1、2020届福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1复数满足，则复数（ ）ABCD【答案】C【解析】根据复数的运算，求得复数，再求其共轭复数即可.【详解】根据题意，由可得，故其共轭复数.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算，以及共轭复数的求解，属基础题.2已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】求出函数的定义域，再与集合求交即可.【详解】对集合：要使得函数有意义，则，解得，故集合，又因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.3已知命题；命题是的充要条件，则下列为真命题的是（ ）ABCD【答案】C【解析】先根据不等式的性质判断命题的真假，再对选项进行
2、判断即可.【详解】对命题，因为，故其为真命题；对命题：若，不满足，故命题是假命题；则是真命题，故为真命题.故选：C.【点睛】本题考查简单命题真假性的判断，以及复合命题真假的判断，属综合基础题.4已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（ ）A40B45C50D55【答案】D【解析】根据等差数列下标和性质，以及前项和性质，即可求解.【详解】因为数列为等差数列，故等价于，故可得.又根据等差数列前项和性质.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式的性质，以及前项和的性质，属基础题.5已知函数是偶函数，函数在上单调递增，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据是偶函数可得函数的对称轴，再根据单
3、调性即可比较大小.【详解】因为是偶函数，故可得函数关于对称，又在上单调递增，故其在单调递减.又，结合函数对称性可知：，结合函数单调性可知：即.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的对称性和单调性，比较大小，涉及对数和指数运算，属综合基础题.6已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值.【详解】 进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为 所以的最小值为，此时，
4、故本题选A.【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征7若是函数的极值点，则的极大值为（ ）ABCD1【答案】C【解析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.【详解】因为，故可得因为是函数的极值点，故可得即，解得.此时令，解得，容易得在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.则的极大值为.故选：C.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，属综合基础题.8函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据解析式判断函数的奇偶性，的正负，以及的正负，即可进行选择.【详解】因为，且定义域关于原点对称，故是奇函数，排除选项；
5、因为，故排除选项；因为，故可得故函数在点处的切线的斜率为正数，故排除选项；故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.9已知向量，的夹角为，且，若向量满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，设出向量的坐标，用坐标求解数量积，列出方程，从而求解问题.【详解】根据题意，不妨设，根据，可得，解得故可得.故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积运算，采用了坐标的做法，显得颇为简单，本题也可以采用其它做法.10已知函数，数列满足，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据数列是单调递增数列，
6、结合分段函数的单调性，即可求得.【详解】当时，若要保证数列是增数列，只需，解得；当时，若要保证数列是增数列，只需；又在分割点处，需满足，解得或；综上所述，要满足题意，只需.故选：D.【点睛】本题考查数列的单调性，本题的关键是要将问题转化为分段函数的单调性进行处理，同时也要考虑的特殊性.11已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】化简函数，对于任意，都有得到，确定和的值，再根据在上的值域为，结合正弦函数的单调性即可确定的取值范围.【详解】依题意，其中，又因为对于任意，都有，则有，即解得，则，取，则，因为在上的值域为，则，解得故本题正确答案为A【点睛】
7、本题主要考查了正弦函数的性质以及辅助角公式，由得到是解题的关键，难度比较大.12对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】将进行分离，构造关于和的函数，分别求得单调性和值域，数形结合，将问题转化为函数图像有3个交点的问题，即可求得.【详解】对方程进行转化，因为，故可得，不妨令，令则，令，解得，故函数在上单调递增，故.又，令，解得或，故函数在区间和单调递减，在区间单调递增，在上的最大值为，最小值为，且，故在坐标系中画出函数的图像如下：故要满足题意，只需函数的值域是的子集即可.故需要满足且，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单
8、调性和值域，涉及数形结合，属综合性中档题.二、填空题13已知向量与满足，且，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】根据向量垂直则数量积为零，结合数量积的运算，即可求得.【详解】因为，故可得即故可得解得，又因为故可得.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及向量夹角的求解，属基础题.14已知实数满足，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_.【答案】10【解析】根据的正负关系，结合等差中项和等比中项的性质，列出方程组，即可求解.【详解】因为，故可得故若成等比数列，只可能是的序列，或的序列，但无论何种情况，都有；若成等差数列，则可能是的序列，可能是的序列，也
9、可能是的序列，也可能是的序列；当或构成等差数列时，可得，结合，可得，或，此时；当或构成等差数列时，可得，结合，可得，或，此时也成立.综上所述：.故答案为：10.【点睛】本题考查等比中项和等差中项的性质，属综合性基础题.15秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是ABC的内角A，B，C的对边若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为_【答案】【解析】运用正弦定理和余弦定理可得，再由等差数列中项性质可得，代入三角形的
10、面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值【详解】，因此，2，成等差数列，因此，当，即时，S取得最大值，即面积S的最大值为，故答案为.【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题16已知定义在上的连续函数对任意实数满足，则下列命题正确的有_.若，则函数有两个零点；函数为偶函数；若且,则.【答案】【解析】根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为，故关于对称；又，故当时，单调递增；时，单调递减.对：若，根据函数单调性，显然，则 根据零点存在定理和函数单调性
11、，在上各有1个零点，故正确；对：因为关于对称，故关于对称，故是偶函数，则正确；对：，由函数在单调递减可知， ，故错误；对：因为，故可得；因为，故可得 故，又函数关于对称，结合函数单调性，故可得，故正确.综上所述：正确的有.故答案为：.【点睛】本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.三、解答题17已知数列为等比数列，且.（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】（1）通过赋值，求得等比数列的基本量，即可求得通项公式，属基础题；（2）由（1）中所求结果，利用裂项求和求得数列的前项和即可.【
12、详解】（1）由题意，得，解得，.所以的通项公式为.（2）由（1）知， .，的前项和为.【点睛】本题考查由基本量求等比数列的通项公式，以及裂项求和，属综合性基础题.18在锐角中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知条件，反凑余弦定理，即可求得角；（2）利用正弦定理，将构造成关于的函数，求该函数的值域即可.【详解】（1）因为，.由余弦定理得.又，.（2）由（1）知.由正弦定理得，由，得，从而，的取值范围是.【点睛】本题考查反凑余弦定理，以及利用正弦定理，构造函数求函数的值域，属综合性中档题.19在平面四边形中，（1）若的面积为，求；（2
13、）若，求【答案】（1）（2）【解析】（1）根据面积公式和已知条件，求得，再根据余弦定理即可求得；（2）在中由正弦定理求得，再在中利用正弦定理，建立的三角方程，解方程即可求得.【详解】（1）在中，因为，所以，解得：，在中，由余弦定理得：，所以，（2）设，则.如图，在中，因为，所以，在中，由正弦定理，得，即，所以，又，所以.所以，即.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，第二问属中等偏上的难度，关键是要建立两个三角形之间的联系.20已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1）.（2）【解析】（1）利用和之间的关系，即可求得；（2）根据（1）中所求，
14、结合通项公式的形式，用错位相减法求前项和即可.【详解】（1）当时，解得，当时，.，即，又，从而的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项以3为首项，2为公差的等差数列，又因为，是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为.（2），两式相减得.【点睛】本题考查由与之间的关系求通项公式，以及用错位相减法求前项和，属综合性中档题.21已知函数（为大于1的整数），（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，若关于的方程在区间上有两个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，即可写出切线方程的点斜式方程，整理化简即可；（2）构造函数，将问题转化为
15、求函数值域的问题，即可求得.【详解】，（1）当时，所以所求切线方程为：，（2）等价于，令，当时，单调递增；当时，单调递减；当时有极小值，又，要使方程在区间上有两个实数解只需，所以，从而的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数根据方程根的个数，求参数的范围，属导数中档题.22已知函数.（1）当时，求证：；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】（1）对函数求导，讨论单调性，即可求得区间内的值域，从而证明不等式的成立；（2）分离参数，构造函数，根据（1）中结论，对参数进行分类讨论即可.【详解】（1），故，所以函数在上递增，当时，取最小值，当时，取最大值， 即证.（2）不等式等价于令，则，由（）知，当时，所以函数在上递增，所以满足条件，当时，不满足条件当时，对，令，显然在上单调递增又，存在，使得时，在上单调递减，时，不满足条件，综上得，的取值范围.【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，以及根据不等式恒成立求参数的范围，本题中采用了构造函数，正向讨论函数单调性，从而求得参数的方法，属经典中档题.
