1、2020-2021学年第一学期期末测试北师大版九年级数学试题一、选择题（每题3分，共36分）1.方程的解是（ ）A. B. C. D. 2.下面四个几何体中，主视图是三角形是( )A. B. C. D. 3.已知，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 4.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )对A. 4B. 3C. 2D. 15.某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）A. 380粒B. 400粒C. 420粒D. 500粒6.已
2、知反比例函数，当0时，随的增大而增大，则的值可能是（ ）A 3B. 2C. 1D. -17.天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为，求此平均增长率可列方程为（ ）A. 200（1+）=662B. 200+200（1+）=662C. 200+ 200（1+）+200（1+）=662D. 200+ 200+200（1+）=6628.如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AOB=60，作DEAC，CEBD，DE、CE相交于点E.四边形OCED的周长是20，则BC=（ ）A. 5B. 5C 10D. 109.下列说法正确的是（ ）A.
3、若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=B. 平面内，经过矩形对角线交点直线，一定能平分它的面积C. 两个正六边形一定位似D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等10.数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜.光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1米，BP=1.5米，PD=12米，那么该大厦的高度约为（ ）A. 8米B. 16米C. 24米D. 36米11.如图，直线，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（
4、）A. 12B. 16C. 20D. 2412.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MFND与EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个MCND；sinMFC=；(BM+DG)=AM+AG；SHMF=A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题3分，共12分）13.已知，则代数式_.14.如图，是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30方向，C在点A的东北方向，若AB=50米.则
5、BC的长为_米.（结果保留根号）15.二次函数（,为常数，且0）和一次函数（，为常数，且0）的图象如图所示，交于点M（，2）、N（2，），则关于的不等式0的解集是_.16.如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知MBN的面积为，则点N的坐标为_.三、解答题（本题共7小题，共52分）17.计算：18.解方程：19.一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同.（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ； （2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机
6、摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（红色和蓝色在一起可配成紫色）（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .20.如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O做EFBD，分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD=OM=4，则ON长是多少？21.光明农场准备修建一个矩形苗圃园，苗圃一边靠墙，其他三边用长为48米的篱笆围成.已知墙长为米.设苗圃园垂直于墙的一边长为米.（
7、1）求当为多少米时，苗圃园面积为280平方米；（2）若=22米，当取何值时，苗圃园的面积最大，并求最大面积.22.如图1，在菱形ABCD中，AB=，BCD=120，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MNCD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN.（1）当DCM=30时，求DM的长度；（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AMDE=BECD；（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 .23.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点A，与轴相交于点B，与轴相交于点C，抛物线经过点O、点A和点B，已知点A到轴的距离等于2.（1）求抛物线的解析式；（2）点H为直线上方
8、抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标；（3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式.答案与解析一、选择题（每题3分，共36分）1.方程的解是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程【详解】解：x-3=0或x+4=0，所以x1=3，x2=-4故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式
9、，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）2.下面四个几何体中，主视图是三角形的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】主视图是从正面看所得到的平面图形，找出四个选项的主视图是三角形的，即可选出答案【详解】解：A、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；B、立方体的主视图是正方形，故此选项错误；C、四棱锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；故选：C【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置3.已知，则下列
10、结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y0，这个条件.【详解】A. 由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误；B. 由，可化为，且y0，故此项错误；C. ，化简为，由B项知故此项错误；D. ，可化为，故此项正确；故答案选D【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键4.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )对A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质、以及相似三角形的判定方法
11、即可判断【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，由AFCD，可以推出AEFDEC，由AEBC，可以推出AEFBCF，所以DECBCF所以全等的三角形一共3对.故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，属于基础题5.某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）A. 380粒B. 400粒C. 420粒D. 500粒【答案】B【解析】【分析】样本中蓝色黄豆的概率为，若设可得这袋黄豆有x粒，那么总体中蓝色黄豆的概率，样本估计总体，
12、即可得到等式,即可求出答案.【详解】解：解：这袋黄豆数为x，则解得：x=400检验，符合题意因此这袋黄豆数为400，故选：B【点睛】本题考查了用样本数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法6.已知反比例函数，当0时，随的增大而增大，则的值可能是（ ）A. 3B. 2C. 1D. -1【答案】A【解析】【分析】依据反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，即可得到2-0，进而得出的取值【详解】解：反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，2-0，2，可以取3，故选：A【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题时注意：当k0，双曲线的两支分别位于第二
13、、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大7.天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为，求此平均增长率可列方程为（ ）A. 200（1+）=662B. 200+200（1+）=662C. 200+ 200（1+）+200（1+）=662D. 200+ 200+200（1+）=662【答案】C【解析】【分析】设这两个月的平均增长率是x，根据天猫某店铺四月份及第2季度的总销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：设这两个月的平均增长率是x，依题意，得：200+ 200（1+）+200（1+）=662故选：C【点睛】本题考查
14、了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8.如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AOB=60，作DEAC，CEBD，DE、CE相交于点E.四边形OCED的周长是20，则BC=（ ）A. 5B. 5C. 10D. 10【答案】B【解析】【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，得出四边形OCED是菱形，求出菱形的边长，进一步求出AC与AB的长，再利用勾股定理求BC【详解】证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是矩形，OC=OD=OA=OB，四边形OCED
15、是菱形；四边形OCED的周长是20OD=5AOB=60，COD=60又OC=ODCOD是等边三角形，OC=OD=CD=5AC=2OC=10四边形ABCD是矩形，AB=CD=5，ABC=90在RtABC中，故答案选B.【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键9.下列说法正确的是（ ）A. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C. 两个正六边形一定位似D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等【答案】B【解析】【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是
16、较短线段,分情况讨论即可；B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等；C.按照相似与位似关系判断即可；D.利用菱形的性质判断即可.【详解】A. 解：根据题意得：当AC是较长线段时，,当AC是较短线段时，,，故此项错误；B. 平面内，经过矩形对角线交点直线，一定能平分它的面积，如图：，故此项正确；C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误；D. 菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误.故选B.【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性
17、质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段10.数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜.光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1米，BP=1.5米，PD=12米，那么该大厦的高度约为（ ）A. 8米B. 16米C. 24米D. 36米【答案】A【解析】【分析】因为同学和宝安区海淀广场均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答【详解】解：根据题意，易得到ABPPDC即故米；那么该大厦的高
18、度是8米故选：A【点睛】本题考查相似三角形性质的应用解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题11.如图，直线，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：直线，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ADGABC，AFIABC故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方12.如图，正方形ABCD中，AB=4，
19、点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MFND与EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个MCND；sinMFC=；(BM+DG)=AM+AG；SHMF=A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】设MC与DN交点是P，通过证明MBCNCD得到PNC=CMB，又证明则PNC +PCN =90求出NPC=90，则MCND，即可得到答案.故MCND正确.延长AE，作FQAF于点Q，利用勾股定理求出MC=5，再通过MBCFQM得到即，又因为QA=QF，则可以求得QA=Q
20、F =3，进而求得，在RtFMC中，利用勾股定理得则可以求得sinMFC的值. 设(BM+DG)=AM+AG存在，利用边与边的关系可以求出DG，符合题意，即可求出答案.作HIMF于点I,先证CPNCBM，求出PC，MP=MC-PC=5-，再通过证四边形MPHI是矩形，求得IH= MP，知道HMF的底和高，即可求出答案.【详解】(1)设MC与ND交于点P，如图所示.四边形ABCD是正方形CD=BC=AB=4MBC=NCD=90AM=BN=1NC=BC-BN=4-1=3MB=AB-AM=4-1=3NC=MB在MBC与NCD中，MBCNCDPNC=CMBMBC =90CMB+PCN =90则PNC
21、+PCN =90NPC=180-（PNC +PCN）=90MCND故MCND正确.（2）延长AE，作FQAF于点QMB=3,BC=4.B=90在RtMBC中，利用勾股定理得BCM+BMC =90MCND，MFNDFMC=90QMF+BMC=180-FMC=90QMF=BCMFQAFB=90FQM=BMBCFQM即四边形ABCD是正方形，AF平分QAGQAF=又FQM=90QFA=QAFQA=QF变形为解得QA=QF =3QM=QA+AM=4在RtQMF中，利用勾股定理得在RtFMC中，利用勾股定理得sinMFC=故正确（3）设(BM+DG)=AM+AG存在由上述可知BM=3,AM=1,AG=A
22、D-GD=4-DG，将其代入(BM+DG)=AM+AG得：(3+DG)=1+（4-DG）解得DG=，符合题意，故正确.（4）作HIMF于点IPCN=PCN，NPC=B=90CPNCBM则即解得MP=MC-PC=5-IMP=MPH=MIH=90四边形MPHI是矩形IH= MPSHMF=故正确综上所述四项全部正确，答案选D【点睛】本题是考查了全等、相似、勾股定理的综合性题目，难度较大，合适选择辅助线是解答此题的关键.二、填空题（每小题3分，共12分）13.已知，则代数式_.【答案】1【解析】【分析】利用添括号法则把所求的代数式变形，代入计算即可详解】解：3x-9y-5=3（x-3y）-5当x-3y
23、=2，原式=32-5=1，故答案为：1【点睛】本题考查的是代数式求值，掌握添括号法则，会总体代入是解题的关键14.如图，是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30方向，C在点A的东北方向，若AB=50米.则BC的长为_米.（结果保留根号）【答案】（25+）米【解析】【分析】在ABD中，利用特殊三角函数值求得BD，AD,再在ADC中利用特殊三角函数值求CD，即可求出BC的长.【详解】B在点A的北偏西30方向， AB=50米BD=ABsinBAD=50AD=C在点A的东北方向，DAC=45又ADC=90DAC=DCA=45CD=AD=BC=
24、BD+DC=25+综上所述则BC的长为（25+）米.【点睛】本题考查了利用特殊三角函数值解直角三角形，掌握特殊函数值及其关系是解答此题的关键.15.二次函数（,为常数，且0）和一次函数（，为常数，且0）的图象如图所示，交于点M（，2）、N（2，），则关于的不等式0的解集是_.【答案】【解析】【分析】把不等式整理成ax2+bx+ckx+m，再根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可【详解】解：0可化为，交点M（，2）、N（2，），不等式的解集是【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把不等式整理成两个函数解析式的形式是解题的关键16.如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，
25、连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知MBN的面积为，则点N的坐标为_.【答案】（，）【解析】【分析】根据待定系数法求得反比例函数与一次函数解析式，可得到A点坐标为（2，3），求出B点坐标，设BN与y轴交点为D，设N点坐标为(, )，再利用待定系数法确定直线BM与BN的解析式，求出M、N、D坐标，然后利用SMNB=SMND+SMBD，求出a的值即可得到C点坐标【详解】解：将点A的坐标为（1，3）代入双曲线表达式，一次函数表达式y=mx，解得k=3,m=3所以双曲线表达式，一次函数表达式y=3x两函数联立：，解得或所以B
26、（-1，-3）设BN交y轴于D,如图,设N点坐标为(, )设BN为y=bx+c,将B(-1,-3)，N(, )代入解得所以当x=0时，所以D（0，）设MN为y=px+q,将A(1,3)，N(, )代入解得所以当x=0时，所以M（0，）所以MN=（）-()=6SMNB=SMND+SMBD，解得，又N(, )点N的坐标为（，）【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合性数形结合的题目，难度较大，能找到面积的等量关系是解答此题的关键.三、解答题（本题共7小题，共52分）17.计算：【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及根式的性质分别化简得出答案【详解】=【点睛】此题主要考查了特殊角
27、的三角函数值、立方根、负指数幂、绝对值，正确记忆相关概念是解题关键18.解方程：【答案】由题意得：a=1，b=4，c=3，x=2【解析】利用求根公式法解方程即可19.一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同.（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ； （2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（红色和蓝色在一起可配成紫色）（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .【答
28、案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列举出所有情况，两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可;（3）画出树状图，列举出所有情况，找到两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可;【详解】（1）如果从盒子中随机摸出1个球，摸出白色球的概率为；（2）画树状图如下：共有12种情况，能配成紫色的概率情况数有4种，所以两次摸到不同颜色球的概率为.（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，画树状图如下：共有25种情况，能配成紫色的概率情况数有4种，那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是.【点睛】本题考查了列表法或树状
29、图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率20.如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O做EFBD，分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD=OM=4，则ON的长是多少？【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【分析】（1）先证明四边形BEDF是平行四边形，当EFBD时，四边形BEDF是菱形，根据对角线互相垂直平分四边形为菱形证明即可；（2）根据中位线的定义与性质，得到边ON与AE的关系，在RtDAE中利用勾股定理列出等式，
30、即可求出ON.【详解】解：（1）当EFBD时，四边形BEDF是菱形，理由如下：四边形ABCD是矩形，ADBC，DEO=OFB，EDO=OBF，O是BD的中点OB=ODEODFOB，EO=FO，又OB=OD四边形BEDF是平行四边形EFBD，四边形BEDF是菱形；（2）M是AD中点，OD=OBMO是ABD中位线MOABMO=ABON是DEB的中位线ON=EBAD=OM=4AB=2MO=8设ON=x,则EB=2x,AE=AB-EB=8-2x,DE=EB=2x.在RtDAE中，由勾股定理得：解得：综上所得ON的长是.【点睛】本题考查了菱形与矩形性质和判定的应用，能在矩形中找到边的关系，再利用勾股定理
31、是解决第(2)小题的关键.21.光明农场准备修建一个矩形苗圃园，苗圃一边靠墙，其他三边用长为48米的篱笆围成.已知墙长为米.设苗圃园垂直于墙的一边长为米.（1）求当为多少米时，苗圃园面积为280平方米；（2）若=22米，当取何值时，苗圃园的面积最大，并求最大面积.【答案】（1）10米或14米;（2）当x=13米时，苗圃园的最大值为286平方米.【解析】【分析】（1）根据题意可以找出面积与的关系式，代入求值即可；（2）根据题意和a的值，可以求得x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式即可解答本题.【详解】（1）解：设面积为y,由题意可得，解：（1）由题意可得，y=x（48-2x）=-2x2+4
32、8x，即y与x的函数关系式是y=-2x2+48x，当y=280时，280=-2x2+30x解得x=10或14所以当为10米或14米时，苗圃园的面积为280平方米（2）a=22，048-2x22，解得，13x24，y=-2x2+48x=-2（x-12）2+288当x=13米时，y=-2（13-12）2+288=286平方米综上所述，当x=13米时，苗圃园的最大值为286平方米.【点睛】本题考查二次函数的应用、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答22.如图1，在菱形ABCD中，AB=，BCD=120，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MNCD，
33、使得MN=CD，连接CM、AM、BN.（1）当DCM=30时，求DM的长度；（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AMDE=BECD；（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 .【答案】（1）1;（2）见解析;（3）当BNCD时有最小值3.【解析】【分析】（1）过点M作MPCD于点P，根据菱形的性质求DCM=30，进而可知CDM=DCM，DMC是等腰三角形，再利用等腰三线合一，求得，进而可得DM值.（2）先根据已知条件证得四边形ABCD是平行四边形，求得MN=CD，NB=AM，利用平分线所分线段对应成比例得到，再进行等量代换即可答案.（3）根据题意可知当AMMN时，AM+AN的最小
34、值，利用特殊三角函数值求得此时AM、MN的值即可.【详解】（1）过点M作MPCD于点P四边形ABCD是菱形, AB=CD=AB=BC=CDB=DCM=30CDM=DCMDMC是等腰三角形MPCDDM=（2）四边形ABCD 是菱形CD=AB，ABCDMN=CD，MNCDMN=AB，MNAB四边形ABMN是平行四边形NB=AMMNCDMN=CD，NB=AM即AMDE=BECD（3）由（2）可知MN=AB=,那么根据题意当AMMN时，AM+AN最短.CDB=（已求），DCABMBA=CDB=AMMN,MNABMAB=AB=AM=1在RtAMN中，利用勾股定理得则AM+AN=1+2=3当BNCD时，A
35、M+AN有最小值3.【点睛】本题考查了菱形、平行四边形性质、线段比以及特殊三角函数值解直角三角形的综合应用型题目，难度较大，能找到对应关系是解答此题的关键.23.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点A，与轴相交于点B，与轴相交于点C，抛物线经过点O、点A和点B，已知点A到轴的距离等于2.（1）求抛物线的解析式；（2）点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标；（3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t
36、之间的函数关系式.【答案】（1）;（2）H;（2，2）; （3）.【解析】【分析】（1）根据题意求出A、B坐标，由图像可知，图像经过原点，则c=0，设出抛物线解析式为，将A（4,2）、B（6,0）代入，即可得到答案.（2）设H（, ）,作HD,当HD时，点H到的距离最大.设直线HD的解析式，并与抛物线解析式联立，得到一元二次方程，因为由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以=0，求出c,进而求出H坐标，得到答案.(3)通过运动过程中，分情况讨论，并将不规则图像利用分割法求解即可.【详解】（1）由点A到轴的距离等于2得知，A的纵坐标是2当y=2时，代入，得，则A（4,2）当x=0时，代
37、入，得y=6,则B（6,0）由图像可知，图像经过原点，则c=0，则抛物线解析式为将A（4,2）、B（6,0）代入解得所以抛物线的解析式（2）设H（, ）,作HD,当HD时，点H到的距离最大.设直线HD的解析式，则得化简得：由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以=所以c=1当c=1时，即为，即,则所以H（2,2）综上所述，点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，点H的坐标H（2,2）.（3）第一种情况：下图：P点由O点运动到图（2）位置（M正好在AC上）轴时.,由题意得：OP=ON=，则MN=.=-=作CDAO,于点D，交y轴于点Q由：，可知B（6,0），C（0,6），则
38、OC=6，由（1）可知A(4,2),可知： ，通过解直角三角形方法可知：即：解得AD=,利用勾股定理得CD，MP即解得所以第二种情况：下图：P点图（1）位置（M正好在AC上）轴运动到O点运动到时.取中间过程图分析面积： 作CDAO,于点D，交MN轴于点E，MN交AC于点F,MP交AC于点I.由情况一可知则,代入得：所以，CD，APMPCD, ，则=-=-=当AO=OP时，是临界点，此时，t=2综上所述：第三种情况：下图：P点图（1）位置（P与A点重合）运动到MN经过点C时.取中间过程图分析面积：MN交y轴于点Q，交BC于点D，由题意知：，=此时=-=-=临界点范围求值：作CGOP于点G，OP=MP=CG=OP=即解得：第四种情况：下图：当AOC完全被正方形覆盖时：此时正方形边长AOC中AO边上的高，即,得t=A点横坐标=即当t，S=12综上所述【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、面积问题，最值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题
