1、高三数学立体几何复习一、填空题1. 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为 平行 相交 异面 垂直【答案】【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交2. 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6，则它的体积为 【答案】【解析】设底面半径为r,设圆锥的高为，那么，那么圆锥的体积，故填：.3. 已知平面平面，且，试过点的直线与，分别交于，过点的直线与，分别交于且，则的长为_.【答案】或【解析】第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有第二种情况画出图形如下图所示，由于“
2、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有.4. 半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是_【答案】1：2【解析】，圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为5. 如图所示，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_（填上所有正确答案的序号）【答案】【解析】由题意得，可知（1）中，直线；图（2）中，三点共面，但面，因此直线与异面；图（3）中，连接，因此与，所以直线与共面；图（4）中，共面，但面，所以直线与异面6. 已知为直线
3、，为空间的两个平面，给出下列命题：；其中的正确命题为 【答案】【解析】关于,也会有的结论,因此不正确；关于,也会有异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于都是正确的,故应填答案.7. 设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题若则，若则， 若，则若，则其中正确的命题序号是 .【答案】【解析】，不妨设相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面，设平面与平面的交线为，则由，得，从而，于是有，所以，正确；若，可能在内，错；若，可能在内，错；若，则由线面平行的性质定理，在内有直线与平行，又，则，从而，正确故答案为8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，
4、该三棱锥的体积为，则球的表面积为_【答案】【解析】设的中心为，由题意得,所以球的半径满足，球的表面积为9. 如图所示, 在直三棱柱中,为的中点, 则 三棱锥的体积是 【答案】【解析】因为是中点，所以10. 如图所示，在直三棱柱中，,则异面直线与所成角的余弦值是 .【答案】【解析】由于，所以 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在中, ,.11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则图中阴影部分在平面上的投影的面积为 【答案】【解析】图中点在平面的投影是的中点，点在平面的投影是的中点，点的投影还是点,连接三点的三角形的面积是，故填：.ABCDEF12. 如图,正方体中,点为的中点,点在
5、上,若平面,则_.【答案】【解析】根据题意，因为平面，所以.又因为点是中点，所以点是中点.因为在中，故13. 在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为_ 【答案】【解析】如图，将正方体关于面对称，则就是所求的最小值，14. 点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，则动点的轨迹的长度为_【答案】【解析】因为，所以在过且垂直于的平面上，如下图（1），取，则平面，所以在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心到该平面的距离即为，在直角三角形中，而，故，所在的圆周的半径为，故其轨迹的长度为图（1） 图（2）二、解答题15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面.（
6、1）证明：；（2）设，求点到面的距离.解析：（1）证明：因为，由余弦定理得.从而，又由底面，面，可得.面，面，.（2）法1：在平面内作，垂足为.底面，面，由（1）知，又，又，.平面，又.则平面.由题设知，则，根据，得，即点到面的距离为.法2：设点到平面的距离为，由（1）得， ，又，由底面，面，面，为，又，为且，.16. 已知直角梯形中，如图1所示，将沿折起到的位置，如图2所示.（1）当平面平面时，求三棱锥的体积；（2）在图2中，为的中点，若线段，且平面，求线段的长；解析：（1）当平面平面时，因为，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为在直角梯形中，所以，.所以.又因为，所以，所以.所
7、以.所以三棱锥的体积等于. （2）取的中点，连接，如上图所示.又因为为的中点，所以，且.又因为，所以.所以，共面.因为平面，平面，且平面平面，所以.又因为，所以四边形是平行四边形.所以. 17. 如图几何体中，矩形所在平面与梯形所在平面垂直，且，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.解析：（1）法1：延长交与，连接，为中点，平面，平面，面法2：如图，取的中点，连接、.在中，为的中点，为的中点，又因为，且，四边形为平行四边形，又，.平面平面，又面，面.法3：如图，取的中点，连接，.在中，为的中点，为的中点，且，又，,，故四边形为平行四边形，又平面，平面，面（2）平面平面，平面平面，又，平
8、面，又，平面18. 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M为AC的中点，N为PD上一点.（1）若MN平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP平面APC，求证：PC平面ABP. 【解析】（1）连接BD，由四边形为矩形得：M为和的中点，MN平面ABP，MN平面BPD，平面BPD平面ABPBP，MNBP，M为AC的中点，N为PD的中点. （2）在ABP中，过点B作BEAP于E，平面ABP平面APC，平面ABP平面APCAP，BE平面ABP，BEAPBE平面APC， 又PC平面APC，BEPC.ABCD为矩形， ABBC，又ABBP，BCBPB，BC，BP 平面BP
9、C，AB平面BPC， ABPC，又BEPC， AB平面ABP，BE平面ABP，ABBEB， PC平面ABP 19. 如图, 在四棱锥中，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若,平面平面,求证：.【解析】（1）如图，取中点,连结.因为是线段的中点, 所以,因为,所以,所以四边形为平行四边形, 所以,因为平面,平面,所以平面.（2）连结,在四边形中，因为,所以,设,因为,所以,在中，,所以,从而,在中, 所以,所以,即.在平面中, 过点作,垂足为,因为平面平面,所以平面,又因为平面,所以,因为平面,平面,所以平面.因为平面,所以.20. 如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且. （1）求证：；
10、（2）求证：平面平面.【解析】证:()连接交于,连接.分别是的中点，且=,四边形是矩形.是的中点，又是的中点,，则由,得() 在直三棱柱中，底面,.又,即，面,而面，又,由() ，平面 ， 平面，平面平面. 三、提高练习21. 在三棱锥中， ， ， ， 为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为_【答案】【解析】在中，为等边三角形，所以，所以，在中，所以，如下图（2），设，则，从而有，整理得到，故的边上的高的最大值为，从而体积的最大值为图(1) 图（2）22. 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？【解析】（1）连接交于，连接因为为中线，所以为的重心，从而面，平面，所以平面 （2）当时，平面平面在直三棱柱中，由于平面，平面，所以平面平面由于，是中点，所以又平面平面， 所以平面而平面，于是 因为，所以，所以 相交，所以平面， 平面，所以平面平面
