1、一元二次方程的应用-知识讲解要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、
2、，数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来
3、数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金利率期数利息税=利息税率本金(1+利率期数)=本息和本金1+利率期
4、数(1-税率)=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.6.行程问题【典型例题】类型一、数字问题1已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少【答案与解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)32，整理得x2-12x+320 解得 x14，x28，当x4时12-x8；当x8时12-x4所以这两个数是4和8 举
5、一反三：1、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为，则十位数字为.由题意，得： 整理，得：解方程，得： 经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）当时, =2答：这个两位数为24.2、有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数【答案】设个位数字为x，则十位数字为14-x，两数字之积为x(14-x)，两个数字颠倒后的数为10x+(14-x) 根据题意，得10x+(14-x)-x(14-x)38 整理，得x2-5x-240， (x-8)(x+3)0， x18，x2-
6、3 个位上的数字不可能是负数， x-3舍去 当x8时，14-x6， 原数为68 答：这个两位数是68类型二、平均变化率问题2 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?【答案】设每轮中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意：得：1+x+(1+x)x81，(1+x)281，x+19或x+1-9 解得：x8或x-10(舍去)， (1+x)3(1+8)3729700 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过7
7、00台举一反三：1、 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感 的人数是( ) A1331 B1210 C1100 D1000 【答案】 设每人每轮传染x人，则(1+x)2121，x110，x2-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1+10)1331人2、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同， 求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为，则第一次降价为，降价后价格为：，第二次降价为：，降价后价格为：.根据题意列方程，得：， 不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）答：平均每次下降率为.类型
8、三、利润（销售）问题3某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案】 设每件商品的售价为a元 根据题意，得(a-21)(350-10a)400 a2-56a+7750， (a-25)(a-31)0， a-250或a-310， a125，a231 当a31时，加价31-2110，不合题意，舍去 350-10a350-1025100答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品举一反三：【变式】某商场销售一批名牌衬
9、衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件 (1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?【答案】(1)设每件衬衫应降价x元 根据题意，得(40-x)(20+2x)1200，整理得：x2-30x+2000 解得x120，x210，因为要尽快减少库存，所以x应取20 答：每件衬衫应降价20元 (2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)-2(x-15)2+1250，当x15时，代数式-2(x-15)2的
10、值最大，即-2(x-15)2+1250有最大值为1250 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元类型四、形积问题4如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长【答案】 设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得 整理得：x2-32x+2400， (x-12)(x-20)0 解得：x112，x220 又由题意知：BC16 x20(不合题意，舍去) 该矩形草坪BC边的长为12米类型五、行程问题5. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车
11、（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？【答案】（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速”， 即（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度末速度）车速变化时间”， 即（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 s，由（2）可知，这时车速为这段路程内的平均车速为，即由速度时间=路程
12、，得解方程，得根据问题可知，即x5，又x2.5；所以刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s【巩固练习一】一、选择题1在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( ) Ax2+130x-14000 Bx2-65x-3500 Cx2-130x-14000 Dx2+65x-35002为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A9% B10% C11% D1
13、2%3某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A50(1+x)2182 B50+50(1+x)+50(1+x)2182 C50(1+2x)182 D50+50(1+x)+50(1+2x)1824一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是( ) A B C D5为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A2500(1+x)23600 B2500x23600 C2500
14、(1+x%)3600 D2500(1+x)+2500(1+x)236006一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒，该运动员在空中至多做翻滚动作( ) A3个 B4个 C5个 D6个二、填空题7某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是_8若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为_9大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为_10
15、菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+120的一个根，则菱形ABCD的周长为_11有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人？12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是_ 三、解答题13用长12m的一根铁丝围成长方形 (1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢? (2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么? (3)能围成的长方形的最大面积是多少?14
16、. 从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度15常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少?常德工业走廊建设发展规划纲要(草案)确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成?【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)5400，化简即可 2
17、.【答案】B；【解析】10(1+x)212.1，解得x0.13.【答案】B；【解析】四、五、六月份产量之和为182 4.【答案】C；【解析】设矩形的宽为xcm，则矩形的长为3xcm，依题意得x+33x5.【答案】A；【解析】由平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程.6.【答案】D；【解析】从10.5米高处到入水过程的平均速度为7米/秒，所用时间为10.571.5秒，速度每秒变化米/秒设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x秒，那么这段距离的平均速度为x21.5，x1.2，1.20.26，最多做6个翻滚动作二、填空题7【答案】25%；【解析】设商场
18、这两个月销售额的平均增长率是x，则16(1+x)225解得x10.2525%，x2-2.25(不合题意，舍去)8【答案】-5和7；【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2-x根据题意得x2+(2-x)274，解得x1-5，x27当x-5时，另一个数为7；当x7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和79【答案】 x(x+10)300； 【解析】因为宽为xm，则长为(x+10)m，可列方程x(x+10)30010.【答案】16；【解析】x2-7x+120的两根为x13，x24，AB不可能等于3，因为有一条对角线长为6，所以AB4，菱形周长为1611【答案】10；【解析】设每轮传染中平均一个人传
19、染了个人列方程，得解方程，得，经检验，x2不合题意，舍去所以平均一个人传染了10个人12【答案】20% ； 【解析】设降低的百分率为x，则3125(1-x)22000，(舍去)，三、解答题13.【答案与解析】(1)设长方形的宽为x m，则长为，根据题意，得x(6-x)5，即x2-6x+50，x11，x25(舍去) 当长方形的宽为1m，长为6m-1m5m时，面积为5m2 同样，当面积为8m2时，有x(6-x)8，即x2-6x+80，x12，x24(舍去) 当长方形的宽为2m，长为6-24m时，面积为8m2(2)当面积为l0m2时，x(6-x)10，即x2-6x+100，此时b2-4ac36-40
20、-40，故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在(3)设围成的长方形的面积为k，则有x(6-x)k，即x2-6x+k0，要使该方程有解，必须有(-6)2-4k0，即k9 最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x3m，6-x3(m) 这时所围成的图形是正方形14. 【答案与解析】设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)80602 解这个方程得x110，x260 因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0， 即 60-2x0，亦即x30，所以x10 答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半15.【答案与解析】 设2008年到2010年的年平均增长率为x
21、 则440(1+x)2743.6， 化简得：(1+x)21.69， 解之：x10.330%，x2-2.3(舍去)， 743.6(1+0.3)21256.684(亿元)1200亿元答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标【巩固练习二】一、选择题1.元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有( ) A11人 B12人 C13人 D14人2上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( ) A168(1+a%)2128 B168(
22、1-a%)2128 C168(1-2a%)2128 D168(1-a2%)1283从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( ) A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm4甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时. A2,6 B12,16
23、 C16,20 D20,245某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50(即每100千克花生可加工成花生油50千克)现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的则新品种花生亩产量的增长率为 ( )A20 B30% C50% D120%6从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升则每次倒出溶液的升数为（ ） A5 B6 C8 D10二、填空题7某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那
24、么该公司在2010年的盈利额为_万元 8有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为_9一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是 米. 10有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是 11某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年
25、治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是 12如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB16cm，AD6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动问：(1)P、Q两点从出发开始到 秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2； (2)P、Q两点从出发开始到 秒时，点P与点O间的距离是10cm.三、解答题13如图所示，有长为40m的篱笆，一面利用墙(墙长15m)，围成长方形花圃设花圃的长B
26、C为xm，花圃的面积能围成182m2吗?此时BC多长?14.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖 (1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少? 15如图所示，AOOB50cm，OC是一条射线，OCAB，一
27、只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2? 【答案与解析】一、选择题1【答案】B； 【解析】设这个小组共x人，则x(x-1)132，x1-11舍去，x2122【答案】B；【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元根据题意可列方程168(1-a%)21283【答案】D； 【解析】设截去小正方形的边长为x，则3012-4x2296， x216，x1-4(舍去)，x244.【答案】C；【解析】设甲的速度为x千米/时，则
28、乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.5【答案】A；【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x.6【答案】D；【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（x）升根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数20xx5二、填空题7【答案】220. 【解析】方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得
29、200(1+x)2242解得x110%，x2-2.1(舍去)， 200(1+x)200(1+10%)220方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为，2011年增长的百分率为，由增长率相同可列方程，解得x1220，x2-220(舍去)8【答案】2.5m. 【解析】设留空的宽度为x m，则，解得x115(舍去)，9【答案】1m.【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长为(120-4x)m，宽为(78-3x)m (120-4x)(78-3x)8700， 即x2-56x+550， 解得x11，x255 当x55时，35516578，(不合题意，舍去) x1 答：水渠
30、应挖1m宽10【答案】35或53【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，由题意得 10x+(8-x)10(8-x)+x1855 化简得x2-8x+150， 解之得：x13，x25 经检验，x13，x25都符合题意 答：原两位数是35或5311【答案】10%【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x， 依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)21324 即100x2+300x-310 解得x10.110%，x2-3.1(不合题意，舍去) 答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%12.【答案】（1）5秒；（2）秒或秒.【解析】(1)
31、设P、Q两点从出发开始到x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2，则AP3x，PB16-3x，CQ2x，由梯形的面积公式得，解得x5 答：P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCO的面积为33cm2 (2)设P、Q两点从出发开始到y秒时，点P、点Q间的距离为10cm过点Q作QHAB，交AB于H，如答图3所示，则AP3y，CQ2y，PH16-3y-2y，根据勾股定理得(16-3y-2y)2102-62，化简方程得(16-5y)264，解得， 答：P、Q两点从出发开始到秒或秒时，点P、点Q间的距离是10cm三、解答题13. 【答案与解析】设BC长为xm(0x15)时，花圃的面积为182m2， 则
32、 即x2-40x+3640，b2-4ac1600-43641440 能围成面积为182m2的花圃解得x114，x226(不合题意，舍去)答：花圃的面积能围成182m2，此时BC长14m14. 【答案与解析】(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2+(100-2x)(80-2x)5200，整理，得：x2-45x+3500，解得：x135，x210，经检验，x135，x210均适合题意所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米(2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y304x2+(100-2x)
33、(80-2x)+202x(100-2x)+2x(80-2x)即y80x2-3600x+24000080(x2-45x+22.52-22.52)+24000080(x-22.5)2+199500由80(x-225)20， 当x22.5时y的值最小，最小值为199500所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元15. 【答案与解析】 (1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点t s后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2根据题意，得整理得：，解得t110，t215(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的三角形的面积是450 cm2，根据题意，得：， 整理得x2+25x-1500，解得x15，x2-30(舍去) 当x5时，x+2530这时蚂蚁已由A点爬了30s 答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2
