1、1 2020 届高三第二次模拟考试 数学(理)试题 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),共 23 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷 一选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A=xZ|x-1|0,则下列不等式恒成立的是() 22 . Aab 1 2 1 .( )log 2 a Bb.22 ab C 11 22 .loglogDab 7.已知 25 2 ()()xa x x 的展开式中所有项的系数和为-2,则展开式中含 x 项的系数为() 2 A.80B.-80C.40D.-40 8.已知双曲线 22 22 1(0
2、,0) xy ab ab ,过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点 P,以F 为圆心,FP 为半径作圆,该圆与双曲线交于 M,N 两点,且 M,N,F 三点共线,则双曲线的离心率为() .3A.2BC.2.5D 9.正方体 1111 ABCDA B C D中,M 在平面 1111 A B C D上,N 为 11 C D的中点,连接 1 A N且 P 在线段 1 A N上.已知 1 2,5,BBBM则 PM 的最小值为() A.1 4 .51 5 B.21C.2D 10.若抛物线 2 2ypx的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且, 3 AFB 弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的
3、射影为 N,则 2| | MN AB 的最大值为() A.1B.2 3 . 3 C.3D 11.在数列 n a中, * 12331 1,2,3,( 1)1(), n nn aaaaanN 数列 n a的前 n 项和为, n S下列结论正 确的是() A.数列 n a为等差数列 18 .11Ba 17 .3Ca 31 .146DS 12. 已 知 函 数 1 ( )cos2(sincos ) 3 f xxaxx , 且 对 于 任 意 的 12 ,(,),x x 当 12 xx时 都 有 12 12 ()() 1 f xf x xx 成立,则实数 a 的取值范围是() 1 1 ., 4 4 A
4、22 ., 33 B 22 ., 66 CD.-1,1 第 II 卷 二填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量(1,1),(2,1),ab 若()()abab ,则=. 14.记 n=b(moda)表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b,例如 8=2(mod6)表示 8 除以 6 后所得的余 数为 2.执行右图的程序框图,若输入的 n 值为 5,则输出的 n 值为. 3 第 14 题图第 15 题图第 16 题图 15.如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形,现分别从图(2)和图(3)中各随机选取一个点,则此两点均取 自阴影部分的概率为. 16.半正
5、多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称 美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四 个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等 边体.若二十四等边体的棱长为 2,则其体积为;若其各个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 . 三解答题(共70 分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.第1721 题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题:(共 60 分) 17.(12分)
6、已知多面体P-ABCD中,AB/CD,BAD=PAB=90, 1 , 2 ABPADAPDCDM是PB的中 点. (1)求证:PACM (2)求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 4 18.(12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知2sin()coscos . 6 BAC (1)求角 A 的大小; (2)若 2 2 , 3 abc求 cosC 的值. 19.(12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 12 3 , 2 FF分别为左右焦点,直线 l:x=my+1 与 椭圆 C 交于 MN 两点, 12 MF F 12 NF
7、 F的重心分别为 GH,当 m=0 时,OMN 的面积为 3 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 1 0 2 m时,证明:原点 O 在以 GH 为直径的圆的外部. 20.(12 分)近期,湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情.为了尽快遏制住疫情,我国 科研工作者坚守在科研一线,加班加点争分夺秒与病毒抗争,夜以继日地进行研究.新型冠状病毒的潜伏期检 测是疫情控制的关键环节之一.在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起,到机体出 现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.钟南山院士带领的研究团队统计了武 汉市某地区 10000 名医学
8、观察者的相关信息,并通过咽拭子核酸检测得到 1000 名确诊患者的信息如下表格: (1)求这 1000 名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x(同一组数据用该组数据区间的中点值代表). (2)新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响,为了研究潜伏期与患者性别的关系,以潜伏期是否超过 7 天 为标准进行分层抽样,从上述 1000 名患者中抽取 100 名,得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表 判断是否有 90%的把握认为潜伏期与患者性别有关. (3)由于采样不当标本保存不当采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果 “假阴性”而出现漏诊.当核酸检测呈阴性时,需要进一步进行血
9、清学 IgM/IgG 抗体检测,以弥补核酸检测漏诊 的缺点.现对 10 名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测,记每个人检测出 IgM(IgM 是近期感染的 标志)呈阳性的概率为 p(0p1)且相互独立,设至少检测了 9 个人才检测出 IgM 呈阳性的概率为 f(p),求 f(p) 5 取得最大值时相应的概率 p. 附: 2 2 () , ()()()() n adbc K ab cd ac bd 其中 n=a+b+c+d. 21.(12 分)已知函数( )(1) , xx f xaeeax g(x)=(a+1)cosx. (1)当 a=0 时,直线 y=kx 与函数 f(x)的图象相切
10、,求 k 的值; (2)若 f(x)g(x)在0,+)上恒成立,求 a 的取值范围. (二)选考题:(共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.) 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系. 直线 l 的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt (t 为参数),圆 C 的参数方程为 22cos 2sin x y (为参数). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的极坐标方程; (2)已知点 M(1,0),直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|MA|-|MB|的值. 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知 a,b,c 为正数,且满足 a+b+c=1,证明: (1) 111 9 abc (2) 8 . 27 acbcababc 6 7 8 9 10
