1、第 1页（共 19页） 2020 年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题一、选择题： （本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x29，B3，2，1，0，1，2，则 AB（） A0，1，2B1，0，1，2 C2，1，0，1，2D2，1，0 2 （5 分）设（1+i） （a+bi）2，其中 a，b 是实数，i 为虚数单位，则|3a+bi|（） A2B ?C? ?D ? 3 （5 分） 已知数列an是各项均为正数的等比数列， a12， a32a2+16， 则
2、 log2a9 （） A15B16C17D18 4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则 zx+y 的最小值为（） A8B6C1D3 5 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学 生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期 专著的概率为（） A? ? B ? ? C? ? D ? ?
3、6 （5 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABCD 为平行四边形，E，F 分别在线段 DB， DD1上，且? ? ? ? ? ? ? ?，G 在 CC1 上且平面 AEF平面 BD1G，则 ? ? ?（） A? ? B? ? C? ? D? ? 7 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，半径为 1m 的C 在 t0 时圆心 C 与原点 O 重合，C 沿 x 轴以 1m/s 的速度匀速向右移动，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x，令 ycosx， 第 2页（共 19页） 则 y 关于时间 t （0t1，单位：s）的函数的图象大致为（） AB CD 8 （5 分）? ? ? ?的展
4、开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则 展开式中 x3的系数为（） A40B30C20D10 9 （5 分）设函数 f（x）cos（x+） （x?R） （0，0）的部分图象如图所示， 如果?，? ? ? ?， ? ? ?，x1x2，且 f（x1）f（x2） ，则 f（x1+x2）（ ） A ? ? B ? ? C ? ? D? ? 10 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的半径为 4，ABC 是 边长为 6 的等边三角形，记ABC 的外心为 O1若三棱锥 PABC 的体积为 ? ?，则 PO1（） A? ?B? ?C? ?D? ? 11 （
5、5 分）设双曲线 ?： ? ? ? ? ? ?，?）的左顶点为 A，右焦点为 F（c，0） ，若 圆 A： （x+a）2+y2a2与直线 bxay0 交于坐标原点 O 及另一点 E，且存在以 O 为圆 心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF 的中点，则双曲线的离心率为（） 第 3页（共 19页） A ? ? B ?C ?D3 12 （5 分）函数 f（x）? ? ? ? ? ? ，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）+aa20 有 四个不等的实数根，则 a 的取值范围是（） A? ? ? ，?B （，1）1，+） C （，1）1D （1，0）1 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共
6、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知向量? ?与? ? 的夹角为 120， 且? ? ? ? ?，?，? ? ? ?， 则? ? ? ? ? ? 14 （5 分）已知函数 f（x）3|x a|（a?R）满足 f（x）f（4x） ，则实数 a 的值为 15 （5 分）设各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2（n2+n2）Sn2（n2+n） 0，n?N*，则数列? ? ? ?的前 2020 项和 T2020 16 （5 分）设抛物线 y22x 的焦点为 F，准线为 1，弦 AB 过点 F 且中点为 M，过点 F，M 分别作 AB
7、的垂线交 l 于点 P，Q，若|AF|3|BF|，则|FP|MQ| 三、解答题三、解答题： （共（共 70 分）分） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ? ? ? （）求角 B 的大小； （）若 a4，且 BC 边上的高为 ?，求ABC 的周长 18如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 在 AB 上，AE2EB2，且 DEAB以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且FEB60 （）求证：平面 BFC平面 BCDE； （）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ，求二面角 EDFC 的正弦值 19为了保障某治疗新
8、冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内， 武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机 抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg） 根据生产经验，可以 认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布 N（， 第 4页（共 19页） 2） 在一天内抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（3，+3 ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本 次的生产过程进行检查 （）下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品的主要药理成分含量： 9.7810
9、.049.9210.1410.049.2210.139.919.95 9.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12 经计算得? ? ? ? ? ? ?xi9.96，s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.19 其中 xi为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量，i1，2，20用样本平均数?作为 的估计值? ? ，用样本标准差 s 作为的估计值? ? ，利用估计值判断是否需对本次的生产过 程进行检查？ （）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在（ 3，+3）之外的药品件数，求 P（X1）及 X 的数学期
10、望 附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N （， 2） ， 则 P （3Z+3） 0.9974， 0.997419 0.95 20已知椭圆 ?： ? ? ? ? ? ?的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线与 C 交于 A，B 两点ABF2的周长为 ? ?，且椭圆的离心率为 ? ? （）求椭圆 C 的标准方程： （）设点 P 为椭圆 C 的下顶点，直线 PA，PB 与 y2 分别交于点 M，N，当|MN|最小 时，求直线 AB 的方程 21已知函数 f（x）eaxx1，且 f（x）0 （）求 a； （）在函数 f（x）的图象上取定两点 A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2）
11、 ） （x1x2） ，记直 线 AB 的斜率为 k，问：是否存在 x0?（x1，x2） ，使 f（x0）k 成立？若存在，求出 x0 的值（用 x1，x2表示） ；若不存在，请说明理由 请从下面所给的请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的铅笔在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一 题评分题评分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22在平面直角坐标系 xO
12、y 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 第 5页（共 19页） 的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，直线 l 的参数方程为 ? ? ? 为 ? ? 为 （t 为参数） ， 直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点 （）若点 P 的极坐标为（2，） ，求|PM|PN|的值； （）求曲线 C 的内接矩形周长的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知函数 f（x）x|xa|，a?R （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y?（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 第 6页
13、（共 19页） 2020 年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科年重庆市直属校高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题一、选择题： （本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x29，B3，2，1，0，1，2，则 AB（） A0，1，2B1，0，1，2 C2，1，0，1，2D2，1，0 【解答】解：Ax|3x3，B3，2，1，0，1，2， AB2，1，0，1，2 故选：C 2 （5 分）设（1+i） （a+bi）2，其中 a，b 是实数，i 为虚数单位，则|3a+bi|（） A2B ?C? ?D ? 【解答】
14、解：由题意可知：? ? ? ? ? ? ? ， a1，b1， 3a+bi3i， |3a+bi|3i|?， 故选：D 3 （5 分） 已知数列an是各项均为正数的等比数列， a12， a32a2+16， 则 log2a9 （） A15B16C17D18 【解答】解：数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a2+16， 2q222q+16，且 q0， 解得 q4， log2a9? ? ? ?17 故选：C 4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则 zx+y 的最小值为（） A8B6C1D3 【解答】解：由题意作平面区域如下，
15、由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得，A（4，2） ，zx+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值 故 zx+y 的最小值是6， 故选：B 第 7页（共 19页） 5 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学 生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期 专著的概率为（） A? ? B ? ? C? ? D ? ? 【解答】解：我国古代
16、有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经 、 九章算术 、 海 岛算经 、 孙子算经 、 缉古算经有着丰富多彩的内容， 这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这 5 部专著中选择 2 部作 为学生课外兴趣拓展参考书目， 基本事件总数 n? ? ? ?10， 所选2部专著中至少有一部不是汉、 魏、 晋、 南北朝时期专著包含的基本事件个数m? ? ? ? ? ? ? ?7， 则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 p? ? ? ? ? 故选：B 6 （5 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABCD 为平行四边形，E，F 分别在线段 DB，
17、 DD1上，且? ? ? ? ? ? ? ?，G 在 CC1 上且平面 AEF平面 BD1G，则 ? ? ?（） 第 8页（共 19页） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABCD 为平行四边形， E，F 分别在线段 DB，DD1上，且? ? ? ? ? ? ? ?， EFBD1，平面 ADD1A1平面 BCC1B1， G 在 CC1上且平面 AEF平面 BD1G，AFBG， ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：B 7 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，半径为 1m 的C 在 t0 时圆心 C 与原点 O 重合，C 沿 x 轴以 1m/
18、s 的速度匀速向右移动，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x，令 ycosx， 则 y 关于时间 t （0t1，单位：s）的函数的图象大致为（） AB CD 【解答】解：根据题意，C 的半径为 1，则其周长 l2， 当 t0 时，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x，此时 ycos1； 当 t? ? ?时，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x? ? ? ，此时 ycos? ? ? ? ? 0； 当 t1 时，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x2，此时 ycos21； 第 9页（共 19页） 据此排除 BCD； 故选：A 8 （5 分）? ? ? ?的展开式中，各二项式系数和为 32，
19、各项系数和为 243，则 展开式中 x3的系数为（） A40B30C20D10 【解答】解：? ?的展开式中，各二项式系数和为 2n32，n5 再令 x1，可得各项系数和为（m+1）524335，m2， 则展开式中的通项公式为 Tr+1? ? ?m5r? ? ?，令 5 ? ? ?3，可得 r4， 故展开式中 x3的系数为? ?210， 故选：D 9 （5 分）设函数 f（x）cos（x+） （x?R） （0，0）的部分图象如图所示， 如果?，? ? ? ?， ? ? ?，x1x2，且 f（x1）f（x2） ，则 f（x1+x2）（ ） A ? ? B ? ? C ? ? D? ? 【解答】解
20、：根据函数 f（x）cos（x+） （x?R） （0，0）的部分图象， 可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，2 再根据五点法作图可得 2 ? ? ? ? ?，? ? ? ，f（x）cos（2x ? ? ） 如果?，? ? ? ?， ? ? ?，x1x2， 则 2x1 ? ? ?（ ? ?， ? ?） ，2x2 ? ? ?（ ? ?， ? ?） ， f（x1）f（x2） ，2x1 ? ? 2 （x2 ? ? ）0，x1+x2? ? ? ， 则 f（x1+x2）cos（? ? ? ? ）cos? ? ?cos? ? ? ? ?， 故选：B 10 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点在
21、球 O 的球面上，球 O 的半径为 4，ABC 是 第 10页（共 19页） 边长为 6 的等边三角形，记ABC 的外心为 O1若三棱锥 PABC 的体积为 ? ?，则 PO1（） A? ?B? ?C? ?D? ? 【解答】解：由题意可得：SABC? ? ? ? ?9 ?，O1A2 ?，O1O2 设点 P 到平面 BAC 的高为 h，由 ? ? ? ? ? ?h9 ?，解得 h4 点 P 所在小圆O2（O1与O2所在平面平行）上运动，OO22 O2P2 ? PO1? ? ? ?2 ? 故选：D 11 （5 分）设双曲线 ?： ? ? ? ? ? ?，?）的左顶点为 A，右焦点为 F（c，0）
22、，若 圆 A： （x+a）2+y2a2与直线 bxay0 交于坐标原点 O 及另一点 E，且存在以 O 为圆 心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF 的中点，则双曲线的离心率为（） A ? ? B ?C ?D3 【解答】解：联立 ? ? ? ? ? ? ? ? E（ ? ? ， ? ? ） ， OEOF， ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 4a4c4e? 故选：B 12 （5 分）函数 f（x）? ? ? ? ? ? ，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）+aa20 有 四个不等的实数根，则 a 的取值范围是（） A? ? ? ，?B （，1）1，+） C （，1）1D （1，0）1
23、第 11页（共 19页） 【解答】解：当 x0 时，f（x）e1 x（1x） ， 所以当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x1 时，f（x）0，f（x）单 调递减， 且 f（0）0，当 x+时，f（x）0，当 x0 时，f（x）单调递减，所以 f（x）的图 象如图所示： 令 tf（x） ，则由上图可知当 t0 或 1 时，方程 tf（x）有两个实根； 当 t?（0，1）时，方程 tf（x）有 3 个实数根； 当 t?（，0）（1，+）时，方程 tf（x）有一个实数根， 所以关于 x 的方程程 f2（x）af（x）+aa20 有四个不等的实数根 等价于关于 t 的方程 t2at+a
24、a20 有两个实数根 t10，t21 或 t1?（0，1） ，t2?（ ，0）（1，+） ， 当 t10，t21 时，a1， 当 t1?（0，1） ，t2?（，0）（1，+）时， （02a0+aa2） （12a1+aa2） 0，解得1a0， 综上所述，a?（1，0）1 故选：D 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量? ?与? ? 的夹角为 120，且? ? ? ? ?，?，? ? ? ?，则? ? ? ? ? ? 5 【解答】解：因为向量? ?与? ? 的夹角为 120，且? ? ? ? ?，?，
25、? ? ? ?， 所以：|? ?|? ? ? ?； 则? ? ? ? ? ? ? ?cos12010（ ? ?）5； 故答案为：5 14 （5 分）已知函数 f（x）3|x a|（a?R）满足 f（x）f（4x） ，则实数 a 的值为 2 第 12页（共 19页） 【解答】解：f（x）f（4x） ， 函数关于 x2 对称， 即 f（a）f（4a） ， 即 3|a a|3|4aa|， 即 303|4 2a| 即|42a|0，得 2a40， 得 a2， 故答案为：2 15 （5 分）设各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2（n2+n2）Sn2（n2+n） 0，n?N*，则数列? ?
26、 ? ?的前 2020 项和 T2020 ? ? 【解答】解：依题意，由 Sn2（n2+n2）Sn2（n2+n）0，n?N*，可得 Sn（n2+n）（Sn+2）0 数列an的各项均为正数，Sn0 Snn2+n，n?N* 当 n1 时，a1S112+12， 当 n2 时，anSnSn1n2+n（n1）2+（n1）2n an2n，n?N* ? ? ? ? ? ? ? ?（ ? ? ? ?） T2020? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1 ? ?） ? ?（ ? ? ? ?） ? ? ?（ ? ? ? ?） ? ? ?（1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?） ? ? ?（1 ?
27、?） ? ? ? 故答案为： ? ? 16 （5 分）设抛物线 y22x 的焦点为 F，准线为 1，弦 AB 过点 F 且中点为 M，过点 F，M 分别作 AB 的垂线交 l 于点 P，Q，若|AF|3|BF|，则|FP|MQ| ? ? 【解答】解：如图，作 BFl 于 F，作 AEl 于 E，令准线于 x 轴交点为 S，AB 交准线 第 13页（共 19页） 于 K 设 BHm，则 AF3m， ? ? ? ? ? ? ? ?，BK2m 则 sinHKB? ? ? ? ?，HKB30 ? ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ?， FK2 ? ? ? ? 为? ? ? QMMKtan30
28、4mtan30? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则|FP|MQ|? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 三、解答题三、解答题： （共（共 70 分）分） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ? ? ? （）求角 B 的大小； （）若 a4，且 BC 边上的高为 ?，求ABC 的周长 【解答】解： （）? ? ? 由正弦定理可得：sinCsinB（cosA?sinA） ， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 可得：sinAcosB?sinBsinA， A?（0，） ，sinA0， 第 14页（共 19页） cosB
29、?sinB， B?（0，） ， tanB? ? ? ，B? ? ? （）如图，AD?，B? ? ?，则 cAB? ? ? ?2 ?， 又 a4，在ABC 中，由余弦定理 b2a2+c22accosB4，可得 b2， 可得ABC 的周长为 a+b+c6+2 ? 18如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 在 AB 上，AE2EB2，且 DEAB以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且FEB60 （）求证：平面 BFC平面 BCDE； （）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ，求二面角 EDFC 的正弦值 【解答】解： （）证明：DEAB，DEE
30、B，DEEF， DE平面 BEF，DEBF， AE2EB2，EF2，EB1， FEB60，由余弦定理得 BF? ? ? ? ? ? ? ?， EF2EB2+BF2，FBEB， 由得 BF平面 BCDE， 平面 BFC平面 BCDE （）解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过点 B 作 AB 的垂线为 y 轴，BF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 DEa，则 D（1，a，0） ，F（0，0， ?） ，? ? ?（1，a， ?） ， 第 15页（共 19页） 直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ， 直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 ?
31、? ， 平面 BCDE 的法向量? ? ?（0，0，1） ， |cos? ?，? ? |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 a2， D（1，2，0） ，C（2，2，0） ，? ? ?（0，2，0） ，? ? ?（1，2， ?） ， 设平面 EDF 的法向量 ? ?（x，y，z） ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，取 z1，得 ? ?（ ?，?，?） ， 同理得平面 DFC 的一个法向量? ? ?（0， ?，2） ， cos ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 二面角 EDFC 的正弦值为 sin
32、? ，? ? ? ? ? ? ? ? 19为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内， 武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机 抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg） 根据生产经验，可以 认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布 N（， 2） 在一天内抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（3，+3 ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本 次的生产过程进行检查 （）下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品
33、的主要药理成分含量： 9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.95 9.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12 经计算得? ? ? ? ? ? ?xi9.96，s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.19 第 16页（共 19页） 其中 xi为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量，i1，2，20用样本平均数?作为 的估计值? ? ，用样本标准差 s 作为的估计值? ? ，利用估计值判断是否需对本次的生产过 程进行检查？ （）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在
34、（ 3，+3）之外的药品件数，求 P（X1）及 X 的数学期望 附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N （， 2） ， 则 P （3Z+3） 0.9974， 0.997419 0.95 【解答】解： （I）由? ?9.96，s0.19 可得：? ? ?9.96，? ? ?0.19， 由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（3，+3）（9.39， 10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查 （II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为 0.9974， 而主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为 0.0026， 故 XB（20，0.0026）
35、 ，P（X1）? ? ? 0.9974190.00260.0494 X 的数学期望 E（X）200.00260.052 20已知椭圆 ?： ? ? ? ? ? ?的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线与 C 交于 A，B 两点ABF2的周长为 ? ?，且椭圆的离心率为 ? ? （）求椭圆 C 的标准方程： （）设点 P 为椭圆 C 的下顶点，直线 PA，PB 与 y2 分别交于点 M，N，当|MN|最小 时，求直线 AB 的方程 【解答】解： （）由题意可得：4a4 ?，? ? ? ? ? ， a?，c1，b2a2c21， 椭圆 C 的方程为：? ? ? ? ? ?； （）点 P（0
36、，1） ，F1（1，0） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 显然直线 AB 与 x 轴不重合，设直线 AB 的方程为：xmy1，则可知 m1， 联立方程 ? ? ? ? ? ? ?，消去 y 得： （m 2+2）y22my10， ? ? ? ?，? ? ? ?， 第 17页（共 19页） 直线 PA 的方程为： （y1+1）xx1yx10，可得? ? ?， 同理? ? ?， |MN| ? ? ? ? |3| ? ? | 3 ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 ? ? ?， 当 m0 时，|MN|6 ?， 当 m0 时，|MN|6 ? ? ? ? ?
37、 ? ? ? ? ? ? ? ， 由于 m ? ?（，2）2，+） ，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ?，? 此时|MN|的 最小值为 66 ?，在 m1 处取得， 综上所述，当|MN|最小时，直线 AB 的方程为：xy1，即 xy+10 21已知函数 f（x）eaxx1，且 f（x）0 （）求 a； （）在函数 f（x）的图象上取定两点 A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ） （x1x2） ，记直 线 AB 的斜率为 k，问：是否存在 x0?（x1，x2） ，使 f（x0）k 成立？若存在，求出 x0 的值（用 x1，x2表示） ；若不存在，请说明理由 【解答】解
38、： （1）若 a0，则对一切 x0，f（x）eaxx10，不符合题意， 若 a0，f（x）aeax1，令 f（x）aeax10 可得 x? ? ? ， 当 x ? ? 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 x ? ? 时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， 故当 x? ? ? 时，函数取得最小值 f（ ? ? ）? ? ? ? ? ?， 由题意可得，有? ? ? ? ? ?0， 令 g（t）ttlnt1，则 g（t）lnt， 当 0t1 时，g（t）0，g（t）单调递增，当 t1 时，g（t）0，g（t）单调递 减， 故当 t1 时，g（t）取得最大值 g（1）0，当且仅当? ? ?1
39、 即 a1 时成立， 第 18页（共 19页） 综上 a1； （II）由题意可知，k? ? ? ? ? ? 1， 令 t（x）f（x）kex ? ? ，则可知 yt（x）在x1，x2上单调递增， 且 t（x1）? ? ? ? ? （x2x1）1，t（x2）? ? ?e ? ? （x1x2）1， 由（I）可知 f（x）exx10，x0 时取等号， ? ? （x2x1）10，e ? ? （x1x2）10， t（x1）0，t（x2）0， 由零点判定定理可得，存在 x0?（x1，x2） ，使得 t（x0）0 且? ? ? ? ， 综上可得，存在 x0?（x1，x2） ，使 f（x0）k 成立 请从下面
40、所给的请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的铅笔在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一 题评分题评分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，直线 l 的参数方程为 ? ? ? 为 ? ? 为 （t 为参数） ， 直线
41、l 与曲线 C 交于 M，N 两点 （）若点 P 的极坐标为（2，） ，求|PM|PN|的值； （）求曲线 C 的内接矩形周长的最大值 【解答】解： （）曲线 C 的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，转换为直角坐标方 程为? ? ? ? ? ? ? 点 P 的极坐标为（2，） ，转换为直角坐标为（2，0）由于点 P（2，0）在直线 l 上， 所以直线 l 的参数方程为 ? ? ? 为 ? ? 为 （t 为参数） ，转化为 ? ? ? ? ? 为 ? ? ? ? 为 （t 为参数） ， 所以代入曲线的方程为? ? ? ? 为? ? ? 为? ?， 整理得为?为 ? ? ?， 所以|PM
42、|PN|t1t2|4 （）不妨设 Q（? ?，?） ， （? ? ? ? ? ?） ， 所以该矩形的周长为 4（? ? 61）? sin（? ? ?） 第 19页（共 19页） 当? ? ? ?时，矩形的周长的最大值为 16 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知函数 f（x）x|xa|，a?R （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y?（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 【解答】解： （1）f（2）+f（2）4，可得 2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ?， 解得 a2 或2a1 或 a?，则 a 的范围是（，1） ； （2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为 f（x）max（|y+3|+|ya|）min， 其中当 x，y?（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|a+3|a+3，当且仅当3ya 取 得等号， 而 f（x）x（xa
