1、圆的方程知识点总结和经典例题1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：注意点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程(2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0
2、，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.3直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(
3、r1r2)无解易误点：两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系（2）两圆相交有关问题1圆系方程一般地过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然
4、后再由其他条件求出，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解5. 对称问题(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点 P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P（2ax，2by）. (2)点关于直线成轴对称(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对
5、称6. 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 7. 典型例题1. 直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离D无法判断【解析】圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径r1，dr，故直线与圆相切2. 直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心B相切C相离D相交但不过圆心【解析】圆心(1，1)到直线3x4y120的距离dr.【答案】D
6、3. 求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.4. 过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程. 【解析】因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若
7、直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.5. 求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长【解析】圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径r.点(0,1)到直线l的距离为d，l2，所以截得的弦长为.6. 直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1B2C4D4【解析】圆的方程可化为C：(x1)2(y2)25，其圆心为C(1,2)，半径r.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CPAB，圆心C到直线AB的距离d|CP|1.在RtACP
8、中，|AP|2，故直线被圆截得的弦长|AB|4.7. 两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A外离B相交C内切D外切【解析】两圆x2y29和x2y28x6y90的圆心分别为(0,0)和(4，3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d5.又43534，故两圆相交8. 圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A外离B相交C外切D内切【解析】圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即两圆相交9. 求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长【解
9、析】联立两圆的方程得方程组两式相减得x2y40，此为两圆公共弦所在直线的方程法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径长r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长2l2.10. 求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长【精彩点拨】【解析】设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程
10、组的解，两式相减得xy10.因为A，B两点的坐标满足 xy10，所以AB所在直线方程为xy10，即C1，C2的公共弦所在直线方程为xy10，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d，由条件知r2d2，所以直线AB被圆C3截得弦长为2.11. 已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为()A(x1)2y21Bx2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21【解析】由已知圆(x1)2y21得圆心C1(1,0)，半径长r11.设圆心C1(1,0关于直线yx对称的点为(a，b)，则解得所以圆C的方程为x2(y1)21.12. 当动点P在圆x2y22上运动时，它与定点A(3,1)连
11、线中点Q的轨迹方程为_【解析】设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得所以点P(2x3,2y1)满足圆x2y22的方程，所以(2x3)2(2y1)22，化简得22，即为点Q的轨迹方程13. （1）ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圆的方程；（2）ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程【解答】解：（1）设所求圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，因为A（5，1），B（7，3），C（2，8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是，可解得a=2，b=3，r=25，所以ABC的外接圆的方程是（x2）2+（y
12、+3）2=25（2）ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），ABAC，AB=5，AC=12，BC=13，ABC内切圆的半径r=2，圆心（2，2），ABC内切圆的方程为（x2）2+（y2）2=414. 已知圆C：x2+（y+1）2=5，直线l：mxy+1=0（mR）（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120，求弦AB的长【解答】解：（1）由于直线l的方程是mxy+1=0，即 y1=mx，经过定点H（0，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为2，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点（2）直线l的倾斜角为120，直线l： xy+1=0，圆心到直线的距离d=1，|AB|=2=415. 过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程【解】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d.解得k1或.所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30.
