1、第一章 解三角形一、选择题1已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为( )A10 kmB10kmC10kmD10km2在ABC中，若，则ABC是( )A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形3三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(abc)(abc)3ab，则c边的对角等于( )A15B45C60D1204在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc12，则sin Asin Bsin C( )A21B21C12D125如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
2、AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形6在ABC中，a2，b2，B45，则A为( )A30或150B60C60或120D307在ABC中，关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根，则A为( )A锐角B直角C钝角D不存在8在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为( )ABCD39在ABC中，c2，sin Asin B，则ABC 一定是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三
3、角形10根据下列条件解三角形：B30，a14，b7；B60，a10，b9那么，下面判断正确的是( )A只有一解，也只有一解B有两解，也有两解C有两解，只有一解D只有一解，有两解二、填空题11在ABC中，a，b分别是A和B所对的边，若a，b1，B30，则A的值是 12在ABC中，已知sin Bsin Ccos2，则此三角形是_三角形13已知a，b，c是ABC中A，B，C的对边，S是ABC的面积若a4，b5，S5，求c的长度 14ABC中，ab10，而cos C是方程2x23x20的一个根，求ABC周长的最小值 15在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin Asin Bsin C
4、256若ABC 的面积为，则ABC的周长为_16在ABC中，A最大，C最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比为 三、解答题17在ABC中，已知A30，a，b分别为A，B的对边，且a4b，解此三角形(第18题)18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45，建筑物的高CD为50米求此山对于地平面的倾斜角q19在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos C(2ac)cos B，()求B的大小；()若b，ac4，求ABC的面积20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：参考答
5、案一、选择题1D解析：AC2AB2BC22ABBCcosABC10220221020cos 120700AC102B解析：由及正弦定理，得，由2倍角的正弦公式得，ABC3C解析：由(abc)(abc)3ab，得 a2b2c2ab cos C故C604D解析：由正弦定理可得abcsin Asin Bsin C125D解析：A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形若A2B2C2不是钝角三角形，由，得，那么，A2B2C2(A1B1C1)，与A2B2C2矛盾所以A2B2C2是钝角三角形6C解析：由，得sin A，而ba， 有两解，即A60或A1207A解析：由方程可得(sin
6、 Asin C)x22xsin Bsin Asin C0 方程有两个不等的实根， 4sin2 B4(sin2 Asin2 C)0由正弦定理，代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理，有2ac cos Ab2c2a20 0A908B解析：由余弦定理得cos A，从而sin A，则AC边上的高BD9A解析：由c2a3b3c3(abc)c2a3b3c2(ab)0(ab)(a2b2abc2)0 ab0， a2b2c2ab0 (1)由余弦定理(1)式可化为a2b2(a2b22abcos C)ab0，得cos C，C60由正弦定理，得sin A，sin B， sin Asin B， 1，abc2将ab
7、c2代入(1)式得，a2b22ab0，即(ab)20，abABC是等边三角形10D解析：由正弦定理得sin A，中sin A1，中sin A分析后可知有一解，A90；有两解，A可为锐角或钝角二、填空题1160或120解析：由正弦定理计算可得sin A，A60或12012等腰解析：由已知得2sin Bsin C1cos A1cos(BC)，即2sin Bsin C1(cos Bcos Csin Bsin C)， cos(BC)1，得BC， 此三角形是等腰三角形13或解： Sabsin C， sin C，于是C60或C120又c2a2b22abcos C，当C60时，c2a2b2ab，c；当C12
8、0时，c2a2b2ab，c c的长度为或14105解析：由余弦定理可得c2a2b22abcos C，然后运用函数思想加以处理 2x23x20， x12，x2又cos C是方程2x23x20的一个根， cos C由余弦定理可得c2a2b22ab()(ab)2ab，则c2100a(10a)(a5)275，当a5时，c最小，且c5，此时abc555105， ABC周长的最小值为1051513解析：由正弦定理及sin Asin Bsin C256，可得abc256，于是可设a2k，b5k，c6k(k0)，由余弦定理可得cos B， sin B由面积公式SABCac sin B，得(2k)(6k)， k
9、1，ABC的周长为2k5k6k13k13本题也可由三角形面积(海伦公式)得，即k2， k1 abc13k1316654解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用由正弦定理得2cos C，即cos C，由余弦定理cos C ac2b， cos C， 整理得2a25ac3c20解得ac或acA2C， ac不成立，ac b， abccc654故此三角形三边之比为654三、解答题17b4，c8，C90，B60或b4，c4，C30，B120解：由正弦定理知sin B，b4B60或B120C90或C30c8或c4(第18题)18分析：设山对于地平面的倾斜角EADq，这样可在ABC中利用正弦定理求出BC；再在
10、BCD中，利用正弦定理得到关于q 的三角函数等式，进而解出q 角 解：在ABC中，BAC15，AB100米，ACB451530根据正弦定理有， BC又在BCD中， CD50，BC，CBD45，CDB90q ，根据正弦定理有解得cos q 1， q 42.94 山对于地平面的倾斜角约为42.9419解：()由已知及正弦定理可得sin Bcos C2sin Acos Bcos Bsin C， 2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)又在三角形ABC中，sin(BC)sin A0， 2sin Acos Bsin A，即cos B，B() b27a2c22accos B， 7a2c2ac，又 (ac)216a2c22ac， ac3， SABCacsin B，即SABC320分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理解：由余弦定理a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B得a2b2b2a22bccos A2accos B， 2(a2b2)2bccos A2accos B，由正弦定理得 a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C，故命题成立.
