1、中考二次函数压轴题分类汇编一 极值问题1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长
2、，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标解：（1）由题设可知A（0，1），B（3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M、P点的坐标分别是（x，x+1），（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BCMN，即MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（1，4）时，MN
3、和NC互相垂直平分点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）
4、OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令y=0，即x2+x4=0，解得x1=4，x2=2，A（4，0），SABC=ABOC=12设P点坐标为（x，0），则PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化简得：SPBE=（2x）2SPCE=SPCBSPBE=PBOCSPBE=（2x）4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3当x=1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图所示DO=DM=DA
5、=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M点的坐标为（2，2）；（II）当MD=MO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（1，3）；（III）当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为2，OD=OM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意
6、其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏二 构成图形的问题1如图，抛物线y=ax2+bx+c（aO）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。考点：二次函
7、数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，-x2+2x+3），根据S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，
8、列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4, 对称轴x= =1，b=-2a， 又抛物线过点A（一2，O）0=4a-2b+c， 由 解得：a=, b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是y=x+x+4(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF过点F分别作FHx轴于H , FGy轴于G设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中Ot4， 则FH=t2 +t+4 FG=t, OBF=OB.FH=4（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,SOFC=OC.FC=4t=2tS四边形ABFCSAOC+SOBF +SOFC=4-t2+2t+8
9、+2t=-t2+4t+12令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则=(一4)2-45=一40,方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（kO），又过点B(4,0，), C(0,4)所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4 由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，）， 又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .若以，因为DEPQ，只须DE=PQ,设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）当Om4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m 由一m2+2m=
10、，解得：m=1或3当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,m=-3，此时P1 (3,1) 当m4时，PQ=（一m+4）一（一m2+m+4)= m22m,由m22m=，解得m=2，经检验适合题意，此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 -），P3（2，2十）.点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题2如图，三角形ABC是以BC
11、为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，有PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？考点：二次函数综合题分析：（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式（2）设点P运动了t秒
12、时，PQAC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由APQCAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；只需使APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于点H，由AQHCAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置解答：解：（1）由y=x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），ABC是以BC为底边的等腰三角形，B点坐标为（4，0），又四边形ABCD是平行四边形，D点坐标为（8，3），将点B（4
13、，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2x3（2）设点P运动了t秒时，PQAC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5t，PQAC，APQCAO，=，即=，解得：t=即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQACS四边形PDCQ+SAPQ=SACD，且SACD=83=12，当APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5t，设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于点H，由AQHCAO可得：=，解得：h=（5t），SAPQ=t（5t）=（t2+5t）=（t）2+，当t=时，SAPQ达到最大值，此时
14、S四边形PDCQ=12=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为三 翻转问题1已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数（1）求k的值；（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNx轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的
15、值考点：二次函数综合题.分析：（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可解答：解：（1）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根k12k3k为正整数，k为1，2（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x2+2x，此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（2，0），B（1，3）由题意可设M（m，m+2），其中2m1，则N（m，m2+2m），MN=m+2（m2+2m）=m
16、2m+2=当m=时，MN的长度最大值为此时点M的坐标为（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（2，0）代入y=x+b得b=1，当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=x22x有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以b=，综上所述b=1或b=点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题四平移和取值问题1在平面直角坐标系xOy中，抛
17、物线y=ax2+bx+2过B（2，6），C（2，2）两点（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求BCD的面积；（3）若直线y=x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围解：（1）由题意解得，抛物线解析式为y=x2x+2（2）y=x2x+2=（x1）2+顶点坐标（1，），直线BC为y=x+4，对称轴与BC的交点H（1，3），SBDC=SBDH+SDHC=3+1=3（3）由消去y得到x2x+42b=0，当=0时，直线与抛物线相切，14（42b）=0，b=，当直线y=x+b经过点C时，b=3，当直线y=x+b经过点B时，b=5，直线y=x
18、向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，b32.如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又
19、，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD/AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：（3）由（1）知所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0，t)，t0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为MPO=NPO,所以RtMPM1RtNPN1,所以,(1)不妨设M(xM,yM)在点N
20、(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,(2)把y=kx-2(k0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三
21、角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。五相似图形问题1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx28mx+4m+2（m0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2x1=4，直线ADx轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求APC面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点
22、的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分0t6时和6t8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分2t6时和t6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解解答：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx28mx+4m+2=0的两根，x1+x2=8，由解得：B（2，0）、C（6，0）则4m16m+4m+2=0，解得：m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，直线AC的解析式为：y=x
23、+3，要构成APC，显然t6，分两种情况讨论：当0t6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，），P（t，），PF=，SAPC=SAPF+SCPF=，此时最大值为：，当6t8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，），P（t，），PM=，SAPC=SAPFSCPF=，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0t8时，APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则AOB中，AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），当2t6时，AQ=t，PQ=，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=2（舍），当t6时，AQ=t，PQ=，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=14，t=或t=或t=14点评：本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结2如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ）A B C D【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得：区域D的面积=区域C的面积=区域B的面积， 阴影面积=区域A的面积加上区域D的面积=正方形的面积4
