点分别在函数，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为_.18若点在幂函数的图像上，则函数的反函数=_
3、.19某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.20若存在实数，使得时，函数的值域也为，其中且，则实数的取值范围是_.三、解答题21已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，求实数的取值范围.22已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）求在区间（)上的最小值.23已知全集，集合.（）若，求； （），求实数a的取值范围.24已知函数是二次函数,.(1)求的解析式;(2)函数在上连续不断,试探究,是否存在,函数在区间内存在零点,若存在,
4、求出一个符合题意的,若不存在,请说明由.25义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.（1）求的值，并证明：当时，；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.26若是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求得解.【详解】由题得，.所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2C解析：C【解析】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，时，则在上单调递增，
5、所以得：，解得，故选C点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案3A解析：A【解析】【分析】利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围【详解】由于函数是的增函数，则函数在上是增函数，所以，即；且有，即，得，因此，实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系4C解析：
6、C【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.【详解】令 则 故函数的“上界值”是1；故选C【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.5A解析：A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数满足且，且在区间上的最大值为2，所以=2，由解得，即的值分别为，2故选A考点：本题主要考查对数函数的图象和性质点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n的方程6A解析：A【解析】【分析】由已知可知，在上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解
7、【详解】二次函数对任意的，且，都有，在上单调递减，对称轴，解可得，故选A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.7C解析：C【解析】【分析】【详解】因为函数，可得是偶函数，图象关于 轴对称，排除 ；又时，,所以,排除 ,故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将
8、不合题意的选项一一排除.8A解析：A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于21,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A9D解析：D【解析】试题分析：由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，故正确.考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
9、过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解10C解析：C【解析】若，则此时是偶函数， 即 若 ，则 函数的周期是4， 即 ，作出函数在 上图象如图，若，则不等式 等价为 ，此时 若 ，则不等式等价为 ，此时 ，综上不等式 在 上的解集为故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键11C解析：C【解析】【分析】【详解】对于一切成立，则等价为a对于一切x(0,)成立，即ax对于一切x(0,)成立，设y
10、=x,则函数在区间(0,上是增函数x2=，a.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.12D解析：D【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：【解析】当时，解得 ；当时，恒成立，解得：，合并解集为 ，故填：.14【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所
11、以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：【解析】【分析】由，求得，进而求解的值，得到答案.【详解】由题意，函数（，为常数），且，所以，所以，又由.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.153【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3【解析】【分析】根据幂函
12、数的概念列式解得,或,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.【详解】因为函数是幂函数,所以,即,所以,所以或,当时,其图象不过原点,符合题意;当时,其图象经过原点,不合题意.综上所述:.故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.16【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以解析：【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得,的等量关系,代入解析式可得分段函数.分别解方程,求得方程的解,即可得解
13、.【详解】是方程的解,是方程的解,则,分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数,所以函数和图像关于对称所以函数与函数和图像的两个交点也关于对称所以函数与的交点满足,解得 根据中点坐标公式可得所以函数当时,关于的方程,即解得当时,关于的方程,即所以故答案为:【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.17【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：【解析】【分析】先利用已知
14、求出的值，再求点D的坐标.【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.因为点在函数的图像上，所以，.因为点在函数的图像上，所以.又因为，所以点的坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式解析：【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以幂函数的解析式
15、为，则，所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题1924【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24【解析】由题意得：，所以时，.考点：函数及其应用.20【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根，利用二次方程解出的范围即可.【详解】为增函数，且时，函数的值域也为，
16、相当于方程有两不同实数根,有两不同实根，即有两解，整理得：，令 ，有两个不同的正数根，只需即可，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.三、解答题21（1）奇函数；（2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及与的关系，可得答案；（2）由（1）知函数是奇函数，将原不等式化简为，判断出的单调性，可得关于的不等式，可得的取值范围.【详解】解：（1）函数的定义域是，因为，所以，即，所以函数是奇函数.（2）由（1）知函数是奇函数，所以，设，.因为是增函数，由定义法可证在上是增函数，则函数是上的增函数.所以，解得，故实数的
17、取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.22（1）（2）【解析】【分析】(1)令,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令,则时,则,故当时,有最小值为,当或1时,有最大值为0,该函数的值域为;(2)由(1)可知,当,即时,函数在单调递减,当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,综上所述:.【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.23（）或（）【解析】【分析】（）时，化简集合B,根据集合交集补集运算即可（）由可知，分类讨论，即可求解.【详解】（）当时， ，或 .
18、 故 或. （）当时，即；当时，即.，解得. 综上：.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24(1);(2)存在,.【解析】【分析】（1）由,知此二次函数图象的对称轴为, 由可设出抛物线的解析式为，再利用求得的值；（2）利用零点存在定理，证明即可得到的值.【详解】(1)由,知此二次函数图象的对称轴为, 又因为,所以是的顶点, 所以设，因为,即，所以设 所以(2)由(1)知 因为 即因为函数在上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数在上存在零点.所以存在使得函数在区间内存在零点.【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻
19、辑推理能力和运算求解能力.25(1)答案见解析；(2)或.【解析】试题分析：(1)利用赋值法计算可得，设，则，利用拆项：即可证得：当时，；(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或.试题解析：(1)令，得，令， 得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，, 因为所以，所以为增函数,所以,即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.26（1） （2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1），因为是奇函数.所以，得； 经检验满足题意（2）根据（1）可知化简可得所以可知当时，所以对任意都有所以， 即【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.
