二次函数知识点总结材料及典型例题.doc

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1、浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征:有开口方向;有对称轴;有顶点。3、二次函数图像的画法-五点作图法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到

2、二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。【例1】、已知函数y=x2-2x-3,(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图;(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:(3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时, y=0; y0知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀- 一般 两根 三顶点(1)一般 一般式:

3、(2)两根 当抛物线与x轴有交点时,即对应的一元二次方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。(3)三顶点 顶点式: 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。【例1】、抛物线与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。【例2】、如图,抛物线与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则(1)abc 0 (或或=)(2)a的取值范围是 【例3】、下列二次函数中,图象以直线

4、x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。OO-1OxOy1323如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,当时,。【例1】、已知二次函数的图像(0x3)如图所示,关

5、于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )A有最小值0,有最大值3B有最小值1,有最大值0C有最小值1,有最大值3D有最小值1,无最大值【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利

6、润最大? 最大利润是多少元?知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0时,抛物线开口向上 0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当0时y值随x值增大而减小的是( )Ay = x2 By = x C y = xDy = 【例6】、若二次函数当l时,随的增大而减小,则的取值范围是( ) A=l Bl Cl Dl知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线y=ax2+bx+c的平移通常先将一般式转化成顶点式,再遵循左加右减,上加下减的的原则化为顶点式有两种方法:配方法,顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上

7、顶点的纵坐标。 沿轴平移:向上(下)平移(m0)个单位,变成(或) 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式:向左(右)平移(m0)个单位,变成(或)【例1】、将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( ) A B C D【例2】、将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_.【例3】、抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7

8、在x轴上截得的线段的长度为_【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为_知识点六、抛物线中, a、b、c的作用 (1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故:时,对称轴为轴;(即、同号)时,对称轴在轴左侧;(即、异号)时,对称轴在轴右侧.口诀-左同,右异 (a、b同号,对称轴在y轴左侧) (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时,抛物线与轴有且只有一个交点(0,): ,抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴; ,与轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .【例1

9、】、如图为抛物线的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb2aDac0 Bb0 Cc0 Dabc0【例3】、如图所示的二次函数的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1);(2)c1;(3)2ab0;(4)a+b+c0。你认为其中错误的有( ) A2个B3个C4个D1个【例4】、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:ac0;a+b=0;4acb2=4a;a+b+c0.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例5】、如图,是二次函数 yax2bxc(

10、a0)的图象的一部分,给出下列命题 :a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;a-2b+c0其中正确的命题是 (只要求填写正确命题的序号)【例6】、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( )Amn,kh Bmn ,kh Cmn,kh Dmn,kh知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过,但是非常有用,一定要理解性地记忆)APBO1、两点间距离公式:如图:点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则AB间的距离,即线段AB的长度为 (这实际上是根据勾股定理得出来的)2、中点坐标公式:如图,在平面直角坐标系中

11、,、两点的坐标分别为, ,中点的坐标为由,得,同理,所以的中点坐标为3、两平行直线的解析式分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么k1=k2,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。4、两垂直直线的解析式分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么k1k2=-1,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。(对于这一条,只要能灵活运用就行,不需要理解)以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚”【例1】、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点(1)求直线

12、AC的解析式及BD两点的坐标;(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线lAC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由(3)请在直线AC上找一点M,使BDM的周长最小,求出M点的坐标【例2】、如图,已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A(1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N其顶点为D(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EFB

13、D交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC的面积的最大值【例3】、如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右边),与y轴交于C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。(1)求点A、B、C的坐标;(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。(3)当点P在线段EB

14、上运动时,是否存在点Q,使BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出Q点坐标;若不存在,请说明理由。【练 习】1、平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m2、已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )A0B1C2D33. 二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一

15、坐标系中的大致图象是( ).4. 如图,已知二次函数的图象经过点(1,0),(1,2),当随的增大而增大时,的取值范围是 5. 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180,所得抛物线的解析式是( )A B C D6. 已知二次函数的图像如图,其对称轴,给出下列结果,则正确的结论是( )x21012y04664A B C D 7抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如上表:从上表可知,下列说法中正确的是 (填写序号)抛物线与轴的一个交点为(3,0); 函数的最大值为6;抛物线的对称轴是; 在对称轴左侧,随增大而增大8. 如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(2,4)

16、,过点A作ABy轴,垂足为B,连结OA(1)求OAB的面积;(2)若抛物线经过点A求c的值;将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部(不包括OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可)9、“已知函数的图象经过点A(c,2), ,这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。10、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BCAD,BAD= 90,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中

17、点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),B( -1,2),D( 3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上是否存在点P使得PA= PC若存在,求出点P的坐标;若不存在请说明理由。(3)设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点,当点Q在什么位置时有最大?并求出最大值。ABCDOENMxy图11、如图,抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;判断ABC的形状,证明你的结论;点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值12、在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y27x2y1的值等于_3、如图,双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,ABC90,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB轴,将ABC沿AC翻折后得到ABC,B点落在OA上,则四边形OABC的面积是.

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