(完整版)第一章解三角形章末测试题.doc

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1、第一章 解三角形一、选择题1已知A,B两地的距离为10 km,B,C两地的距离为20 km,现测得ABC120,则A,C两地的距离为( )A10 kmB10kmC10kmD10km2在ABC中,若,则ABC是( )A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形3三角形三边长为a,b,c,且满足关系式(abc)(abc)3ab,则c边的对角等于( )A15B45C60D1204在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且abc12,则sin Asin Bsin C( )A21B21C12D125如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )

2、AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形6在ABC中,a2,b2,B45,则A为( )A30或150B60C60或120D307在ABC中,关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根,则A为( )A锐角B直角C钝角D不存在8在ABC中,AB3,BC,AC4,则边AC上的高为( )ABCD39在ABC中,c2,sin Asin B,则ABC 一定是( )A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三

3、角形10根据下列条件解三角形:B30,a14,b7;B60,a10,b9那么,下面判断正确的是( )A只有一解,也只有一解B有两解,也有两解C有两解,只有一解D只有一解,有两解二、填空题11在ABC中,a,b分别是A和B所对的边,若a,b1,B30,则A的值是 12在ABC中,已知sin Bsin Ccos2,则此三角形是_三角形13已知a,b,c是ABC中A,B,C的对边,S是ABC的面积若a4,b5,S5,求c的长度 14ABC中,ab10,而cos C是方程2x23x20的一个根,求ABC周长的最小值 15在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin Asin Bsin C

4、256若ABC 的面积为,则ABC的周长为_16在ABC中,A最大,C最小,且A2C,ac2b,求此三角形三边之比为 三、解答题17在ABC中,已知A30,a,b分别为A,B的对边,且a4b,解此三角形(第18题)18如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米后到达点B,又从点B测得斜度为45,建筑物的高CD为50米求此山对于地平面的倾斜角q19在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C(2ac)cos B,()求B的大小;()若b,ac4,求ABC的面积20在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:参考答

5、案一、选择题1D解析:AC2AB2BC22ABBCcosABC10220221020cos 120700AC102B解析:由及正弦定理,得,由2倍角的正弦公式得,ABC3C解析:由(abc)(abc)3ab,得 a2b2c2ab cos C故C604D解析:由正弦定理可得abcsin Asin Bsin C125D解析:A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形若A2B2C2不是钝角三角形,由,得,那么,A2B2C2(A1B1C1),与A2B2C2矛盾所以A2B2C2是钝角三角形6C解析:由,得sin A,而ba, 有两解,即A60或A1207A解析:由方程可得(sin

6、 Asin C)x22xsin Bsin Asin C0 方程有两个不等的实根, 4sin2 B4(sin2 Asin2 C)0由正弦定理,代入不等式中得 b2a2c20,再由余弦定理,有2ac cos Ab2c2a20 0A908B解析:由余弦定理得cos A,从而sin A,则AC边上的高BD9A解析:由c2a3b3c3(abc)c2a3b3c2(ab)0(ab)(a2b2abc2)0 ab0, a2b2c2ab0 (1)由余弦定理(1)式可化为a2b2(a2b22abcos C)ab0,得cos C,C60由正弦定理,得sin A,sin B, sin Asin B, 1,abc2将ab

7、c2代入(1)式得,a2b22ab0,即(ab)20,abABC是等边三角形10D解析:由正弦定理得sin A,中sin A1,中sin A分析后可知有一解,A90;有两解,A可为锐角或钝角二、填空题1160或120解析:由正弦定理计算可得sin A,A60或12012等腰解析:由已知得2sin Bsin C1cos A1cos(BC),即2sin Bsin C1(cos Bcos Csin Bsin C), cos(BC)1,得BC, 此三角形是等腰三角形13或解: Sabsin C, sin C,于是C60或C120又c2a2b22abcos C,当C60时,c2a2b2ab,c;当C12

8、0时,c2a2b2ab,c c的长度为或14105解析:由余弦定理可得c2a2b22abcos C,然后运用函数思想加以处理 2x23x20, x12,x2又cos C是方程2x23x20的一个根, cos C由余弦定理可得c2a2b22ab()(ab)2ab,则c2100a(10a)(a5)275,当a5时,c最小,且c5,此时abc555105, ABC周长的最小值为1051513解析:由正弦定理及sin Asin Bsin C256,可得abc256,于是可设a2k,b5k,c6k(k0),由余弦定理可得cos B, sin B由面积公式SABCac sin B,得(2k)(6k), k

9、1,ABC的周长为2k5k6k13k13本题也可由三角形面积(海伦公式)得,即k2, k1 abc13k1316654解析:本例主要考查正、余弦定理的综合应用由正弦定理得2cos C,即cos C,由余弦定理cos C ac2b, cos C, 整理得2a25ac3c20解得ac或acA2C, ac不成立,ac b, abccc654故此三角形三边之比为654三、解答题17b4,c8,C90,B60或b4,c4,C30,B120解:由正弦定理知sin B,b4B60或B120C90或C30c8或c4(第18题)18分析:设山对于地平面的倾斜角EADq,这样可在ABC中利用正弦定理求出BC;再在

10、BCD中,利用正弦定理得到关于q 的三角函数等式,进而解出q 角 解:在ABC中,BAC15,AB100米,ACB451530根据正弦定理有, BC又在BCD中, CD50,BC,CBD45,CDB90q ,根据正弦定理有解得cos q 1, q 42.94 山对于地平面的倾斜角约为42.9419解:()由已知及正弦定理可得sin Bcos C2sin Acos Bcos Bsin C, 2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)又在三角形ABC中,sin(BC)sin A0, 2sin Acos Bsin A,即cos B,B() b27a2c22accos B, 7a2c2ac,又 (ac)216a2c22ac, ac3, SABCacsin B,即SABC320分析:由于所证明的是三角形的边角关系,很自然联想到应用正余弦定理解:由余弦定理a2b2c22bccos A;b2a2c22accos B得a2b2b2a22bccos A2accos B, 2(a2b2)2bccos A2accos B,由正弦定理得 a2R sin A,b2R sin B,c2R sin C,故命题成立.

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