1、10设函数若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（A） （B） （C） （D）15在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：截面的面积等于；截面是一个五边形；截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交其中，所有正确结论的序号是_21（本小题满分14分）设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：对任意，存在使得；对任意，存在，使得（其中）（）判断能否等于或；（结论不需要证明）（）求的最小值；（）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，说明理由10. D15 21（本小题满分14分）解：() 可以等于，但不能等于. 3
2、分() 记为区间的长度， 则区间的长度为，的长度为. 由，得. 6分 又因为，显然满足条件，. 所以的最小值为. 8分() 的最大值存在，且为. 9分 解答如下： （1）首先，证明. 由,得互不相同，且对于任意，. 不妨设.如果，那么对于条件，当时，不存在，使得. 这与题意不符，故. 10分 如果，那么， 这与条件中“存在，使得”矛盾， 故. 所以， 则. 故. 若存在，这与条件中“存在，使得”矛盾， 所以. 12分 （2）给出存在的例子 . 令，其中，即为等差数列，公差. 由，知，则易得， 所以满足条件. 又公差， 所以，.（注： 为区间的中点对应的数） 所以满足条件. 综合（1）（2）可知
3、的最大值存在，且为. 14分10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：的位数一位数一位数一位数两位数两位数两位数三位数三位数三位数四位数试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）A. 101 B. 50 C. 31 D. 3015.给出下列四个函数，；其中值域为的函数的序号是 . 21（本小题14分）用x表示一个小于或等于x的最大整数.如：2=2，4.1=4，-3.1=-4.已知实数列对于所有非负整数i满足，其中是任意一个非零实数.() 若，写出a1,a2,a3； ()若，求数列的最小值； ()证明：存在非负整数
4、k，使得当时，.21. （本小题14分）解：() 、. 3分（）因，则，所以，设，则，所以. 又因，则，则. 4分 假设成立，则，则，即， 5分则，则当时，这与假设矛盾，所以不成立，6分即存在,.从而的最小值为0. 7分（）当时，由（2）知，存在,，所以所以所以，成立. 8分 当时，若存在,则，得证； 9分若，则，则，则，所以数列单调不减. 由于是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当时，.所以，当时，则，令， 即. 当=0时，则，则，得证. 11分当时，因当时，则，则有界，所以，所以负整数. 12分， 则 13分令k=m，满足当时，.综上，存在非负整数k，使得当时， .14分(10) 假设
5、存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在时刻满足：，则；(B) 如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降；(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；(D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.(15) 设函数 给出下列四个结论： 对，使得无解； 对，使得有两
6、解； 当时，使得有解； 当时，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是 . 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分。(21)（本小题14分）数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为.（）若数列，写出集合；（）如果均为相同的单元素集合，求证：数列为等差数列；（III) 如果为单元素集合，那么数列还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例.(21)（本小题14分）解：（）由于，为满足不等式的构成的集合，所以 有：，当 时，上式可化为，所以 .当 时，上式可化为.所以 为. 4分（）对于数列，若中均只有同一个元素
7、，不妨设为.下面证明数列为等差数列. 当 时，有；当 时，有；由于(1)，(2)两式对任意大于1的整数均成立，所以 有成立，从而数列为等差数列. 8分（III) 对于数列，不妨设，由可知：，由可知：，即，从而，所以.设，则 ， 这说明如果，则.因为对于数列，中均只有一个元素，首先考察时的情况，不妨设， 因为，又为单元素集，所以.再证，证明如下：由的定义可知：，所以又由的定义可知，所以，所以 .若 ， 即，则存在正整数，使得，由于所以 ，这与矛盾.所以 .同理可证，即数列，为等差数列. 14分（10）如图，在正方体中，分别是棱，的中点，点在对角线上运动当的面积取得最小值时，点的位置是（A）线段的
8、三等分点，且靠近点 （B）线段的中点（C）线段的三等分点，且靠近点（第10题图）（D）线段的四等分点，且靠近点（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论： 曲线关于直线对称； 曲线上任意一点到原点的距离都不超过； 存在一个以原点为中心、边长为的正方形，（第15题图）使得曲线在此正方形区域内（含边界）其中，正确结论的序号是_注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。（21）（本小题14分）设数列（）的各项均为正整数，且若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质（）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出
9、结论）（）若数列具有性质，且，求的最小值；（）若集合，且（任意， ）求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列（10）形如（n是非负整数）的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数多年之后，数学家欧拉计算出，不是质数，那么的位数是（参考数据； )（A）9 （B）10 （C）11 （D）12（15）如图，在等边三角形ABC中，AB=6动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为，给出下列三个结论：函数的最大值为12 ；函数的图象的对称轴方程为x=9；关于x的方程=kx+3最多有5
10、个实数根其中，所有正确结论的序号是 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。（21）（本小题共14分）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质（）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）； （）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（）已知数列中，且若数列具有性质，求数列的通项公式. （21）解：（）数列具有“性质”；数列不具有“性质”. （）先证“充分性”：当数列 具有“性质”时，有又因为，所以， 进而有 结合有, 即“数列为常数列”； 再证“必要性”：若“数列为常
11、数列”， 则有，即“数列 具有“性质”. （）首先证明：.因为具有“性质”，所以.当时有. 又因为且，所以有,进而有，所以,结合可得：. 然后利用反证法证明：. 假设数列中存在相邻的两项之差大于， 即存在满足：或，进而有.又因为，所以依次类推可得：，矛盾，所以有. 综上有：，结合可得，经验证，该通项公式满足，所以：.10. 党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少，下面的统计图反映了2012-2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率=贫困人数（人）统计人数（人）100%）根据统计图提供的信息，下了推断不正确的是A. 2012-2019年，全国农
12、村贫困人口逐年递减B. 2013-2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C. 2012-2019年，全国贫困人口数累计减少9348万D. 2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%15. 如果方程x24+yy=1所对应的曲线与函数y=f(x)的图象完全重合，那么对于函数y=f(x)有如下结论：函数f(x)在R上单调递减；y=f(x)的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；函数f(x)的值域为-,2;函数Fx=fx+x有且只有一个零点。其中正确结论的序号是注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。21.（本小题1
13、4分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”，如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a,b,c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn,所有项的和记为Sn（I）求P1,P2;（II）若Pn2020,求n的最小值；（III）是否存在实数a,b,c,使得数列Sn为等比数列？若存在，求a,b,c满足的条件；若不存在，说明理由10. 已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D） 15 已知双曲线的渐近线是边长为1的菱形的边所在直线若椭圆经
14、过两点，且点是椭圆的一个焦点，则 .21.（本小题共14分） 已知有穷数列：且.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定.（）写出下列数列的“伴生数列”： 1，2，3，4，5； 1，1，1，1，1.（）已知数列的“伴生数列”：，且满足.（i）若数列中存在相邻两项为1，求证：数列中的每一项均为1；（）求数列所有项的和.21（本小题共14分）解: （） 1，1，1，1，1； 1，0，0，0，1. 4分 （）（i）由题意，存在，使得. 若，即时，.于是.所以，所以.即.依次类推可得.所以.若，由得.于是.所以.依次类推可得.所以.综上可知，数列中的每一项均为1. 8分（）首先证明不可能存在使得.若存在使
15、得，则.又得与已知矛盾.所以不可能存在，.由此及()得数列的前三项的可能情况如下：(1)时，由（i）可得.于是.所以所有项的和.(2)时，此时与已知矛盾. (3) 时，.于是.故于是，于是，且.依次类推且恰是3的倍数满足题意.所以所有项的和 .同理可得及时，当且仅当恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和 .综上，所有项的和或（是3的倍数）. 14分10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩
16、的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确的序号是 .21.（本小题满分14分）对于正整数n，如果个整数a1，a2，ak满足1a1a2akn，且a1+a2+ak=n，则称数组（a1，a2，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，ak 均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。（）写出整数4的所有“正整数分拆”；（）对于给定的整数n（n4）
17、，设（a1，a2，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；（）对所有的正整数n，证明:fngn；并求出使得等号成立的n的值。（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，ak）与（b1，b2，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）10.点分别是棱长为的正方体中棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是A.B.C.D.15.石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教
18、师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_、_21.（本小题14分）有限个元素组成的集合，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为,当时，称集合具有性质.()，判断集合是否具有性质，并说明理由；（）设集合，且，若集合具有性质，求的最大值；（）设集合，其中数列为等比数列，且公比为有理数，判断集合集合是否具有性质并说明理由.21.（本小题14分）解：()集合不具有性质，集合具有性质.,不具有性质;,具有性质. 3分（）若三个
19、数成等差数列，则不具有性质，理由是.因为且所以，要使取最大，则；，易知不具有性质，要使取最大，则；，要使取最大，检验可得； 8分（）集合具有性质.设等比数列的公比为为，所以且为有理数，假设当时有成立，则有 10分因为为有理数，设且（互质），因此有即（1），（1） 式左边是的倍数，右边是的倍数，又互质， 显然不成立. 12分所以，所以集合具有性质. 14分10. 在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是A点F的轨迹是一条线段 BA1F与BE是异面直线CA1F与D1E不可能平行 D三棱锥F-ABD1的体积为定
20、值15. 已知函数若关于的方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_21.（本小题满分14分） 设等差数列的首项为，公差为，；等差数列的首项为，公差为，由数列和构造数表，与数表：记数表中位于第行第列的元素为，其中 记数表中位于第行第列的元素为，其中 如：，（）设，请计算， ；（）设，试求，的表达式（用表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表；（）设，对于整数，不属于数表，求的最大值21（本小题满分14分）（）解：由题意，数列的通项公式为， 数列的通项公式为 得，则， 得，则 （）证明：已知，得数列的通项公式为，数列的通项公式为所以， 所以，所以，若，则存在，使若，则存在，使
21、因此，对于整数，考虑集合，即，下面证明：集合中至少有一元素是的倍数反证法：假设集合中任何一个元素，都不是的倍数，则集合中每一元素关于的余数可以为1，2，3，4，5，6又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于的余数相同，不妨设为，其中则这两个元素的差为的倍数，即所以，与矛盾所以假设不成立，即原命题成立即集合中至少有一元素是的倍数，不妨设该元素为则存在，使，即由已证可知，若，则存在，使而，所以为负整数，设，则，且所以，当，时，对于整数，若，则成立 （）解：下面用反证法证明：若对于整数，则假设命题不成立，即，且则对于整数，存在，使成立整理，得又因为，所以且是7的倍数因为，所以，所以矛
22、盾，即假设不成立所以，对于整数，若，则又由第二问，对于整数，则所以的最大值，就是集合中元素的最大值又因为，所以10.在声学中,声强级L(单位:dB)由公式给出，其中I为声强(单位:那么15.某公园划船收费标准如下:某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能.21.(本小题14分)记无穷数列的前n项中最大值为最小值为令则称是“极差数列”.(I)若的前n项和;(II)证明:的“极差数列”仍是(III)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.（10） 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积
23、为（A） （B） （C） （D）（15）在中，是边的中点. 若，则 的长等于 ；若，则的面积等于 .（21）（本小题14分） 在数列中，若，且（），则称为“J数列”.设为“J数列”，记的前项和为.（）若，求的值； （）若，求的值； （）证明：中总有一项为或.10. A 15. 在中，在中，2相除得：，所以，所以.21.解：（）当时，中的各项依次为， 所以. 3分 （） 若是奇数，则是偶数， 由，得，解得，适合题意. 若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，. 8分 （）首先证明：一定存在某个，使得成立. 否则，对每一个，都有
24、，则在为奇数时，必有； 在为偶数时，有，或. 因此，若对每一个，都有，则单调递减， 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个，使得成立. 经检验，当，或，或时，中出现； 当时，中出现， 综上，中总有一项为或. 14分10. 一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为（为地，为地）。从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1 件，记该邮车到达各地装卸完毕后剩余的邮件数记为。则的表达式为A. B. C. D. 15. 集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 的值可以为2；的值可以
25、为；的值可以为；本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。解：（1）若时，不可能构成正八边形；(2) 若时，设正八边形边长为，如图1 （3）若时，不合题意；（4）若时，此时正八边形边长为2，故，如图221.（本小题满分14分）已知均为给定的大于1的自然数，设集合（）当时，用列举法表示集合（）当时，且集合满足下列条件：对任意；证明：()若，则 （集合为集合在集合中的补集）（）为一个定值（不必求出上此定值）；（）设，其中，若，则证明：（），此时，3分（）()由题意可知，则2分若，不妨设，则，否则，矛盾，则与条件矛盾，所以，6分（）由题意可知，为一定值9分（）由题意得：11分14分
